安徽省肥西實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué) 毛啟干 （郵編：231200）

1 原題及商榷

2022年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷乙卷第11題為：

雙曲線(xiàn)C的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，以C的實(shí)軸為直徑的圓記為圓D，過(guò)F1作D的切線(xiàn)與C交于M、N兩點(diǎn)，且，則C的離心率為（ ）

經(jīng)研究，該題有以下3 點(diǎn)商榷之處：（1）F1、F2哪個(gè)是左焦點(diǎn)，哪個(gè)是右焦點(diǎn)，沒(méi)有區(qū)分；（2）M、N兩個(gè)交點(diǎn)，哪個(gè)點(diǎn)在x軸上方，哪個(gè)在x軸下方，沒(méi)有區(qū)分；（3）切線(xiàn)與曲線(xiàn)C交于兩支還是交于一支，沒(méi)有交代.所以說(shuō)該題命制得比較粗糙，估計(jì)命題人沒(méi)有用幾何畫(huà)板進(jìn)行驗(yàn)證.如果本題要能給出圖形，也就能回避2 個(gè)正確選項(xiàng)的問(wèn)題.

2 試題解答

由于雙曲線(xiàn)存在左右兩支，因此在解決直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交的綜合題時(shí)，時(shí)常要分類(lèi)討論，第一類(lèi)：直線(xiàn)僅與雙曲線(xiàn)的左支或右支相交；第二類(lèi)：該直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的左右兩支都相交.這也正是處理“直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)綜合題”與“直線(xiàn)與橢圓或拋物線(xiàn)綜合題”的不同之處.

解（1）若切線(xiàn)僅與雙曲線(xiàn)的左支相交，設(shè)交于為M、N兩點(diǎn)（如圖1），設(shè)切點(diǎn)為A，連接OA，由已知易得：OA⊥MN，在直角△F1AO中，因?yàn)閨OF1|=c,|OA|=a，即=b.

過(guò)F2作切線(xiàn)MN的垂線(xiàn)，垂足為B（B在線(xiàn)段NM的延長(zhǎng)線(xiàn)上），則F2B∥OA，因?yàn)镺是F1F2的中點(diǎn)，所以A是F1B的中點(diǎn)，由平面幾何性質(zhì)得：|F2B|=2a,|F1B|=2b.

圖1

（2）若切線(xiàn)與雙曲線(xiàn)C的左、右兩支分別交于M、N兩點(diǎn)（如圖2），設(shè)切點(diǎn)為A，連接OA，由已知可得OA⊥MN，在直角△F1AO中，因?yàn)閨OF1|=c,|OA|=a，所以

過(guò)F2作切線(xiàn)MN的垂線(xiàn)，垂足為B（B在線(xiàn)段MN上），則F2B∥OA，因?yàn)镺是F1F2的中點(diǎn)，所以A是F1B的中點(diǎn)，由平面幾何性質(zhì)，得|F2B|=2a,|F1B|=2b.

綜合（1）（2）可得，本題選項(xiàng)A、C 都是正確的.

圖2

3 一點(diǎn)思考

在解析幾何中，直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合題是常見(jiàn)的題型，這類(lèi)題型主要考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)綜合處理問(wèn)題的能力，這里提到的“所學(xué)知識(shí)”，不僅僅是直線(xiàn)的方程及其五種形式、圓錐曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程的幾種形式，也不僅僅是將直線(xiàn)的方程與圓錐曲線(xiàn)的方程進(jìn)行聯(lián)立，再轉(zhuǎn)化為一元二次方程的問(wèn)題，而是指綜合運(yùn)用在初中所學(xué)的“平面幾何”的相關(guān)知識(shí)及其它數(shù)學(xué)分支內(nèi)的知識(shí).如本題就涉及到：①直線(xiàn)與圓相切的相關(guān)性質(zhì)定理；②直角三角形的勾股定理；③兩直線(xiàn)平行的判定定理；④相似三角形的判定定理與性質(zhì)定理；⑤解三角形的相關(guān)知識(shí)；⑥雙曲線(xiàn)的定義；⑦分類(lèi)討論思想；⑧相關(guān)代數(shù)運(yùn)算知識(shí).與平面幾何知識(shí)綜合是全國(guó)卷的一大特色與亮點(diǎn).

“直線(xiàn)與橢圓或拋物線(xiàn)相交”與“直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交”是有區(qū)別的，區(qū)別就在于后者又是要分這條直線(xiàn)是與雙曲線(xiàn)的一支相交？還是與兩支都相交？有時(shí)只有一種情況符合條件，有時(shí)兩種情況都可以.這樣恰好考查了我們思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，也考查了“數(shù)學(xué)抽象”、“邏輯推理”等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

下面從近幾年高考和各地模擬高考試卷中關(guān)于直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)綜合題（客觀(guān)題）中略舉幾例，再看看它們的思考方向和思路探究.

題1(2021年新高考全國(guó)Ⅰ卷第5題)已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，則|MF1|?|MF2|的最大值為（ ）

A.13 B.12 C.9 D.6

分析本題主要是綜合運(yùn)用橢圓的定義與均值不等式求最值等相關(guān)知識(shí).

題2(2021年高考全國(guó)甲卷理科第5題) 已知F1、F2是雙曲線(xiàn)C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|，則C的離心率為（ ）

分析本題主要是將雙曲線(xiàn)的定義與解三角形中的余弦定理結(jié)合使用.

題3(2021年高考全國(guó)乙卷文科第11題)設(shè)B是橢圓的上頂點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，則|PB|的最大值為（ ）

分析本題主要是將圓錐曲線(xiàn)的范圍與二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值綜合在一起使用.

題4已知點(diǎn)A、B是雙曲線(xiàn)1(a>0,b>0)的左、右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作傾斜角為的直線(xiàn)l交C于點(diǎn)P，點(diǎn)M是線(xiàn)段AP的中點(diǎn).若|OM|=|OA|，則該雙曲線(xiàn)的離心率為（ ）

分析先由平面幾何知識(shí)，即中位線(xiàn)結(jié)合|OM|=|OA|求得|PB|=2a，進(jìn)而求出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線(xiàn)C的方程，求得b2=a2，即可求出離心率.