徐凱鈺 王楨宇
(1.北京航空航天大學工科實驗班馮如書院217414班 100083;2.北京市第一七一中學 100011)
例題(2022年朝陽區(qū)高三第一學期期末試卷20題第(3)問)設g(x)=aex-x2,當a∈(1,e)時,求函數(shù)g(x)的零點個數(shù),并說明理由.
本題可以求導判斷g(x)的單調(diào)性,進而通過零點存在定理判斷零點個數(shù),參考答案通過等價變換,轉(zhuǎn)化為第(2)問的結論,不再贅述,但測試反饋發(fā)現(xiàn),同學們大多沒有注意到兩問之間的聯(lián)系,而是直接求導,致使運算難度增大,鑒于其更具有通法意義,本文采用該方法.
解析因為g′(x)=aex-2x,g″(x)=aex-2,
所以g(x) 在(-∞,+∞)單調(diào)遞增.
故存在唯一零點x1∈(-1,0)使得g(x1)=0.
題目不難,解法也眾多,不再贅述,試題解罷,筆者思考一個問題,為什么原題給出了a∈(1,e)這個條件,若擴大這個范圍會對函數(shù)零點的求解帶來什么樣的影響呢?命題人在此為了回避哪些難點呢?為了尋找答案,故做如下探索.
變式1設g(x)=aex-x2,當a∈(1,+∞)時,求函數(shù)g(x)的零點個數(shù).
2.1.1 特殊值代入找點
由于需要在(-∞,0)找某點x1滿足g(x1)<0,所以我嘗試了令x1= -a.
因為g(-a)=a(e-a-a),又a>1,
所以e-a<1,所以e-a-a<0.
即g(-a)<0.
所以?x1=-a∈(-∞,0)滿足g(x1)<0.
2.1.2 指對互換找點
2.1.3 利用不等式進行放縮
考慮到x→-∞時,ex→0,所以尋找h(x)使得x→-∞時,h(x)→0,且同時滿足h(x)>ex.
2.1.4 利用取值范圍進行放縮
變式2設g(x)=aex-x2,當a∈R時,求函數(shù)g(x)的零點個數(shù).
所以當x∈(-∞,x1), (x2,+∞),g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;當x∈(x1,x2),g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.
所以g(x)在(-∞,0)內(nèi)有1個零點.
下面討論g(x)在(0,+∞)的零點個數(shù).
g′(1)=ae-2<0,所以x1∈(0,1),x2>1.
變式3設g(x)=aex-x2,當g(x)在(0,+∞)有兩個零點時,求證:兩個零點和大于4.
所以當x∈(0,2),h′(x)< 0,h(x)單調(diào)遞減;
當x∈(2,+∞),h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增.
已知h(x1)=h(x2),故x2>2>x1>0.
若證x1+x2>4,即證2>x1>4-x2>0.
注意到x1和4-x2都處于(0,2)減區(qū)間內(nèi),
只需證h(x1)
構造新函數(shù)t(x)=h(x) -h(4-x),x∈(2,4),即證t(x)<0在x∈(2,4)恒成立,顯然t(2)=0,若能證明x∈(2,4)時t′(x)<0,則此題得證.
教師點評“極值點偏移”問題近年來在高考題、模擬題中頻繁出現(xiàn),2016年全國Ⅰ卷和2021年新課標Ⅰ卷都是以其作為壓軸題考查.這類問題包含了轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程等數(shù)學思想,常見解法是基于對稱變換的思想,構造新函數(shù)討論單調(diào)性求解.特別的,上文有這樣一句話“t(2)=0,若能證明x∈(2,4)時t′(x)<0,則此題得證.”這個思維方式是不嚴謹?shù)模驗榇藭rt′(x)<0是t(x)<0的充分非必要條件,答題過程應該逆序書寫,即求出t′(x)<0,說明函數(shù)單調(diào)遞減,進而結合端點值說明t(x)<0.