江蘇省常州市第二中學(xué)(213003) 王 強(qiáng) 黃 雯

解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何問題的數(shù)學(xué)分支,既是近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,又是高中數(shù)學(xué)課程的主干內(nèi)容. 平面解析幾何的研究方法是通過建立幾何圖形的代數(shù)方程(或不等式),實(shí)施代數(shù)運(yùn)算,并由代數(shù)運(yùn)算的結(jié)果得到幾何圖形的性質(zhì).

四點(diǎn)共圓是一類富有和諧美的幾何問題,如何將其轉(zhuǎn)化成為代數(shù)問題是一個難點(diǎn), 在全國高考和各地?？贾兴狞c(diǎn)共圓問題經(jīng)常出現(xiàn). 文[1]通過對五道高考試題中的四點(diǎn)共圓進(jìn)行賞析, 統(tǒng)一使用了圓的定義進(jìn)行證明. 文[2]通過對文[1]中的四點(diǎn)共圓的結(jié)論進(jìn)行推廣,統(tǒng)一使用了相交弦定理的逆定理進(jìn)行證明. 本文利用解析法,借助兩個結(jié)論:共底邊的兩個三角形頂角相等,且在底邊的同側(cè),則四點(diǎn)共圓;凸四邊形對角互補(bǔ), 則四個頂點(diǎn)共圓, 對數(shù)學(xué)通報(bào)上一類四點(diǎn)共圓問題進(jìn)行了解法探究并進(jìn)行了類比推廣,借助GeoGebra 軟件先猜再證,得到了一些美妙的結(jié)論,將其整理下來與讀者共享. 探究中筆者深切感受到GeoGebra 軟件在圓錐曲線問題研究中的繪圖簡便性,更感受到圓錐曲線的內(nèi)在統(tǒng)一性.

1. 探究由來,問題呈現(xiàn)

《數(shù)學(xué)通報(bào)》2021 年11月數(shù)學(xué)問題2629: 設(shè)雙曲線C的兩焦點(diǎn)為F1,F2,兩準(zhǔn)線為l1,l2, 過雙曲線上一點(diǎn)P,作平行于F1F2的直線, 分別交準(zhǔn)線l1,l2于M1、M2,直線M1F1與M2F2交于點(diǎn)Q,則:P,Q,F2,F1四點(diǎn)共圓,如圖1所示.

圖1

《數(shù)學(xué)通報(bào)》上的解答是用共底邊的兩個三角形頂角相等,且在底邊的同側(cè),則四個頂點(diǎn)共圓的方法證明的,筆者讀后深有啟發(fā). 同時,也產(chǎn)生了一些疑惑,(1)過點(diǎn)P不作平行于F1F2的直線,其他過點(diǎn)P的直線有這樣的性質(zhì)嗎? (2)將雙曲線改成橢圓,結(jié)論還成立嗎? 筆者借助GeoGebra 軟件,先通過作圖進(jìn)行直觀觀察,然后再進(jìn)行嚴(yán)格證明,探究出了一些美妙的結(jié)論,從而解決了疑惑.

2. 類比推廣,橫縱拓展

定理1 設(shè)雙曲線C的兩焦點(diǎn)為F1,F2,兩準(zhǔn)線為l1,l2,過雙曲線上一點(diǎn)P處的切線為l,l分別交準(zhǔn)線l1、l2于M1、M2, 直線M1F1與M2F2交于點(diǎn)Q, 則P,Q,F2,F1四點(diǎn)共圓, 如圖2 所示.

圖2

因 為tan ∠F1PF2= tan ∠F1QF2, 所 以∠F1PF2=∠F1QF2,故P,Q,F2,F1四點(diǎn)共圓.

定理2 設(shè)橢圓C的兩焦點(diǎn)為F1,F2,兩準(zhǔn)線為l1,l2,過橢圓上一點(diǎn)P,作平行于F1F2的直線,分別交準(zhǔn)線l1、l2于M1、M2, 直線M1F1與M2F2交于點(diǎn)Q, 則P,Q,F2,F1四點(diǎn)共圓,如圖3 所示.

圖3

定理3 設(shè)橢圓C的兩焦點(diǎn)為F1,F2,兩準(zhǔn)線為l1,l2,過橢圓上一點(diǎn)P處的切線為l,l分別交準(zhǔn)線l1、l2于M1、M2,直線M1F1與M2F2交于點(diǎn)Q,則P,Q,F2,F1四點(diǎn)共圓,如圖4 所示.

圖4

定理3 的證明和定理1 的證明相似,這里不再贅述.

3. 再用技術(shù),引申結(jié)論

因?yàn)閽佄锞€只有唯一的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線,上面的定理無法直接類比推廣, 那么拋物線中是否有類似的四點(diǎn)共圓的結(jié)論呢? 筆者再次利用GeoGebra 進(jìn)行先繪圖感知,后推理論證,得到了定理4-6.

定理4 設(shè)拋物線C的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,過拋物線上一點(diǎn)P,作平行于拋物線對稱軸的直線交準(zhǔn)線l于M1,作點(diǎn)P處的切線交準(zhǔn)線l于M2,則P,F,M2,M1四點(diǎn)共圓,如圖5 所示.

圖5

定理5 設(shè)橢圓C上一點(diǎn)P, 作平行于橢圓長軸的直線交準(zhǔn)線l于N, 作點(diǎn)P處的切線交同一準(zhǔn)線l于M, 則P,N,M和準(zhǔn)線l相對應(yīng)的焦點(diǎn)F四點(diǎn)共圓,如圖6 所示.

圖6

定理6 設(shè)雙曲線C上一點(diǎn)P,作平行于雙曲線實(shí)軸的直線交準(zhǔn)線l于N,作點(diǎn)P處的切線交同一準(zhǔn)線l于M,則P,N,M和準(zhǔn)線l相對應(yīng)的焦點(diǎn)F四點(diǎn)共圓,如圖7 所示.

圖7

定理5-6 的證明和定理4 的證明相似,這里不再贅述.

4. 探究反思,技術(shù)助力

著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說過:“沒有一道題是可以解決得十全十美的,總剩下些工作要做,蘑菇總是成堆生長的,經(jīng)過充分的探討與鉆研,總會有點(diǎn)滴的發(fā)現(xiàn),總能改進(jìn)這個解答,而且在任何情況下,我們都能提高自己對這個解答的理解水平. ”類比、聯(lián)系、推廣是數(shù)學(xué)研究中的常用方法,只要我們善于類比和勇于探究,會發(fā)現(xiàn)圓錐曲線中有很多相似的結(jié)論,而GeoGebra 的應(yīng)用能協(xié)助我們發(fā)現(xiàn)結(jié)論. 在幾何圖形展示的過程中,我們不僅能感受到數(shù)學(xué)的對稱美,更能提高我們發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力.

章建躍教授提出“四個理解”是落實(shí)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵,“理解技術(shù)”就是要懂得如何有效利用技術(shù)幫助學(xué)生的學(xué)和教師的教. 本探究中充分發(fā)揮GeoGebra 在繪制圓錐曲線圖形中的簡便性,通過作圖觀察提出猜想,利用解析法證明猜想. 從探究中我們可以感受到GeoGebra 軟件不僅是一個幾何圖形動態(tài)展示的強(qiáng)大工具,更是一個數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)的有效利器.