李曉飛

(睢寧縣古邳鎮(zhèn)中心小學(xué)， 江蘇 徐州 221241)

“三會”即“會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界、會用數(shù)學(xué)思維思考世界、會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界”[1]。史寧中教授認(rèn)為“三會”的本質(zhì)是核心素養(yǎng)，以數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)模型為本質(zhì)特征[2]。作為新課標(biāo)的指導(dǎo)思想，“三會”體現(xiàn)數(shù)學(xué)塑造和提升學(xué)生抽象、推理、模型等核心素養(yǎng)的學(xué)科價值，從教的層面指出以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力為教學(xué)目標(biāo)，從學(xué)的角度提出讓學(xué)生自主習(xí)得數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵能力。通過教與學(xué)，學(xué)生學(xué)會思維方法，能夠自覺、自主地選擇與支配數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)用于實際，優(yōu)化問題解決的方法，形成良好的數(shù)學(xué)意識，積淀理性精神，實現(xiàn)學(xué)科育人功能。

數(shù)學(xué)元認(rèn)知是對數(shù)學(xué)認(rèn)知活動的認(rèn)知。數(shù)學(xué)認(rèn)知以數(shù)學(xué)材料為認(rèn)知對象進(jìn)行識別、加工和理解，數(shù)學(xué)元認(rèn)知是以這一認(rèn)知過程為認(rèn)知對象，以監(jiān)控和調(diào)節(jié)認(rèn)知進(jìn)程為目標(biāo)的認(rèn)知活動[3]。就是在探尋數(shù)學(xué)知識本質(zhì)內(nèi)涵的過程中，學(xué)習(xí)主體將下意識中的心智活動調(diào)動到意識層面上來，內(nèi)驅(qū)個體自我管控以保持專注力，自主發(fā)現(xiàn)和提出問題，能動選擇觀察比較、分析思考、抽象概括、質(zhì)疑辨析、推理證明、合理表達(dá)、反思總結(jié)等思維方式，整合加工數(shù)學(xué)信息解決問題，促使對事物的認(rèn)知程度向更高階段發(fā)展的思維品質(zhì)與能力。它全程動態(tài)監(jiān)控正在發(fā)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知活動，是整個認(rèn)知活動的“監(jiān)察者”“調(diào)控者”和“引領(lǐng)者”[4]。小學(xué)生數(shù)學(xué)元認(rèn)知能力養(yǎng)成策略的探究，是對“三會”理念“會”字的解讀與實踐，也是對如何讓學(xué)生學(xué)會思維方法的理解與把握。

一、研究價值與認(rèn)知偏差

(一)研究價值——提升思維品質(zhì)

“三會”視域下數(shù)學(xué)元認(rèn)知能力的培養(yǎng)，實質(zhì)是數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的訓(xùn)練與提升。以學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律為前提，通過對數(shù)學(xué)認(rèn)知、自我體驗和自我監(jiān)控的訓(xùn)練，養(yǎng)成數(shù)學(xué)元認(rèn)知能力，讓學(xué)生學(xué)會思維方法，提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

1.加深知識理解，提升應(yīng)用技能

對數(shù)學(xué)認(rèn)知過程的再認(rèn)知，是對新知的回顧、整理和反思?！胺雌c”的實質(zhì)是對新知內(nèi)涵的細(xì)化、加工和吸收，加深學(xué)生對知識本質(zhì)屬性的認(rèn)知與理解，提升判斷分析和實際應(yīng)用相關(guān)知識的能力，潛移默化使之彼此勾連形成體系，讓學(xué)生自主調(diào)整和完善原有的知識結(jié)構(gòu)。這一過程，促使學(xué)生深刻感悟抽象、推理、模型思想在新知構(gòu)建中既是數(shù)學(xué)思想，也是數(shù)學(xué)方法，是“學(xué)會思維方法”必要前提。

2.積淀活動體驗，落實核心素養(yǎng)

對數(shù)學(xué)認(rèn)知過程的再認(rèn)知，是對數(shù)學(xué)體驗的積淀和核心素養(yǎng)的落實。知識“反芻”促使學(xué)生在意識層面重新經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動，將觀察比較、分析綜合、抽象概括、歸納總結(jié)等思維活動經(jīng)驗，再次“咀嚼”、接納與“回味”，使初始的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗得以淬煉，加深學(xué)生對“抽象、推理、模型”等數(shù)學(xué)基本思想的體驗與感悟，催生積極情感，加強個體意識對數(shù)學(xué)活動的控制與調(diào)節(jié)，提升數(shù)學(xué)認(rèn)知的主動性和自覺性，是“學(xué)會思維方法”必經(jīng)之路。

