郭 勇 姜付錦

(1.湖北省孝感高級中學(xué) 432100；2.湖北省黃陂一中試題研究中心 430300)

1 問題

四根均通有恒定電流的長直導(dǎo)線1、2、3、4都垂直于x-y平面，它們與x-y平面的交點是邊長為2a、中心在原點O的正方形的頂點，各導(dǎo)線中電流的方向已在圖1中標(biāo)出.

圖1 圖2

已知真空磁導(dǎo)率為μ0.試分析空間磁力線方程是怎樣的？是如何分布的？

2 磁力線方程推導(dǎo)

2.1 兩根無限長電流形成的磁力線方程

將上式兩邊不定積分后得

I2·ln[y2+(x-a)2]+I1·ln[y2+(x+a)2]=C，(C為一個積分常數(shù))

進一步整理后得

[y2+(x+a)2]I1·[y2+(x-a)2]I2=eC，

若I1=I2，則磁力線方程是到兩個定點(直線電流)的距離之積是一個定值.

若I1=-I2，則磁力線方程是到兩個定點(直線電流)的距離之商是一個定值.

2.2 四根直線電流形成的磁力線方程

圖3

整理后得

兩邊不定積分后得

[(y-a)2+(x+a)2]I1·[(y+a)2+(x+a)2]I4·[(y-a)2+(x-a)2]I2·[(y+a)2+(x-a)2]I3=C1，

若I1=I3=-I2=-I4，則

上式中C1為某一個積分常數(shù)，這個曲線簇就是本文開始問題的答案.

2.3 n根直線電流形成的磁力線方程

不妨設(shè)互相平行的n根無限長直線電流，通過它們的電流依次為I1,I2,I3,…,In，位置坐標(biāo)依次為(x01,y01),(x02,y02),(x03,y03),…,(x0n,y0n)，則它們在空間形成的磁力線方程如下：

[(y-y01)2+(x-x01)2]I1·[(y-y02)2+(x-x02)2]I2…[(y-y0n)2+(x-x0n)2]In=C，

上式中C為某一個積分常數(shù).

2.4 由柯西——黎曼方程推導(dǎo)

設(shè)磁勢為φ，磁感應(yīng)強度為B，由于B=-?φ，得任意一點P(x,y)的磁感應(yīng)強度為

積分后得B(x,y)=I2·ln[y2+(x-a)2]+I1·ln[y2+(x+a)2]+k(x)

k(x)=C1(C1為任意常數(shù))，得

B(x,y)=I2·ln[y2+(x-a)2]+I1·ln[y2+(x+a)2]+C1

上式中的B(x,y)為任意常數(shù)，則上式可化為

I2·ln[y2+(x-a)2]+I1·ln[y2+(x+a)2]=C

上式中C1為任意常數(shù)，即兩根無限長直線電流形成的磁力線方程.

2.5 數(shù)值模擬

圖4 圖5

通過以上分析可以現(xiàn)，多根無限長通電直線形成的磁力線方程既可以用磁力線的微分方程推導(dǎo)，也可以由柯西——黎曼方程得到.它們形成的磁力線方程與多根無限長均勻帶電直線的等勢線方程具有類似性，若它們的電流大小相等、方向相同，則磁力線方程是到這些電流位置的距離的乘積是一個定值的曲線簇——卡西尼卵形曲線.限于篇幅，這里不再贅述，感興趣的讀者可以自行推證.