安徽省合肥市第三十八中學(xué) 楊振庭 （郵編：230011）

1 試題及簡(jiǎn)評(píng)

（2022年安徽省中考數(shù)學(xué)第10題）已知點(diǎn)O是邊長(zhǎng)為6 的等邊△ABC的中心，點(diǎn)P在△ABC外，△ABC、△PAB、△PBC、△PCA的面積分別記為S0、S1、S2、S3.若S1+S2+S3=2S0，則線段OP長(zhǎng)的最小值是（ ）

本題以學(xué)生熟悉的正三角形為載體，給出正△ABC外一點(diǎn)P和三角形三邊形成的面積和是△ABC面積的兩倍關(guān)系，要求學(xué)生對(duì)其作出合理的轉(zhuǎn)化，進(jìn)而判斷線段OP長(zhǎng)的最小值.不僅考查正三角形邊長(zhǎng)與面積的有關(guān)計(jì)算等必備知識(shí)，更注重于考查學(xué)生利用面積轉(zhuǎn)化與化歸，對(duì)學(xué)生處理實(shí)際問(wèn)題的核心能力考查更為深刻.

2 求解思路分析

下面給出兩種常見(jiàn)的思考方法.

方法一：如圖1，以正△ABC的中心O為圓心，分別以A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)的值為半徑作出圓c1、c2、c3、c4，再逐一分析各圓上有沒(méi)有滿足限制條件S1+S2+S3=2S0的點(diǎn)P.

①對(duì)于A 選項(xiàng).觀察圓c1，首先要排除△ABC內(nèi)部的點(diǎn)，而三角形的外部圓被分割成三段圓弧，根據(jù)圖的對(duì)稱(chēng)性，那自然就會(huì)考慮某一段圓弧的中點(diǎn)，此時(shí)S1+S2+S3不滿足題意，其它點(diǎn)通過(guò)驗(yàn)證也不符合，排除A 選項(xiàng).

圖1

②對(duì)于B 選項(xiàng).觀察圓c2，由①的思考過(guò)程啟發(fā)，自然就會(huì)考慮離BC邊最遠(yuǎn)的點(diǎn)P，通過(guò)驗(yàn)證此時(shí)點(diǎn)P滿足限制條件S1+S2+S3=2S0，所以存在點(diǎn)P滿足題意，所以正確答案是B.

方法一充分利用了選項(xiàng)的數(shù)值，逐一驗(yàn)證與排除，思路上相互啟發(fā)促進(jìn)，其本質(zhì)是間接解法，對(duì)點(diǎn)P的刻畫(huà)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠深刻，下面從研究點(diǎn)P軌跡的方向給出另一種思考方法.

圖2

方法二：對(duì)點(diǎn)P位置的刻畫(huà)可以分成以下幾步.①首先畫(huà)出等邊△ABC，在△ABC外點(diǎn)出一個(gè)點(diǎn)P，找到S0、S1、S2、S3對(duì)應(yīng)的三角形；②進(jìn)一步轉(zhuǎn)化條件S1+S2+S3=2S0，可以先試探性地從這個(gè)條件出發(fā)，結(jié)合點(diǎn)P的位置，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)部關(guān)系.當(dāng)點(diǎn)P在∠BAC內(nèi)部區(qū)域時(shí)，由S1+S2+S3=2S0，可知2S3=S0，于是所以P到BC的距離為定值，得出P在∠BAC內(nèi)部區(qū)域的軌跡是一條平行于BC的線段P1P2，③全面突破，由對(duì)稱(chēng)性得線段P3P4、P5P6，④進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)線段P2P3、P4P5、P6P1也是軌跡的一部分，這樣點(diǎn)P形成的軌跡是一個(gè)環(huán)繞原正三角形的等角六邊形（不包括端點(diǎn)）如圖2，不難得出線段OP長(zhǎng)度的范圍是

注事實(shí)上，原試題對(duì)點(diǎn)P的軌跡刻畫(huà)要求比較弱，無(wú)需作出全部點(diǎn)P形成的曲線，只要考生對(duì)線段OP的最小值作出判斷和求解即可.

