南京市金陵中學(210000) 郭 立

一、試題新解

在了解萬能法之前,我們首先要明確哪些問題是端點效應問題,其解決問題的關鍵步驟是什么?

二、問題背景及解決步驟

我們經(jīng)常遇到不等式恒成立求參數(shù)取值范圍問題,例如,已知含參數(shù)m的函數(shù)f(x,m) ≥0 在區(qū)間[a,+∞)恒成立,其中f(a,m) = 0,求參數(shù)m的取值范圍. (此類問題以上述情況為例,其它情況類似處理)

對于如上問題當參數(shù)分離法無法奏效時,我們歸為端點效應類問題.

而通常情況下,我們在解決端點效應問題時一般先進行必要條件探路,而問題的難點是如何說明當參數(shù)不在必要條件的范圍內(nèi)時,找到端點的一個鄰域范圍內(nèi),使得不符合恒成立的條件. 在有些參考答案中,經(jīng)常見到用放縮法結(jié)合零點存在定理去找鄰域, 而放縮法卻是很多同學學習的難點,從而將此類問題復雜化.

其實, 通過上述例題我們便可以提煉出一套萬能解法,現(xiàn)在我們總結(jié)其一般解題步驟如下:

首先,求f′(x,m)及f′(a,m)的值,

(1)當f′(a,m)/= 0 時, 判斷一階導數(shù)f′(x,m)的單調(diào)性,此類問題中其均為單調(diào)遞增函數(shù). 接下來就可以按照萬能解法的套路解題了. 分兩種情況討論:

三、靈活處理,舉一反三

當然,有時候的萬能法也不一定很順利,我們可以看到,萬能法的關鍵就是要證明導函數(shù)的單調(diào)性,那如果在單調(diào)性這里遇到困難時怎么辦呢? 比如說下面的題目:

例3 設函數(shù)f(x) =(x2-a)ex,a ∈R,e 是自然對數(shù)的底數(shù). 當x≥0 時,f(x)+x+a≥0,求a的取值范圍.

分析 構(gòu)造函數(shù)g(x) =(x2-a)ex+x+a,x≥0,g(0)=0.g′(x)=(x2+2x-a)ex+1,g′(0)=1-a.

首 先 討 論g′(x) 的 單 調(diào) 性. 由 于g′′(x) =(x2+4x+2-a)ex,顯然,g′′(x)的符號和y=x2+4x+2-a的符號一致,當x≥0 時,y=x2+4x+2-a≥2-a.