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        美國數(shù)學(xué)月刊第12154 號問題的加強與反向不等式

        2022-08-28 01:32:16福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院楊標桂郵編350117
        關(guān)鍵詞:不等號內(nèi)切圓外接圓

        福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 楊標桂 (郵編:350117)

        關(guān)鍵字 幾何不等式;美國數(shù)學(xué)月刊;旁切圓半徑

        1 問題的提出

        Martin Lukarevski[1]在《美國數(shù)學(xué)月刊》的2020年第1 期提出了如下問題:

        定理1(12154號問題)設(shè)ra、rb、rc、R、r分別是△ABC的頂點A、B、C所對的旁切圓半徑,外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑,則有

        其中∑ 表示循環(huán)和.

        本文給出不等式①的加強及反向不等式:

        定理2設(shè)ra、rb、rc、R、r分別是△ABC的頂點A、B、C所對的旁切圓半徑,外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑,則有

        2 幾個引理

        為了證明定理2,我們給出一些關(guān)于三角形的各種半徑和半周長的恒等式與不等式:

        引理1設(shè)ra、rb、rc、R、r、s分別是△ABC的頂點A、B、C所對的旁切圓半徑,外接圓半徑,內(nèi)切圓半徑與半周長,則有

        其中∏f(a,b,c)表示循環(huán)積.

        證明③~⑥是熟知的結(jié)論.令∑ra=ra+rb+rc=4R+r=X,于是

        引理2設(shè)ra、rb、rc、R、r、s分別是△ABC的頂點A、B、C所對的旁切圓半徑,外接圓半徑,內(nèi)切圓半徑與半周長,則有

        證明令∑ra=ra+rb+rc=4R+r=X,由引理的③~⑦,可得

        因此,引理2 得證.

        下面在給出一個關(guān)于三角形的半周長的雙向不等式:

        引理3設(shè)R、r、s分別是△ABC的外接圓半徑,內(nèi)切圓半徑與半周長,則有

        ⑨的右邊不等式就是著名的Kooi 不等式.

        3 定理的證明

        定理2 的證明由恒等式⑧和不等式⑨,有

        最后一個不等號利用了Euler 不等式.

        最后一個不等號利用了Euler 不等式,因此定理2 獲證.

        類似地,還可以得到一個簡單的不等式:

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