3.關(guān)注一般規(guī)律，養(yǎng)成思維習(xí)慣

對數(shù)學(xué)認(rèn)知過程的再認(rèn)知，是對個體在學(xué)習(xí)過程中使用的探究方法方式與自我監(jiān)管水平的反觀和內(nèi)省。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中，如何快捷打通節(jié)點驅(qū)使思維向更深處進(jìn)階，如何操作更符合數(shù)學(xué)規(guī)范等，通過自我反思，促使個體透過腦海中再現(xiàn)經(jīng)歷過的學(xué)習(xí)表象，努力尋求支撐這些表象更上位意識中的思維能力及品質(zhì)，歸納富有個性且具有一般性的思維方式或規(guī)律，改變自身行為，形成良好的自我管控能力和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，是“學(xué)會思維方法”必要條件。

(二)認(rèn)知偏差——教學(xué)現(xiàn)象及成因分析

元認(rèn)知是由20世紀(jì)70年代美國心理學(xué)家J.H.弗拉維爾提出的概念，他認(rèn)為元認(rèn)知是學(xué)生“學(xué)會思維”的理論基礎(chǔ)。國內(nèi)1989年董奇老師在《心理發(fā)展與教育》上首次引入元認(rèn)知概念，指出：元認(rèn)知實質(zhì)是人對認(rèn)知活動的自我意識和自我調(diào)節(jié)。

對認(rèn)知過程的再認(rèn)知，具體體現(xiàn)為學(xué)生清楚自己正在做什么，為什么而做，這么做是否合適，還可以怎樣選擇等，作為上位意識監(jiān)控正在進(jìn)行的認(rèn)知活動，不斷指引、調(diào)整接下來的認(rèn)知活動。有些教師將學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)直接視為對數(shù)學(xué)材料的識別、加工和理解，分析和培養(yǎng)小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，側(cè)重從具體的數(shù)學(xué)感知、記憶、理解、概括、應(yīng)用入手，對學(xué)生的學(xué)習(xí)多以教師監(jiān)控管理為主要方式。導(dǎo)致某些教師要求嚴(yán)厲，任教班級的試題量化成績整體有提高，但學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平滯后甚至每況愈下，根本原因是師生都習(xí)慣于依賴教師的指導(dǎo)開展學(xué)習(xí)，學(xué)生因沒有掌握思維方法致使后勁不足，即數(shù)學(xué)元認(rèn)知能力的培養(yǎng)未得到足夠重視。

讓學(xué)生學(xué)會思維方法，對自己的數(shù)學(xué)探究行為作出理性的判斷、選擇和調(diào)整，“會”用抽象、推理、模型等基本數(shù)學(xué)思想，來觀察、思考和表達(dá)現(xiàn)實世界，全面發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，小學(xué)生數(shù)學(xué)元認(rèn)知能力養(yǎng)成策略的探究勢在必行。

二、小學(xué)生數(shù)學(xué)元認(rèn)知能力養(yǎng)成策略的實踐內(nèi)核

踐行“三會”理念，推動數(shù)學(xué)元認(rèn)知能力拔節(jié)生長。小學(xué)生年齡越小越趨于模仿學(xué)習(xí)，習(xí)慣依賴教師的指導(dǎo)和幫助，自我監(jiān)控能力薄弱。要學(xué)會思維方法，教師須有意識地引領(lǐng)和指導(dǎo)學(xué)生，對自己的數(shù)學(xué)認(rèn)知過程進(jìn)行再認(rèn)知。

