包宇新，張?chǎng)?，魏齊蕾，吳 楠

（中國礦業(yè)大學(xué)（北京），北京 100083）

主動(dòng)反射面調(diào)節(jié)問題在太陽能發(fā)電領(lǐng)域、太空望遠(yuǎn)鏡領(lǐng)域以及舞臺(tái)設(shè)計(jì)領(lǐng)域有著十分廣泛的應(yīng)用，但由于主動(dòng)反射面的調(diào)整任意性較強(qiáng)，往往很難運(yùn)用數(shù)學(xué)方式計(jì)算出各個(gè)反射面的最優(yōu)位置，本文旨在以FAST主動(dòng)反射面調(diào)節(jié)問題為例，通過粒子群算法[1-2]與蒙特卡洛模擬[3-4]，建立一種解決主動(dòng)反射面調(diào)節(jié)問題的一般性方案。

1 問題背景

FAST由主動(dòng)反射面、饋源艙（信號(hào)接收系統(tǒng)）和相關(guān)的控制、測(cè)量、支承系統(tǒng)組成。其中，主動(dòng)反射面系統(tǒng)是一個(gè)由主索網(wǎng)、下拉索、反射面板、促動(dòng)器和支承結(jié)構(gòu)等主要部件組成的可以調(diào)節(jié)的球面。主動(dòng)反射面可分為基準(zhǔn)態(tài)和工作態(tài)2個(gè)狀態(tài)，處于基準(zhǔn)態(tài)時(shí)的反射面是半徑約300 m、口徑為500 m的基準(zhǔn)球面，處于工作態(tài)時(shí)反射面會(huì)調(diào)節(jié)為一個(gè)300 m口徑的工作拋物面。饋源艙接收平面的中心不固定，在一個(gè)與基準(zhǔn)球面同心的球面上移動(dòng)，會(huì)移動(dòng)到待觀測(cè)天體S和基準(zhǔn)球面球心C的連線與該球面的交點(diǎn)P處，且其接收信號(hào)的有效區(qū)域是一個(gè)直徑為1 m的中心圓盤。此時(shí)基準(zhǔn)球面上的一部分反射面板形成以直線SC為對(duì)稱軸、以P為焦點(diǎn)的近似拋物面，促動(dòng)器沿基準(zhǔn)球面徑向安裝，頂端可沿基準(zhǔn)球面徑向伸縮，范圍為-0.6～+0.6 m，起到調(diào)節(jié)反射面板的作用，最終形成工作拋物面，能將來自目標(biāo)天體S的平行電磁波反射聚集到饋源艙的中心圓盤上[5-6]。FAST剖面圖如圖1所示。

圖1 FAST剖面圖

本文旨在探索當(dāng)待觀測(cè)天體S位于α=36.795°、β=78.169°（α為S的方位角，β為仰角）時(shí)，如何建立反射面板調(diào)節(jié)模型，調(diào)節(jié)相關(guān)促動(dòng)器的伸縮量，使得饋源艙的接收比最高。

2 數(shù)據(jù)分析和模型假設(shè)

本研究是建立在已知2 226個(gè)主索節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)和編號(hào)，促動(dòng)器下端點(diǎn)（地錨點(diǎn)）坐標(biāo)、基準(zhǔn)態(tài)時(shí)上端點(diǎn)（頂端）坐標(biāo)，4 300塊反射面板對(duì)應(yīng)的主索節(jié)點(diǎn)的編號(hào)的基礎(chǔ)上進(jìn)行研究的。

為方便處理問題，提出以下假設(shè)：（1）在基準(zhǔn)態(tài)下，所有的主索節(jié)點(diǎn)都處于基準(zhǔn)球面上；（2）因反射面板上的小圓孔直徑很小，故不考慮其對(duì)電磁波的反射影響；（3）因被觀測(cè)天體S距離極遠(yuǎn)，故認(rèn)為電磁波信號(hào)和反射信號(hào)是沿直線傳播的；（4）因反射面板很薄，故不考慮其厚度；（5）電磁波均勻分布。

