葛 斌，代高樂

隨著信息傳輸技術的快速發(fā)展，數(shù)字圖像作為一種直觀、高效的傳輸媒介，常常被人們作為傳遞信息的工具. 若圖像信息被不法分子竊取，就會對個人、企業(yè)甚至國家造成不必要的損失［1］. 傳統(tǒng)的加密算法DES、RSA 和IDEA 等主要針對文本加密，圖像加密的效果并不理想，因此，急需設計一種高效快捷的圖像加密算法進行圖像加密［2］.

混沌因具有內在隨機性、不可預測性及對初始值的高度敏感性，被廣泛運用于圖像加密算法中. 混沌映射包括：低維映射與高維映射. 其中，低維映射的形式簡單、運算效率高，但安全性低［3］；高維映射的參數(shù)多、安全性高，但效率低下且存在資源浪費［4］. 因此，一些學者采用二維映射［5-8］，在保證運算效率的同時提高混沌映射的安全性.

而針對彩色圖像的加密算法而言，僅依賴混沌映射的復雜度，不足以保證其安全性，置亂和擴散也是算法的重要組成部分. 采用bit 位的置亂方法增大了算法的計算量，加密效率較低［9-10］；三通道采用同一種方法進行加密，使得攻擊者在破解單一通道的內容即可得到整張圖像的信息，加密算法的安全性較低［11］.AHMAD 等人［12］提出運用混沌序列排序對圖像進行跨平面置亂，提高了彩色圖像整體的加密效果，但擴散部分簡單.

鑒于已經(jīng)研究存在的不足，本文提出一種有較大混沌區(qū)間的2D HCLM 混沌映射，利用SHA-512 使密鑰與明文相關，采用跨平面置亂的方法降低彩色圖像三平面像素的相關性，正反兩輪的擴散使像素點分布均勻. 仿真結果表明，2D HCLM 映射產(chǎn)生的混沌序列更具有隨機性，所設計的跨平面彩色圖像加密算法可抵御常用的攻擊手段，具有較高的安全性.

1 動態(tài)混沌映射的設計與性能評估

1.1 2D HCLM 映射的設計

Henon 映射作為經(jīng)典的二維混沌映射，其數(shù)學表達式為：

其中：a、b為控制參 數(shù)，xi和yi表示混沌序列迭代i次后的結果. 當a∈［1.07，1.4］時，Henon映射處于混沌狀態(tài).

文獻［8］提出改進的Henon 混沌映射，將Henon 映射與Iterative 映射復合，增大了混沌映射的映射范圍，增強了混沌映射的混沌性.當控制參數(shù)a∈［0.8，1.5］，b=0.3，r=0.1 時，該映射處于混沌狀態(tài)，其定義如下：

上述映射雖然在合適的參數(shù)下具有一定的混沌性，但由于其混沌區(qū)間小，混沌行為簡單導致加密效果不理想. 為此，本文設計了一種動態(tài)2D HCLM 混沌映射. 通過引入余弦映射公式將混沌區(qū)間擴展到0 附近，并嵌入動態(tài)調節(jié)參數(shù)w使得混沌行為更為復雜.2D HCLM混沌映射的定義如公式（3）所示.

其中：控制參數(shù)a∈［0，1.4］，b∈［0，0.3］，abs為取絕對值.

1.2 性能評估

為了驗證設計的動態(tài)2D HCLM 映射性能，主要考慮以下指標：分岔圖、李雅普諾夫指數(shù)、樣本熵和NIST 測試. 所有性能評估都是居于公式（3）中，令b=0.3，u=3.99 所得出的結果.

分岔圖可以反映出非線性系統(tǒng)的行為、描繪出系統(tǒng)從周期到混沌的運動軌跡. 混沌映射的分岔圖達到滿映射的狀態(tài)時，說明其混沌區(qū)間連續(xù)、混沌行為復雜、混沌性好. 圖1展示了混沌映射的分岔圖，其中圖1（a）為傳統(tǒng)Henon 映射、圖1（b）為文獻［8］提出的改進的Henon 映射、圖1（c）為2D HCLM 映射的分岔圖. 從圖1 中可以看出，2D HCLM 映射在控制參數(shù)a取值范圍相同的情況下混沌區(qū)間更廣，混沌行為更為復雜.