(一)多元并舉為實踐探究的前提

尊重認(rèn)知差異，允許多元方式并存，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)元認(rèn)知能力的前提。數(shù)學(xué)元認(rèn)知從屬意識層面，具有鮮明的個性特征。“因材施教”“以生為本”“學(xué)為中心”，都強調(diào)立足學(xué)情，讓不同認(rèn)知水平的學(xué)生，以富有個性特色的數(shù)學(xué)觀察、思考與表達(dá)，關(guān)照現(xiàn)實世界的“數(shù)量關(guān)系、空間形式和變化規(guī)律”[5]，實現(xiàn)認(rèn)知規(guī)律的一般化。如計算“小數(shù)加減法”，可運用人民幣進(jìn)率轉(zhuǎn)化成元角分計算；可通過計數(shù)器撥珠計數(shù)原理計算；可借助計數(shù)單位進(jìn)行計算……方法在抽象水平上有差異，但論證和表達(dá)都指向小數(shù)加減法運算定律：小數(shù)點對齊就是相同數(shù)位對齊，使相同計數(shù)單位的數(shù)相加減。多元并舉實現(xiàn)算法與算理相融，讓學(xué)生在各自水平上完整經(jīng)歷抽象、推理和模型全過程，為養(yǎng)成數(shù)學(xué)元認(rèn)知能力奠定堅實的認(rèn)知經(jīng)驗基礎(chǔ)。

(二)方案恰適為實踐探究做保障

優(yōu)質(zhì)的學(xué)習(xí)路徑是養(yǎng)成小學(xué)生數(shù)學(xué)元認(rèn)知能力的保障。所謂優(yōu)質(zhì)路徑，就是在恰適的方案指導(dǎo)下開展恰適的數(shù)學(xué)探究活動?！扒∵m”之意：一是教學(xué)設(shè)計得當(dāng)。教學(xué)目標(biāo)和重難點定位準(zhǔn)確，版塊設(shè)計依循學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，符合知識結(jié)構(gòu)的邏輯順序；創(chuàng)設(shè)問題背景，依據(jù)教學(xué)目標(biāo)、重難點，針對各版塊的知識核心設(shè)計問題，驅(qū)動學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)和提出問題，并能嘗試應(yīng)用抽象、推理、模型思想自主分析和解決問題。二是活動開展高效。教師角色轉(zhuǎn)換自如，機智處理預(yù)設(shè)與生成，教學(xué)用時與重難點的突破相契合；數(shù)學(xué)交流遵循認(rèn)知規(guī)律，及時將淺層對話引向深度交流，指導(dǎo)學(xué)生反思獲得的知識、能力與情感體驗，客觀評價自我探究過程。恰適方案為數(shù)學(xué)元認(rèn)知能力的攀升搭好支架，是小學(xué)生數(shù)學(xué)元認(rèn)知能力養(yǎng)成的有力保障。

(三)思維方法指導(dǎo)是實踐探究目標(biāo)

數(shù)學(xué)元認(rèn)知的結(jié)構(gòu)包括數(shù)學(xué)元認(rèn)知知識(主體的知識儲備)、數(shù)學(xué)元認(rèn)知體驗(認(rèn)知體驗或情感體驗)和數(shù)學(xué)元認(rèn)知監(jiān)控(自我監(jiān)管和調(diào)節(jié))三方面[6]。培養(yǎng)數(shù)學(xué)元認(rèn)知能力，要讓學(xué)生習(xí)得具體可行的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法和思維路徑，將無形的數(shù)學(xué)思想和思維形式以有形的操作方式加以實現(xiàn)和表征，使數(shù)學(xué)元認(rèn)知養(yǎng)成策略具體化。

1.落腳數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，強化元認(rèn)知知識路徑

(1)“數(shù)學(xué)的眼光”方法指導(dǎo)

數(shù)學(xué)的眼光是指數(shù)學(xué)抽象，小學(xué)則是符號意識、數(shù)感、量感、空間意識、幾何直觀。數(shù)學(xué)抽象的基本特征是數(shù)學(xué)的一般性，其養(yǎng)成策略也具有可操作推廣的特性。以《角的初步認(rèn)識》為例。學(xué)生建立角的概念須經(jīng)歷觀察臨摹—想象比畫—形成表象—感知特征—生成概念的過程。用靜態(tài)實物激活“拐角”這一生活經(jīng)驗，初步感知“數(shù)學(xué)角”的樣子，動態(tài)呈現(xiàn)鐘面指針形成的夾角，體會角的形態(tài)多樣、位置可變。學(xué)生在觀察、比畫、想象、操作、體會中，將“尖尖的”“平平的”直觀感受和角的頂點與邊的特征對接，促使“感性”直觀進(jìn)階幾何直觀。再操作活動角感受“量性”和“質(zhì)性”特征——角的大小與兩條邊開合程度有關(guān)，滲透其二維特點，完整建構(gòu)角的概念。這一抽象過程的具體操作包括：從細(xì)部到整體的有序觀察，多元、多樣的比畫操作，有明確對象的展開想象，有目的有具體方法的實踐，主次分明談體會等。指導(dǎo)學(xué)生掌握注意事項，切實提升數(shù)學(xué)抽象這一核心素養(yǎng)。

