江蘇省常州市第五中學(xué)(213000) 畢文聯(lián)

安徽省黃山市屯溪第一中學(xué)(245000) 吳雪縈

2021 年高考已經(jīng)落下帷幕, 在對全國各類高考題研究時(shí),今年全國乙卷文科的導(dǎo)數(shù)壓軸題的解法引起了筆者思考.其實(shí)這道題的整體難度并不高,很多學(xué)生在平時(shí)模擬題中做過類似的題,但是在標(biāo)準(zhǔn)解答中運(yùn)用的因式分解這部分的知識難倒了很多考生.

因式分解是初中數(shù)學(xué)非常重要的知識點(diǎn),通過因式分解可以將復(fù)雜計(jì)算簡單化,提高學(xué)生的解題效率和正確率. 事實(shí)上因式分解在各地中考中所占的比例并不大并沒有引起老師和學(xué)生足夠的重視,高中階段雖然沒有將因式分解單獨(dú)講授,但其在高中數(shù)學(xué)解題過程中卻屢屢出現(xiàn). 筆者將從全國乙卷這道壓軸題出發(fā),探索因式分解在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.

1 試題及解答

題目(2021 年全國乙卷文科第21 題節(jié)選) 已知函數(shù)f(x)=x3-x2+ax+1. 求曲線y=f(x)過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線y=f(x)的公共點(diǎn)的坐標(biāo).

2 困難與解惑

從上述給出的標(biāo)準(zhǔn)解答中我們不難發(fā)現(xiàn)反復(fù)應(yīng)用了因式分解去處理解題過程遇到的一元三次方程. 對于此題入手其實(shí)并不困難,絕大多數(shù)學(xué)生都有較為清晰的解題思路,但是在求出第一個(gè)一元三次方程后就束手無策了. 很多學(xué)生在看到標(biāo)準(zhǔn)答案后更是困惑,高中課本并沒有教授求解一元三次方程的方法,何以想到這樣因式分解呢?

事實(shí)上,在高中階段我們所遇到的兩次以上方程大多數(shù)都是以一些比較常見的數(shù)作為方程的解. 因此對于上題中的兩個(gè)三次方程可以這么去求解(以方程2t3-t2-1 = 0為例) : 首先通過代入一些常見的數(shù)不難發(fā)現(xiàn)t= 1 滿足方程, 于是原方程可以分解為(t-1)(mt2+nt+q) = 0,其中m,n,q均為常數(shù); 然后展開通過待定系數(shù)法可以確定m=2,n=1,q=1.

3 思考與應(yīng)用

因式分解主要有兩個(gè)作用: 一是方便約分化簡;二是可以判斷多項(xiàng)式的正負(fù)符號. 作用一是從初中開始我們所一直在用的,作用二的應(yīng)用從進(jìn)入高一起一直持續(xù)到高三. 從集合到函數(shù)單調(diào)性的判斷,從指數(shù)運(yùn)算到基本不等式,從三角函數(shù)到數(shù)列,從解析幾何中計(jì)算的簡化到高中數(shù)學(xué)中最難的導(dǎo)數(shù)部分,因式分解都有著舉足輕重的地位.

既然因式分解在高中數(shù)學(xué)中有如此基礎(chǔ)和核心的地位,下面我們就一起領(lǐng)略因式分解在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.

例1 (2020 年全國Ⅰ卷改編) 已知集合A={x|x2-3x-4=0},B={-1,3,4,5},求A ∩B=( ).

解由不等式x2-3x-4=0,有(x-4)(x+1)=0,進(jìn)一步x1=-1,x2=4,所以A={-1,4},A ∩B={-1,4}.

集合是進(jìn)入高中后首先學(xué)習(xí)的內(nèi)容,也是每年高考必考的基礎(chǔ)性知識,題目設(shè)置并不難主要涉及求解結(jié)合中的元素,而常見的主要是求解方程以及不等式,這就會不可避免的需要用到因式分解.

例2 (蘇教版必修第一冊習(xí)題5.3) 證明函數(shù)f(x) =-x3+1 在區(qū)間(-∞,0]上是減函數(shù).

解設(shè)x1＜x2≤0,則

解由題意得

本題考察了三角函數(shù)公式的應(yīng)用,首先利用二倍角公式和平方關(guān)系配方化簡,這其中便應(yīng)用了因式分解. 三角函數(shù)運(yùn)算中有很多乘除法和加減法轉(zhuǎn)換的題目,結(jié)合三角函數(shù)自身具有的公式就有了一套因式分解的方法,熟練應(yīng)用因式分解可以降低求解三角函數(shù)題目的計(jì)算量,進(jìn)而提高解題效率和正確率.

