廣東省佛山市三水區(qū)西南街道健力寶中學(xué)(528100) 盧健勛

命制題目是一個(gè)數(shù)學(xué)教師的基本教學(xué)技能和必備的專(zhuān)業(yè)能力. 數(shù)學(xué)教師加強(qiáng)數(shù)學(xué)命題的研究,有助提升對(duì)數(shù)學(xué)課程的理解能力、教學(xué)過(guò)程中對(duì)習(xí)題的把控能力. 以教材的例題、習(xí)題為母題進(jìn)行命題改編,是各類(lèi)各級(jí)考試命題的重要方法. 筆者以教材中的一則閱讀材料為藍(lán)本,通過(guò)對(duì)該閱讀材料進(jìn)行特殊化改造的方式來(lái)探究數(shù)學(xué)命題過(guò)程中的思路與拓展推廣.

1 命題過(guò)程

1.1 試題在教材中的原型

筆者選取了北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)(2014 年6 月版)中,P156 閱讀材料“反比例函數(shù)圖象與三等分角”為藍(lán)本,原材料如下:

我們知道,利用尺規(guī)可以平分任意一個(gè)角,從而可以把一個(gè)角四等分、八等分……那么,能否用尺規(guī)三等分一個(gè)任意角呢? 公元前5 世紀(jì), 古希臘的學(xué)者們就提出了這個(gè)問(wèn)題. 為了解決這個(gè)問(wèn)題,數(shù)學(xué)家們花費(fèi)了大量的時(shí)間和精力.直到1837 年,數(shù)學(xué)家才證明了”三等分任意角”是不能用尺規(guī)完成的. 在研究這個(gè)問(wèn)題的過(guò)程中, 希臘數(shù)學(xué)家帕普斯(Pappus,約300-350)給出了一種方法,這種方法用今天的方式表示如下圖所示. 你可以按以下步驟嘗試做一做:

(1)建立平面直角坐標(biāo)系,將已知銳角∠AOB的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合,角的一邊OB與x軸正方向重合.

1.2 命題的靈感和思路

以上閱讀材料,只給出了“利用反比例函數(shù)三等分角”的操作方法,但并未給出證明過(guò)程. 教材的原意應(yīng)該是希望學(xué)生能在課余時(shí)間對(duì)問(wèn)題進(jìn)行探究并加以證明. 因此,證明過(guò)程的書(shū)寫(xiě)是命題過(guò)程中必須要涉及的一個(gè)考查點(diǎn). 在此基礎(chǔ)上,如何讓數(shù)形結(jié)合的思想方法滲透到學(xué)生利用反比例函數(shù)、一次函數(shù)的知識(shí)、等腰三角形、矩形的性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)對(duì)題目進(jìn)行證明的過(guò)程中,也是筆者在命制試題時(shí)需要思考的問(wèn)題.

1.3 命題的過(guò)程

1.3.1第一稿

命題剖析: 本題在教材閱讀材料的基礎(chǔ)上,通過(guò)設(shè)計(jì)兩個(gè)小問(wèn),分兩步把利用反比例函數(shù)三等分角的證明過(guò)程進(jìn)行引導(dǎo),有利于降低證明的難度. 雖然學(xué)生在解題過(guò)程中要運(yùn)用反比例函數(shù)、矩形等性質(zhì),但考慮到試題題干設(shè)計(jì)主要是對(duì)作圖過(guò)程的敘述,因此問(wèn)題設(shè)計(jì)梯度不明顯,這對(duì)基礎(chǔ)較差的學(xué)生不友好,不能較好地考察不同學(xué)生的思維深度,區(qū)分度不足,所以有了第二稿.