圖1 Henon、改進Henon 和2D HCLM 分岔圖

李雅普諾夫指數(shù)（LE）描述了相空間中兩條相鄰軌跡之間的平均指數(shù)收斂或發(fā)散速率. 當LE 曲線在0 的上方時，混沌映射處于混沌狀態(tài). 且李雅普諾夫指數(shù)越大，混沌映射的混沌性能越好. 圖2 展示了混沌映射的LE 曲線圖. 圖2（a）為傳統(tǒng)Henon 映射，圖2（b）為改進的Henon 映射，圖2（c）為2D HCLM 映射. 從圖中可以看出2D HCLM 映射與前兩者相比李雅普諾夫指數(shù)更大，具有更復雜的混沌行為.

圖2 Henon、改進Henon 和2D HCLM 李雅普諾夫指數(shù)圖

樣本熵（Sample Entropy）通過度量信號中產(chǎn)生新模式的概率大小來衡量時間序列復雜性，新模式產(chǎn)生的概率越大，序列的復雜性就越大.2D HCLM 混沌映射與改進的Henon 樣本熵對比如圖3 所示，從圖中可以看出2D HCLM混沌映射的樣本熵均大于1.5，效率更高且具有更好的混沌性.

圖3 樣本熵對比圖

隨機性檢驗套件NIST SP 800-22 Test Suite是用于測試序列的隨機性，為滿足NIST 測試要求，首先對16 000 000 個混沌序列值進行二值化處理，然后對取得的128 000 000 位二進制序列進行NIST 檢驗. 對于隨機性檢驗，每一項都會產(chǎn)生［0，1］的P值，當P值大于顯著性水平（α=0.01）時，則表示二進制序列通過測試且滿足隨機性特點，從表1 結果可以看出2D HCLM 的兩組混沌序列測試結果均大于0.01，說明2D HCLM 映射具有良好的隨機性.

表1 NIST 測試

2 加密算法

本文提出一種基于2D HCLM 映射具有自適應的跨平面彩色圖像加密算法. 該算法利用2D HCLM 映射產(chǎn)生的混沌序列對圖像進行加密，加密過程可分為兩輪置亂、兩輪擴散操作，算法流程圖如圖4 所示.2D HCLM 映射使用SHA-512 產(chǎn)生的密鑰作為混沌映射的初始值，并隨機選取控制參數(shù)值，生成的混沌序列用于行列置亂和非序列擴散. 在擴散操作時，結合三通道像素點迭代，增強了密文的擴散性. 本文通過上述方式提高了算法的安全性，密文圖像可有效抵抗常見的攻擊手段.

圖4 加密算法流程圖

2.1 生成初始值密鑰

將與明文相關的密鑰作為混沌映射的初始值，以達到一次一密的效果，可有效抵抗密文攻擊提高算法安全性. 具體操作步驟如下：

步驟1：對明文圖像I 進行SHA-512 操作，得到長度為128 位16 進制的密鑰key.

步驟2：將16 進制的密鑰key 轉換為二進制字符串，獲得一個長512 位的key1.

步驟3：對key1 執(zhí)行每兩位異或操作，獲得長度減半的256 位字符串key2.

步驟4：根據(jù)公式（4）對key2 進行處理，得到4 個長度為64 位的子密鑰，分別為K1、K2、K3和K4.l表示起始位，h表示中止位.

步驟5：根據(jù)公式（5）和公式（6）生成2D HCLM 混沌映射所需的初始值x0、x1、y0 和y1.

2.2 生成混沌序列

通過上述操作，可得到2D HCLM 映射兩組初始值x0、y0、x1 和y1，置亂和擴散所需的混沌序列生成步驟如下：

步驟1：輸入隨機選取的初始值x∈［0，1］和參數(shù)u=3.99，并代入公式（1）中迭代（v+M×N）次，舍棄前v=1 000 個數(shù)，再利用公式（7）對混沌序列處理得到偽隨機序列X.

其 中：xm為 舍棄v個數(shù) 后 的混沌 序列，mod為模運算.

步驟2：將X重新組合成一個大小為M×N的矩陣L，用于像素點的跨平面置亂.

步驟3：隨機選取系統(tǒng)控制參數(shù)a0、b0 和u，以及通過公式（6）得到的初始值x0 和y0 代入公式（3），經(jīng)過（v+max（M，N×3））次迭代，并舍去前v個數(shù)使混沌序列達到更為混沌的狀態(tài)，生成兩組偽隨機序列X0、Y0. 再運用公式（8）、公式（9）得到混沌序列A0、B0，A0、B0分別用于數(shù)字圖像矩陣的行、列置亂.