例6 (2015 年全國Ⅰ卷理科節(jié)選)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知a2n+2an=4Sn+3,an ＞0,求{an}的通項(xiàng)公式.

解由a2n+ 2an= 4Sn+ 3, 可知a2n+1+ 2an+1=4Sn+1+3,兩式相減得a2n+1-a2n+2(an+1-an)=4an+1,即2(an+1+an) =a2n+1-a2n= (an+1+an)(an+1-an).因?yàn)閍n ＞0,所以an+1-an=2,又a21+2a1=4a1+3,故a1=-1(舍)或a1=3,則{an}是首項(xiàng)為3,公差d=2 的等差數(shù)列. 因此{(lán)an}的通項(xiàng)公式an=3+2(n-1)=2n+1.

本題主要考察根據(jù)數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式,題目難度并不大在高考數(shù)學(xué)中也是基礎(chǔ)題,通過作差法即可求出答案. 教材中主要向?qū)W生講授的等差數(shù)列與等比數(shù)列相關(guān)知識,但是學(xué)生在解題時(shí)常會遇到變形后的數(shù)列(如上題),由于看不出數(shù)列所具有的特性而束手無策. 而這些題目常常會涉及到因式分解,許多題目只有通過因式分解化簡以后才能看出等差數(shù)列或者等比數(shù)列,熟練掌握因式分解將會助力學(xué)生解決此類問題.

例7 (2021 江蘇南京高三二模節(jié)選) 在平面直角坐標(biāo)系xoy內(nèi),已知拋物線y=x2的焦點(diǎn)為F,P為平面直角坐

本題的難度較高,解題的關(guān)鍵在于能否運(yùn)用因式分解的方法進(jìn)行計(jì)算. 大多數(shù)同學(xué)都具有由垂直關(guān)系列出等式的意識,但在求解方程時(shí)就障礙重重,甚至自我懷疑是不是解題角度出錯(cuò)了. 在每年各地的高考中解析幾何是必考內(nèi)容之一,也是高中最難的知識點(diǎn)之一,其中的計(jì)算量更是讓很多同學(xué)折戟沉沙. 在解析幾何復(fù)雜且大量的計(jì)算中,因式分解是基本解題技巧,合理的使用因式分解往往可以“撥開迷霧乾坤有,又見花香鳥語傳”.

本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系以及分類討論的思想,考查了運(yùn)算能力和化歸能力. 筆者通過調(diào)查發(fā)現(xiàn),學(xué)生存在的主要問題是沒有因式分解的思維,進(jìn)而無法進(jìn)行分類討論.導(dǎo)數(shù)對于研究函數(shù)的作用是毋庸置疑的,在求導(dǎo)后如何判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)符號是關(guān)鍵,因式分解恰恰判斷正負(fù)符號的一把“鑰匙”.

思考: 高中數(shù)學(xué)中大部分知識都由初中基礎(chǔ)發(fā)展而來,在內(nèi)容上更多、更深、更廣、更抽象[1]. 通過上述應(yīng)用我們不難發(fā)現(xiàn)因式分解是串起整個(gè)高中數(shù)學(xué)的重要線索,但是在高中數(shù)學(xué)課本中卻沒有哪一個(gè)章節(jié)專門介紹因式分解的做法.筆者認(rèn)為這就是一種能力的缺失,同時(shí)也是初中和高中知識點(diǎn)的一個(gè)脫節(jié),這恰恰可能是許多學(xué)生進(jìn)入高中后跟不上的原因之一. 我們作為教育工作者要在時(shí)常的教學(xué)過程中注意初高中知識點(diǎn)的銜接, 不能僅僅將知識講授停留在教材上,更應(yīng)當(dāng)立足教材著眼于解決學(xué)生各個(gè)階段知識體系銜接的問題.

總之,因式分解是高中數(shù)學(xué)中知識體系中重要的一部分,做好初、高中知識銜接教學(xué)是高中教學(xué)的重要環(huán)節(jié),其最終目的是讓學(xué)生形成自己的有效知識網(wǎng)絡(luò)[2]. 學(xué)生只有形成有效的知識網(wǎng)絡(luò),才能在學(xué)習(xí)和解題上事半功倍.