圖1

1.3.2第二稿

如圖2, 反比例函數(shù)圖象的一支經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,1)、

圖2

表1 ∠AOM、點(diǎn)A 的坐標(biāo)、點(diǎn)C 的坐標(biāo)三者之間的部分對(duì)應(yīng)關(guān)系表

上表選取了部分特殊角或特殊坐標(biāo)進(jìn)行展示. 由上表可以看出,∠AOM是特殊角、點(diǎn)A、C的坐標(biāo)都是特殊值這三個(gè)條件想要同時(shí)滿足是很難的. 一方面是因?yàn)橄胍页鐾瑫r(shí)滿足上述三個(gè)條件的對(duì)應(yīng)關(guān)系難度比較高,第二方面是由于幾何畫(huà)板這個(gè)軟件對(duì)角的度量和對(duì)點(diǎn)的坐標(biāo)的表示均以保留2 位小數(shù)的近似值的形式給出,導(dǎo)致點(diǎn)的坐標(biāo)中如果出現(xiàn)無(wú)理數(shù),則這個(gè)點(diǎn)可能因保留2 位小數(shù)而被遺漏而不被發(fā)現(xiàn).因此,筆者先從滿足其中兩個(gè)條件的對(duì)應(yīng)關(guān)系入手研究.

圖3

1.4 解題過(guò)程

2 命題的拓展與推廣

結(jié)合筆者在命制本題過(guò)程中的思考,筆者認(rèn)為本題可以向以下三個(gè)方向進(jìn)行拓展與推廣:

(1)∠AOM的度數(shù)、點(diǎn)A的坐標(biāo)、點(diǎn)C的坐標(biāo)三者之間

3 試題評(píng)析

本題屬于幾何知識(shí)和函數(shù)知識(shí)綜合運(yùn)用題,需運(yùn)用一次函數(shù)、反比例函數(shù)的知識(shí)、等腰三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)對(duì)題目進(jìn)行求解和證明, 其題目設(shè)計(jì)也具有梯度,適合考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,能有效地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、直觀想像等核心素養(yǎng).

4 命題過(guò)程的思考

作為一線教師,我們應(yīng)當(dāng)注重研究教材. 研究教材,以教材中出現(xiàn)的例題和習(xí)題為藍(lán)本進(jìn)行二次開(kāi)發(fā),通過(guò)對(duì)條件進(jìn)行弱化或強(qiáng)化進(jìn)行有目的的改造,使之成為一類(lèi)問(wèn)題,讓學(xué)生對(duì)這類(lèi)問(wèn)題產(chǎn)生一種“既熟悉又不同”的感覺(jué). 這樣做既能使學(xué)生遷移教材中解決問(wèn)題的基本思想方法,又能引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注教材、重視教材、使用教材、研究教材. 另一方面,對(duì)教師來(lái)說(shuō),以教材中出現(xiàn)的例題和習(xí)題為藍(lán)本命制題目,需要教師在教學(xué)過(guò)程中加深對(duì)課堂內(nèi)學(xué)生以教材為立足點(diǎn)生成知識(shí)過(guò)程的理解,進(jìn)一步關(guān)注學(xué)生的思維深度,深入挖掘教材內(nèi)涵,加強(qiáng)教材習(xí)題變式改編實(shí)踐,提升此類(lèi)題目的命題質(zhì)量,使之成為提升學(xué)生核心素養(yǎng)的利器.

最后,在命題完成后,我們可以根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和考試難度對(duì)題目進(jìn)行適當(dāng)向不同方向進(jìn)行拓展或延伸. 這樣既能引導(dǎo)學(xué)生立足教材,強(qiáng)化基本素材積累、基本知識(shí)掌握、基本能力培養(yǎng)的落實(shí),又可以考查學(xué)生不同方面的能力. 對(duì)教師來(lái)說(shuō),對(duì)命題進(jìn)行適度拓展或延伸,其過(guò)程既體現(xiàn)了教師本人進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)的過(guò)程, 也體現(xiàn)了命題思路從特殊到一般,由封閉到開(kāi)放的過(guò)程,在這一過(guò)程之中教師對(duì)教材的把控能力和命制題目的能力也得到了提升.