(2)“數(shù)學(xué)的思維”方法指導(dǎo)

數(shù)學(xué)的思維主要是邏輯推理，小學(xué)則是推理意識和運算能力。從學(xué)科關(guān)鍵能力的含義來看，“運算能力”涵蓋抽象、推理、建模等基本數(shù)學(xué)思想。曹才翰教授在《中國中學(xué)教學(xué)百科全書·數(shù)學(xué)卷》中指出：運算能力不是一種單一的數(shù)學(xué)能力，而是運算能力和邏輯思維等綜合能力。學(xué)生用豎式計算0.8×3和2.75×3，可根據(jù)人民幣進(jìn)率轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘法運算，再換算成用元做單位的小數(shù)結(jié)果；可根據(jù)積的變化規(guī)律將小數(shù)乘法轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘法，再運用小數(shù)點位移還原；可用8個0.1或275個0.01分別乘3算出積，再用“一”做計數(shù)單位表示計算結(jié)果。借助生活經(jīng)驗逐步走向直觀化數(shù)學(xué)方法，切準(zhǔn)數(shù)學(xué)本質(zhì)內(nèi)涵，一一求證計算的過程，邏輯推理意識潛滋暗長?？梢娦W(xué)段推理求證最基本的方法是：培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)系生活經(jīng)驗和相關(guān)知識展開想象、尋求依據(jù)與求證之間的關(guān)聯(lián)的思維習(xí)慣，能選擇合適的數(shù)學(xué)語言表征求證過程，以保障前因后果符合邏輯。另外提醒學(xué)生，自己的求證依據(jù)可舉例驗證。

(3)“數(shù)學(xué)的表達(dá)”方法指導(dǎo)

數(shù)學(xué)的表達(dá)指的是建立數(shù)學(xué)模型，小學(xué)則是建立模型意識和數(shù)據(jù)意識。數(shù)學(xué)最終必須要舍去背景，得到一般的東西。從實例出發(fā)，不斷舍去背景，最終留下的就是模型。學(xué)習(xí)“5以內(nèi)加法”，具體情境指向要將3和2合并，在此基礎(chǔ)上介紹加法運算，溝通現(xiàn)實情境與加法運算之間的聯(lián)系，初步形成加法運算直觀模型；再在應(yīng)用中體會“合并”就需加法計算，形成穩(wěn)定的加法運算模型。數(shù)據(jù)意識是指感悟數(shù)據(jù)的意義，知道運用數(shù)據(jù)可以解釋和分析實際問題。如學(xué)生發(fā)現(xiàn)將單式統(tǒng)計表合并更便于數(shù)據(jù)分析，能給予各小組演出服和樂器的顏色、款式、數(shù)量合理化建議，凸顯數(shù)據(jù)意識在復(fù)式統(tǒng)計表建模中的重要作用。培養(yǎng)學(xué)生的模型意識和數(shù)據(jù)意識，需要強化數(shù)學(xué)表達(dá)的方法：一是數(shù)學(xué)語言的選擇，可用肢體動作配合圖表說明或語言描述，逐漸豐富數(shù)學(xué)符號的積累；二是養(yǎng)成數(shù)學(xué)交流表達(dá)的良好習(xí)慣，能自主觀察比較數(shù)學(xué)信息，尋求內(nèi)在關(guān)聯(lián)和規(guī)律，有條理、有次序、有邏輯的簡潔表達(dá)。

抽象、推理、模型在認(rèn)知過程中不是割裂的，以上事例只是試圖從最能凸顯其特點的地方加以分析說明尋求對應(yīng)的方法指導(dǎo)。新知教學(xué)一般都要經(jīng)歷從具體情境抽象成數(shù)學(xué)問題再建立數(shù)學(xué)模型。