3 題源分析

題源1（人教版教材八年級(jí)下冊(cè)50 頁(yè)第7題）如圖3，直線l1∥l2，△ABC與△DBC的面積相等嗎？為什么？你還能畫(huà)出一些與△ABC面積相等的三角形嗎？

圖3

說(shuō)明此題說(shuō)明了同底等高的三角形面積相等，實(shí)質(zhì)是三角形中常見(jiàn)的等積變換.這在第10題中得出以后對(duì)點(diǎn)P在線段上的判斷起了積極的作用.

題源2（滬科版教材八年級(jí)下冊(cè)第152 頁(yè)C組復(fù)習(xí)題1,2）

復(fù)習(xí)題1已知等腰三角形ABC中，AB=AC.

（1）P為底邊BC上任一點(diǎn)，自點(diǎn)P向兩腰所在直線作垂線PE、PF，點(diǎn)E、F為垂足.求證：PE+PF等于定值；

（2）證得（1）中結(jié)論后，請(qǐng)你對(duì)本章A 組復(fù)習(xí)題第8題的條件和你原來(lái)的證明方法進(jìn)行反思；（附：A 組第8題已知：如圖，△ABC中，AD是BC邊上的高，AB=AC，∠BAC=120°，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F.求證：DE+DF=

（3）若點(diǎn)P在底邊BC延長(zhǎng)線上時(shí)，情況如何？

復(fù)習(xí)題2已知等邊三角形ABC.

(1)P為△ABC內(nèi)任一點(diǎn)，自點(diǎn)P向三邊所在直線作垂線PD、PE、PF，點(diǎn)D、E、F為垂足.求證：PD+PE+PF等于定值；(2)若點(diǎn)P在△ABC外時(shí)，情況如何？

說(shuō)明（1）題源2 中的幾個(gè)問(wèn)題的處理以面積法最優(yōu)，其中第2題第1 小題結(jié)論即等邊三角形內(nèi)任一點(diǎn)到三邊距離和等于該正三角形的高，史稱(chēng)維維安尼（Viviani,1622—1703）定理；

（2）第2題第2 小題問(wèn)到“點(diǎn)P在正△ABC外時(shí)，情況如何？”顯得非常開(kāi)放，旨在啟發(fā)學(xué)生思考.常見(jiàn)的方向有：①若PD+PE+PF為一個(gè)大于高的定值，P的軌跡是一個(gè)等角六邊形；②若規(guī)定有向長(zhǎng)度，則原結(jié)論的形式可保持不變.

題源3［北師大教材九年級(jí)上冊(cè)19 頁(yè)聯(lián)系拓廣（第5題）］如圖4，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不與A和D重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作AC和BD的垂線，垂足為E、F.求PE+PF的值.

說(shuō)明①注意到△OAD是一個(gè)等腰三角形，所以此題可以理解成題源2的特例，本質(zhì)與其中的第一題相同.

②事實(shí)上，當(dāng)點(diǎn)P在矩形的四條邊上時(shí)，都有PE+PF為定值.

以上可知，中考第10題根植于課本，又做到了深度挖掘，真正做到了關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，發(fā)展學(xué)生素養(yǎng)的考試導(dǎo)向，同時(shí)又別具一格，立意新穎，引人入勝.

圖4

4 相關(guān)拓展

為了方便，我們約定：下列情況中若有三點(diǎn)共線時(shí)，則這三點(diǎn)所形成的三角形面積記為0.

結(jié)論1如圖5，已知AB、AC是兩條相交線段，若動(dòng)點(diǎn)P滿足S△PAB+S△PAC=k(k≥0，k為定值)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是平行四邊形P1P2P3P4，其中P1、P4分別在 射線AC、AB上，且

圖5

注（1）結(jié)論1 的證明幾乎是顯然的，事實(shí)上，以∠BAC內(nèi)部區(qū)域?yàn)槔傻肧△PAB+S△PACS△ABC，即S△PBC為定值，于是在這部分區(qū)域內(nèi)，P點(diǎn)的軌跡是平行于BC的線段,其它區(qū)域的分析略；

（2）用比例刻畫(huà)這四個(gè)點(diǎn)的準(zhǔn)確位置是比較深刻的，由此也可以得出BC∥P1P2.

