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        對稱2-(11,5,2)設計的全自同構群

        2022-08-23 07:44:58
        通化師范學院學報 2022年8期
        關鍵詞:設計

        董 磊

        令v,k,λ是非負整數(shù),且v>k>λ. 一個對稱2-(v,k,λ)設計,是指一個有序二元組D= (V,?),其中V是一個含v個元素的集合,? 是由V的k- 子集所構成的集合. 其中,V中的元素稱為點,? 中的元素稱為區(qū)組,并滿足以下條件:

        (1)|?|=v;

        (2)V中的任一點都恰好屬于? 中的k個區(qū)組;

        (3)? 中任意兩個不同的區(qū)組的交集是V的λ- 子集;

        (4)V中的任意兩個不同的點都同時屬于? 的λ個不同的區(qū)組.

        現(xiàn)設D為對稱2-(11,5,2)設計,D的全體自同構關于映射的合成組成一個群,叫作D的全自同構群,并記作Aut(D). 如果α∈Aut(D),本文用fix(α) 表示被α保持不動的點組成的集合. 組合設計的全自同構群一直是很多組合學家所關注的問題,文獻[1]和文獻[2]討論了某些對稱設計的全自同構群. 如果令V=Z11,? ={{i,i+ 2,i+ 3,i+ 4,i+ 8 }|i∈Z11} ,那么,D= (V,?) 就是一個對稱2-(11,5,2)設計. 本文主要研究的是對稱2-(11,5,2)設計的全自同構群.

        1 預備知識

        引理1[3]如果素數(shù)p除對稱2 - (v,k,λ)設計的全自同構群的階,那么p整除v或者p≤k.

        引 理2[4]若對稱2-(v,k,λ) 設計的一個非單位自同構保持f個點不動,則有:

        引 理3[4]若D= (V,?) 是一個對稱2-(v,k,λ) 設計,α∈Aut(D),o(α=p),其 中p滿足(λ,p) = 1. 如果B∈? 至少 包含α的兩 個不動點,則B中α的不動點的個數(shù)同余k模p,并且? 中包含α的不動區(qū)組的個數(shù)也同余k模p.

        引 理4[4]若x,y∈fix(α),λ

        2 主要結論

        定理1 如果p是對稱2-(11,5,2)設計的全自同構群的階的一個素因子,則p∈{2 ,3,5,11} .

        證明 由引理1 可知,如果素數(shù)p整除對稱2 - (v,k,λ) 設計的全自同構群的階,那么p整除v或者p≤k,則我們有p|11 或p≤5,從而p∈{2 ,3,5,11} .

        定理2 設D= (V,?) 是一個對稱2-(11,5,2)設 計,α∈Aut(D),且o(α)= 2,則|fix(α)|∈{3 ,4,5} .

        定理3 設D= (V,?) 是一個對稱2-(11,5,2)設 計,α∈Aut(D),且o( )α= 3,則|fix(α)|= 2. 并且,若3n| |Aut|,則n≤2.

        定理5設D= (V,?) 是一個對稱2 -(11,5,2) 設 計,α∈Aut(D),且o(α)= 11,則|fix(α)|= 0. 并且,若11n| |Aut|,則n≤1.

        3 結語

        本文研究了Aut(D) 的階,針對于其中的階為素數(shù)的自同構,給出了有關這些自同構的不動點數(shù)量. 對于其他的對稱設計,可以用本文的方法把Aut(D) 的階和階為素數(shù)的自同構的不動點個數(shù)研究清楚.

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