2.結(jié)構(gòu)化中再感悟，促生元認(rèn)知體驗

數(shù)學(xué)元認(rèn)知體驗是對數(shù)學(xué)認(rèn)知過程的再認(rèn)知，包括認(rèn)知體驗和情感體驗?；仡櫶骄窟^程，讓知識形成結(jié)構(gòu)，深化數(shù)學(xué)認(rèn)知體驗，融入積極情感體驗，促使理性思維良性發(fā)展。形成“復(fù)式統(tǒng)計表”模型后，讓學(xué)生完整有序地回顧建模過程，復(fù)盤多個單式表合并成復(fù)式表的原貌，感受單復(fù)式統(tǒng)計表結(jié)構(gòu)不同，且復(fù)式表的數(shù)據(jù)集中更便于比較的特征，強化單復(fù)式統(tǒng)計表的各自價值。鼓勵學(xué)生用簡潔方式呈現(xiàn)對數(shù)學(xué)認(rèn)知過程的再認(rèn)知，促使數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)化(如圖1)。指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)結(jié)構(gòu)圖，回顧動手操作、觀察比較、分析思考、歸納總結(jié)、抽象概括在問題情境中的具體應(yīng)用，“反芻”抽象、推理、模型數(shù)學(xué)思想在思維進(jìn)階中的作用。學(xué)生自我感知個體的思維拔節(jié)過程，提高主動應(yīng)用數(shù)學(xué)邏輯思維的意識和能力，逐步形成數(shù)學(xué)元認(rèn)知體驗的養(yǎng)成策略。

圖1 “復(fù)式統(tǒng)計表”模型

3.內(nèi)省反思促成長，提高元認(rèn)知監(jiān)控

數(shù)學(xué)元認(rèn)知監(jiān)控體現(xiàn)學(xué)生高度的自我約束力，包括自我監(jiān)管和自我調(diào)節(jié)。就是學(xué)生清楚在學(xué)習(xí)過程中自己正在經(jīng)歷什么，以及在這一過程中如何選擇合適的方法開展學(xué)習(xí)活動，不斷地自我提示將注意力集中在活動目標(biāo)上。養(yǎng)成學(xué)生內(nèi)省反思的習(xí)慣，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)元認(rèn)知監(jiān)控的主要策略。實踐活動“大樹有多高”，元認(rèn)知監(jiān)控時刻提醒學(xué)生：不能偏離活動主題與方向，要分別測量不等長竹竿的長度及其影長，通過計算發(fā)現(xiàn)兩者之間的正比例關(guān)系，再根據(jù)大樹影長求出實際高度；在實踐中不斷嘗試、改進(jìn)、尋求更精確的測量方法，主動對比各組測量數(shù)據(jù)尋求規(guī)律以解決問題；自主內(nèi)省探究活動中的成敗原因總結(jié)經(jīng)驗等。因此，要培養(yǎng)學(xué)生的專注力，讓他們能長時間地觀察比較和分析思考，尋求解決問題的途徑；要培養(yǎng)自主選擇方法勇于嘗試的習(xí)慣，明白所有的捷徑都是經(jīng)歷多次試錯的成果；要養(yǎng)成良好的與人交流和自我對話的習(xí)慣，正確認(rèn)識自身不足，采長補短自我完善。

(四)“學(xué)會思維方法”為實踐探究成效

踐行“三會”理念，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)元認(rèn)知能力，體現(xiàn)在學(xué)會思維方法并能自主應(yīng)用上。掌握數(shù)學(xué)探究活動的操作流程和思維程序，會表征和交流數(shù)學(xué)思維成果，能有效地自我反思，是小學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平的直觀展現(xiàn)，也是數(shù)學(xué)元認(rèn)知能力的具體外化。