結(jié)論2如圖6，已知AB、CD是兩條線段，它們的所在直線交于一點(diǎn).若動(dòng)點(diǎn)P滿足S△PAB+S△PCD=k(k≥0，k為定值)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是平行四邊形P1P2P3P4，其中P1、P4分別在直線AB、CD上.

注（1）事 實(shí)上，注意到等底同高的三角形面積相等的原理以后，即可得AB、CD交于點(diǎn)O，將線段AB、CD沿各自直線平移至OA′、OC′，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為S△POA′+S△POC ′=k(k≥0，k為定值)，由結(jié)論1 即可解決問(wèn)題.

（2）結(jié)論2 本質(zhì)上是法國(guó)數(shù)學(xué)家塞列特（Serret,1819—1885）于1855年提出的塞列特軌跡問(wèn)題：若AB和CD是兩條不平行的線段，動(dòng)點(diǎn)P滿足條件S△PAB+S△PCD=k2（定值），則點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)平行四邊形.

（3）利用以上的結(jié)論和做法還可以很快捷地解決這個(gè)問(wèn)題（解答過(guò)程略去）：（《面積與面積方法》田廷彥P20 例7）

兩條直線l1與l2上分別有定點(diǎn)A、B與C、D，m、n是兩個(gè)固定正 數(shù)，求l1與l2之間的點(diǎn)O的軌跡，使得mS△ABO+nS△CDO為定值（如果這樣的點(diǎn)O至少存在一個(gè)）.

結(jié)論3如圖7，已知點(diǎn)P在△ABC所在的平面內(nèi)，若動(dòng)點(diǎn)P滿足S△PAB+S△PBC+S△PAD=k(k≥S△ABC，k為定值)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是：

①當(dāng)k=S△ABC時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是△ABC內(nèi)部（包括邊界）；

②當(dāng)k=S△ABC時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是與△ABC各邊平行的一個(gè)六邊形P1P2P3P4P5P6.

結(jié)論4已知點(diǎn)P在邊長(zhǎng)為1 的正△ABC所在的平面內(nèi)，點(diǎn)P到三邊所在直線的距離分別為h1，h2，h3，且h1+h2+h3=k(k>0).則有：

圖6

圖7

圖8

注在（3）的情況下進(jìn)一步可定義正三角形的等和折線環(huán)，原正三角形可稱(chēng)為基三角形；等和折線環(huán)的邊與基三角形的對(duì)應(yīng)邊的距離分別記為d1,d2，則，且等和折線環(huán)有兩種邊，其中長(zhǎng)短邊的長(zhǎng)度分別為；特別地，當(dāng)基三角形退化成一點(diǎn)時(shí)，等和折線環(huán)退化成一個(gè)正六邊形.

5 相關(guān)變式

根據(jù)以上的分析過(guò)程，可以對(duì)原題作出一些簡(jiǎn)單的變式，如下：

(1)《幾何極值問(wèn)題》朱堯辰第48 頁(yè)習(xí)題2 第19題：對(duì)于△ABC內(nèi)部一點(diǎn)O，用d1、d2、d3分別表示它與邊BC、AC、AB的距離，求點(diǎn)O的位置，使得d1d2d3最大.

(2) 已知點(diǎn)O是邊長(zhǎng)為6 的等邊△ABC的中心，△ABC、△PAB、△PBC、△PCA的面積分別記為S0、S1、S2、S3.若S1+S2+S3=2S0，求線段OP長(zhǎng)度的取值范圍（原題點(diǎn)P在△ABC外可以省去）.

(3) 已知點(diǎn)O是邊長(zhǎng)為6 的等邊△ABC的中心，點(diǎn)P到直線AB、BC、AC的距離記為h1、h2、h3.若h1+h2+h3=k(k>0)，求點(diǎn)P的軌跡.