3 模型的建立與求解

3.1 建立理想模型

在了解“FAST”主動(dòng)反射面的三維模型[7]后開始建立調(diào)節(jié)前的理想模型。由于多反射面問題很難計(jì)算出最優(yōu)解，可以先利用簡單的理想數(shù)學(xué)模型確定各反射面所處的大致位置，此處很容易發(fā)現(xiàn)拋物面具有讓所有光束匯集到一點(diǎn)的特性，從而計(jì)算能夠滿足條件的拋物面最優(yōu)形狀。

由于理想拋物面具有極強(qiáng)的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，同時(shí)待觀測(cè)天體發(fā)出的電磁波可近似認(rèn)為與拋物面對(duì)稱軸平行，拋物面在過其軸線不同平面內(nèi)的反射性質(zhì)相同，因此只考慮理想拋物面中的一個(gè)平面，即探究理想拋物線。根據(jù)拋物線的光學(xué)性質(zhì)（光是一種電磁波）[8]，來自目標(biāo)天體S的平行電磁波會(huì)反射聚集到位于工作拋物面焦點(diǎn)位置的饋源艙中心圓盤上。

3.1.1 理想模型的建立

以拋物線上的點(diǎn)與基準(zhǔn)球面的距離之和應(yīng)盡量小及為保證結(jié)論的正確性考慮拋物線的焦點(diǎn)無限靠近饋源艙為目標(biāo)函數(shù)（兩者權(quán)重一致），以主索節(jié)點(diǎn)的移動(dòng)變位范圍為-0.6～+0.6 m且工作拋物面口徑為300 m和兩相鄰主索節(jié)點(diǎn)調(diào)節(jié)變化幅度不超過0.07%為2個(gè)約束條件，建立優(yōu)化模型。

以點(diǎn)C為頂點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系

式中：r′為拋物線上的點(diǎn)到球心C的距離；r為基準(zhǔn)球面的半徑；yp為饋源艙的縱坐標(biāo)；yf為焦點(diǎn)的縱坐標(biāo)；a為主索節(jié)點(diǎn)移動(dòng)變位的最大值，即0.6 m；s為拋物線上任一主索節(jié)點(diǎn)和與之相鄰最近的主索節(jié)點(diǎn)調(diào)節(jié)后的距離；f為拋物線的焦距；l為拋物線頂點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。

3.1.2 理想模型的求解

在隨機(jī)取樣，估計(jì)出l、f的范圍為l∈[299.8，301.0]，f∈[135.0,145.0]后，運(yùn)用粒子群算法得出較為精確的結(jié)果，根據(jù)l、f的大致范圍確定各粒子的運(yùn)動(dòng)范圍，由于本研究中的二元函數(shù)不存在多個(gè)峰值，為保證盡快找出最優(yōu)解，計(jì)算時(shí)應(yīng)盡量減小慣性系數(shù)與粒子速度。

最終得出拋物線方程為

進(jìn)而得到理想拋物面方程為

將主動(dòng)反射面上的節(jié)點(diǎn)與理想拋物面重合即可得出反射面的粗略位置。

下面計(jì)算當(dāng)待觀測(cè)天體S位于α=36.795°、β=78.169°的位置時(shí)的理想拋物面，可理解為旋轉(zhuǎn)上述理想拋物面。旋轉(zhuǎn)后的理想拋物面如圖2所示，其單位法向量為n=(-cosαcosβ,-sinαcosβ,-sinβ)。

圖2 旋轉(zhuǎn)后理想拋物面的曲面圖

以點(diǎn)C為頂點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系，令點(diǎn)H為拋物面的頂點(diǎn)。被測(cè)天體發(fā)射的電磁波的方向?yàn)锳=(-cosα,-sinα，-tanβ)，有A=|A|·n。因?yàn)镃H//A，故CH=k·n，且|CH|=r，可以求出旋轉(zhuǎn)后的理想拋物面的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-49.385 0，-36.938 0，-294.405 7），拋物面方程為