1.掌握探究活動的一般步驟

學(xué)會、實踐和應(yīng)用數(shù)學(xué)探究活動的一般操作步驟，是“學(xué)會思維方法”外顯的具體樣態(tài)，也是踐行“三會”理念的基本技能。以《認(rèn)識面積單位》為例。學(xué)生認(rèn)識1 cm2的大小，既要培養(yǎng)“量感”，也要指導(dǎo)學(xué)習(xí)方法。讓學(xué)生回顧1 cm2的認(rèn)識過程，重溫剪一剪、摸一摸、想一想、比一比、找一找的探究步驟，再次經(jīng)歷從直觀感受到空間想象構(gòu)建1個面積單位表象的過程，在生活應(yīng)用中逐步符號化，完成面積單位幾何直觀的全過程。知識內(nèi)涵和學(xué)習(xí)方法得到雙重精準(zhǔn)建構(gòu)，后繼其他面積計量單位，將會呈現(xiàn)自然生長的狀態(tài)。學(xué)生會用同樣方法自主建構(gòu)1 dm2和1 m2的大小，“學(xué)會思維方法并能主動應(yīng)用”真正發(fā)生，學(xué)生的數(shù)學(xué)元認(rèn)知能力已然拔節(jié)生長。

2.思維發(fā)展呈現(xiàn)依序進(jìn)階樣態(tài)

會思考是“學(xué)會思維方法”最有力的證明，是踐行“三會”理念的最高標(biāo)準(zhǔn)，也是數(shù)學(xué)元認(rèn)知能力的內(nèi)核。以策略教學(xué)《一一列舉》為例。通過理解、分析題意，知道求“周長22 m且長和寬為整米數(shù)的最大面積”，需要呈現(xiàn)和比較所有可能，初步認(rèn)識列舉；對比不同的列舉方式，發(fā)現(xiàn)有序列舉更方便查漏去重解決問題，體驗策略價值；應(yīng)用中歸納操作步驟——定標(biāo)準(zhǔn)、找起點、依序呈現(xiàn)、查漏去重，發(fā)現(xiàn)適用列舉策略解決的問題特征。從“是什么、為什么、怎么用”的角度關(guān)照學(xué)習(xí)全過程，學(xué)生的探究目標(biāo)、思考方向和研究范圍更確切明晰，每個問題解決都經(jīng)歷觀察表象—比較尋聯(lián)—關(guān)聯(lián)推想—分析甄別—歸納整理的思考過程，每個答案都有準(zhǔn)確依據(jù)。唯有思維路徑清晰、方法明確、依據(jù)充分，并在實踐中不斷嘗試、調(diào)整和完善，才能真正把握思維方法的要領(lǐng)，讓思維進(jìn)階更順暢。

3.會表征和交流數(shù)學(xué)思維成果

數(shù)學(xué)表征是數(shù)學(xué)交流的工具。數(shù)學(xué)交流，是對數(shù)學(xué)知識、方法和思想交互共享的雙邊或多邊的連續(xù)性行為，以圖像、文字、符號或圖形等多種表征為載體[7]。學(xué)習(xí)“假設(shè)策略”，呈現(xiàn)問題情境，學(xué)生收集“大杯和小杯果汁共720 mL、小杯容量是大杯的三分之一、求大杯和小杯的容量”等信息；根據(jù)大、小杯容量間的倍比關(guān)系嘗試替換假設(shè)，出現(xiàn)畫圖、列方程不同表征方式；分析數(shù)量關(guān)系確定思路列出算式。交流共享時，學(xué)生于傾聽中對獲得信息再思考分析做出回應(yīng)，推動交流活動進(jìn)階。這一過程，學(xué)生主動協(xié)作聽、說、讀、寫、看多種方式收集有效信息，通過觀察、比較、猜測、聯(lián)想、實驗等，將數(shù)學(xué)直覺加工為基礎(chǔ)邏輯思維轉(zhuǎn)譯出新的數(shù)學(xué)信息，再用恰適的數(shù)學(xué)語言表征，力求言簡意賅有條理，先后有序符合邏輯，充分彰顯“學(xué)會思維方法”在數(shù)學(xué)交流活動中的價值。

4.有清晰的自我反思路徑

會自我反思是元認(rèn)知的典型特征，也是“學(xué)會思維方法”踐行“三會”理念的主要路徑。自我反思包括知識梳理、探究方法和情感體驗。以《認(rèn)識一個整體的幾分之一》為例。學(xué)生沿著認(rèn)知先后順序展開自我反思。知識層面，從認(rèn)識“一個整體”到認(rèn)識“一個整體的二分之一及幾分之一”，重新刻畫“把一些物體看作一個整體平均分”“平均分成幾份分母就是幾，其中的一份無論是多少都是這個整體的幾分之一”，加深分?jǐn)?shù)概念的理解。方法層面，從動手操作找一盤桃的二分之一，通過觀察比較、分析思考，在“變與不變”中歸納概括“一個整體”和“一個整體的二分之一”，到再次應(yīng)用動手操作、觀察對比、分析思考、歸納總結(jié)，抽象概括“一個整體的幾分之一”，凸顯探究方法是“學(xué)會思維方法”的重要途徑。情感體驗層面，回顧學(xué)習(xí)過程中的情緒變化，探尋背后的原因，側(cè)重面臨困難時如何重塑自信，偏離主題時如何保持專注力，根據(jù)學(xué)習(xí)實效如何客觀評價自我等，培養(yǎng)自我監(jiān)管習(xí)慣，提升學(xué)習(xí)品質(zhì)。

三、小學(xué)生數(shù)學(xué)元認(rèn)知能力養(yǎng)成策略的整體建設(shè)

培養(yǎng)小學(xué)生數(shù)學(xué)元認(rèn)知能力，踐行“三會”理念，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，不僅從學(xué)科素養(yǎng)和教學(xué)方法層面思考，還應(yīng)具備頂層設(shè)計意識，做好整體外圍建設(shè)工作。

(一)培養(yǎng)學(xué)科積極情感

學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)，才會喜歡學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)元認(rèn)知才會有更大的發(fā)展空間。親其師信其道，教師熱愛教學(xué)喜歡孩子，言行舉止自然流露童心童趣，孩子回饋的必然是更濃烈的情感；教學(xué)設(shè)計以孩子喜聞樂見的故事、游戲等形式開展，才能符合兒童認(rèn)知規(guī)律獲得成效；尊重學(xué)生差異、允許多元理解，教學(xué)評價以欣賞、鼓勵為主，就會在教學(xué)中逐漸生發(fā)和積累學(xué)科的積極情感。

(二)將“學(xué)會思維方法”作為長期目標(biāo)

將“學(xué)會思維方法”植入教學(xué)理念，數(shù)學(xué)元認(rèn)知能力養(yǎng)成策略的探究才會發(fā)生。2022版小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，詳細(xì)解讀“三會”理念，界定數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)各要素。教師要領(lǐng)會“三會”內(nèi)涵和課程目標(biāo)，學(xué)習(xí)元認(rèn)知理論，打破以往從高段才培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)元認(rèn)知能力的傳統(tǒng)，從低年級開始滲透，對學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)常規(guī)、學(xué)科情感和反思習(xí)慣進(jìn)行針對性培養(yǎng)訓(xùn)練，并作為整個小學(xué)段教育教學(xué)長期目標(biāo)，為學(xué)生終身發(fā)展打造良好的思維品質(zhì)。

(三)夯實“種子課”提升“綜合與實踐”的效益

“種子課”與“綜合與實踐”是養(yǎng)成數(shù)學(xué)元認(rèn)知能力的典型課例。所謂種子課，通常是在知識起點或節(jié)點處，為后繼“生長課”提供遷移的力量[8]。種子課要深耕細(xì)作，給予精細(xì)的學(xué)法指導(dǎo)。學(xué)生在“種子課”上獲得學(xué)習(xí)方法，“生長課”就會自主拔節(jié)。小學(xué)段的“綜合與實踐”都是主題活動。學(xué)生面對現(xiàn)實背景，從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)并提出問題，綜合運用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的知識與方法，分析并解決問題，形成和發(fā)展核心素養(yǎng)[9]。綜合與實踐為學(xué)生創(chuàng)設(shè)闊大的生長空間，是養(yǎng)成學(xué)生數(shù)學(xué)元認(rèn)知能力、踐行“三會”理念最有效的方式。

(四)精心設(shè)計課后作業(yè)

作業(yè)設(shè)計為養(yǎng)成學(xué)生的數(shù)學(xué)元認(rèn)知能力開辟更廣闊的空間。課后作業(yè)不拘泥于知識點內(nèi)涵的考察，而是讓學(xué)生在實際生活中，通過實踐操作進(jìn)一步驗證個人對知識的理解，加深對知識本質(zhì)的認(rèn)知；能夠靈活地運用知識解決實際問題，培養(yǎng)自我的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識。因此，課后作業(yè)設(shè)計應(yīng)以有意義的操作性活動或開放型題目為導(dǎo)向，為發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)服務(wù)。▲