3.2 饋源艙接收比計(jì)算

3.2.1 從被測(cè)天體發(fā)射的電磁波落在各反射面板的概率

將300 m口徑內(nèi)所有反射面板在與電磁波傳播方向垂直的平面上的投影面積按大小排列在坐標(biāo)軸上，依次為S1、S2、S3、…、Sn，將其運(yùn)用蒙特卡洛模擬隨機(jī)取樣，從被測(cè)天體發(fā)射的電磁波中隨機(jī)挑選1條，其落在[Si-1，Si]的概率為，即落在第i塊反射面板的概率為。因?yàn)榭梢栽跀?shù)軸上隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，所以可通過判斷該數(shù)所在區(qū)間來判斷所要選取的反射面板。

3.2.2 給定反射面板中任一點(diǎn)的坐標(biāo)

根據(jù)線性子空間內(nèi)仿射組合，三角形ABC中任一點(diǎn)Q可表示為AQ=γAB+μAC（0＜γ+μ＜1），可通過蒙特卡洛模擬隨機(jī)生成γ、μ的值在給定反射面板中取點(diǎn)。

3.2.3 饋源艙的接收比

根據(jù)光學(xué)知識(shí)（光是一種電磁波），已知入射點(diǎn)O、入射光線向量A和法向量B，可以求得反射光線的向量。饋源艙的有效區(qū)域可以接收到反射信號(hào)即反射線與以饋源艙（點(diǎn)P）為圓心、0.5 m為半徑的圓盤有交點(diǎn)，即

式中：m為饋源艙到反射光線的距離；θ為饋源艙到反射光線的垂線與圓盤的夾角。

饋源艙的接收比即為饋源艙有效區(qū)域可以接收到的反射信號(hào)與300 m口徑內(nèi)反射面板反射出來的信號(hào)之比。

3.3 在理想模型基礎(chǔ)上的優(yōu)化

在獲取各主動(dòng)反射面的大致位置后，可以進(jìn)行通過調(diào)整促動(dòng)器伸縮量以提高饋源艙接收比。為簡化變量，選擇用幾個(gè)特征量來描述調(diào)整后各個(gè)節(jié)點(diǎn)所處的位置特性（特征越少越好），同時(shí)建立促動(dòng)器伸縮量與特征量的函數(shù)關(guān)系，最后利用粒子群算法得出函數(shù)中參數(shù)的最優(yōu)解。

由于拋物面具有很強(qiáng)的對(duì)稱性，因此在同一高度下各節(jié)點(diǎn)的促動(dòng)器二次調(diào)整量應(yīng)大致相同，同時(shí)在同一高度由于拋物面上各點(diǎn)到拋物面軸線距離相等，所以將節(jié)點(diǎn)到拋物面軸線的距離d作為描述其位置特征的特征量。由于促動(dòng)器二次調(diào)整量一般數(shù)值較小，其與d的函數(shù)關(guān)系可以運(yùn)用泰勒展開來近似，即

式中：x為促動(dòng)器二次調(diào)整量；a、b、c為要求的系數(shù)。

隨機(jī)取樣，估計(jì)出a、b、c的范圍為a∈[-0.000 2，0.000 2]、b∈[-0.1，0.1]、c∈[-0.7，0.7]后，運(yùn)用粒子群算法得出較為精確的結(jié)果，根據(jù)a、b、c的大致范圍確定各粒子的運(yùn)動(dòng)范圍。由于本研究中的二元函數(shù)不存在多個(gè)峰值，但是由于約束條件的存在往往會(huì)出現(xiàn)不符合條件的解，因此為保證盡快找出最優(yōu)解，計(jì)算時(shí)慣性系數(shù)應(yīng)隨迭代次數(shù)不斷減小。最終得出使饋源艙接收比達(dá)到最高的x-d的函數(shù)關(guān)系為

饋源艙接收比最高為37.15%。

4 結(jié)束語

隨著球面射電望遠(yuǎn)鏡“FAST”的正式落地啟用，我國的科學(xué)研究取得進(jìn)一步突破。截至目前，已有數(shù)以萬計(jì)的專家學(xué)者對(duì)“FAST”做了各式研究，并且隨著科學(xué)技術(shù)的不斷進(jìn)步，會(huì)有越來越多針對(duì)“FAST”的研究進(jìn)行。相信在不久的將來，我國定能研究設(shè)計(jì)出比“FAST”更優(yōu)更強(qiáng)的射電望遠(yuǎn)鏡。