其中：abs表示為取絕對值；max 表示為取最大值；ceil表示為向上取整.

步驟4：設置隨機控制參數(shù)a1、b1 和u，初始值x1 和y1，代入公式（3）中迭代（v+M×N× 3）次，前v個數(shù)作為無用的迭代結果，并代入公式（8）、公式（9）得到兩組混沌序列A1、B1，用于兩輪擴散. 此時，已經(jīng)產(chǎn)生了五組所需的混沌序列.

2.3 加密過程

步驟1：輸入大小為M×N的彩色圖像I，并將其拆分為R、G、B 三個通道，分別對應矩陣Ir、Ig、Ib.

步驟2：根據(jù)表2 中的規(guī)則和矩陣L中對應的數(shù)字，對矩陣Ir、Ig、Ib進行像素點的跨平面置亂并將三平面組合為矩陣P（M×N× 3），具體操作如圖5 所示.

表2 像素點排列規(guī)則

圖5 跨平面置亂

步驟3：對矩陣P進行擴展Z字形置亂操作，得到置亂后的矩陣P'，如圖6 所示.

圖6 擴展Z 字形掃描

步驟4：對混沌序列A0、B0 進行排序，如圖7 所示. 利用A0 所得到的索引序列對矩陣P' 進行列排序，利用B0 所得到的索引序列對矩陣P' 進行行排序，最終得到行列排序后的矩陣Q（M×N× 3），矩陣索引排序如圖8 所示.

圖7 混沌序列排序

圖8 矩陣按索引排序置亂

步驟5：利用混沌序列A1 構造矩陣T，根據(jù)公式（10）對矩陣Q進行正向非序列擴散得到矩陣D. 其中T（i，j）為 偽 隨 機 矩 陣的像素值；Q（i，j）為置亂后矩陣的像素值；D（i，j）為正向擴散后矩陣的像素值.

步驟6：利用混沌序列B1 構造矩陣S，根據(jù)公式（11）對矩陣D進行反向非序列擴散得到 矩陣E. 其中S（i，j）為偽 隨機矩 陣的像 素值；D（i，j）為正向擴散后矩陣的像素值；E（i，j）為反向擴散后矩陣的像素值.

步驟7：利用公式（12）將矩陣E組合成密文圖像C.

2.4 解密過程

解密過程為加密過程的逆過程. 首先，將密鑰和控制參數(shù)代入2D HCLM 映射中產(chǎn)生所需要的偽隨機序列；接著，進行正反兩輪逆擴散和逆行列置亂；然后，實施反向Z 字形置亂和跨平面重組，得到解密后的明文圖像.

3 仿真實驗與安全性分析

為證明所設計彩色圖像加密方案的有效性，實驗選取圖像處理標準測試數(shù)據(jù)集中多組不同的彩色圖像作為測試對象，在MAT‐LABR2017a 的仿真環(huán)境中進行測試.

3.1 密鑰空間

加密算法的密鑰空間至少大于2100即128位才能滿足對抗暴力攻擊加密的條件. 在本文設計的加密算法中采用SHA-512 所產(chǎn)生的密鑰有2D HCLM 中的控制參數(shù)a0、a1、b和u，以及初始值x、x0、x1、y0、y1. 本文設計算法的密鑰空間為2512遠大于2100. 因此，該加密算法可有效抵抗暴力攻擊.

3.2 密鑰敏感度分析

高度敏感的密鑰是一個加密算法的必要條件，密鑰值細微改變而加密圖像有明顯變化，說明密鑰敏感性強.

為了測試密鑰的敏感性，以圖9 為例. 圖9 中（a）為原始圖像；（b）為用K1 加密的圖像；（c）為用K2 加密的圖像；（d）為用K1 正確解密的圖像；（e）為用K3 錯誤解密的圖像. 實驗獲取一個密鑰值K1，并兩次隨機改變K1 小數(shù)點后的某一位數(shù)得到K2 和K3. 用2D HCLM 映射的初始值K1=0.5 和K2=K1+10-14進行兩次加密后圖像像素點均勻分布看不出任何明文信息，但兩次加密后的效果明顯不同. 圖中展示了用K1=0.5 和K3=K1-10-14兩個不同的密鑰解密的結果，從兩個解密的圖像中可以看出即使對密鑰值進行細微的改動也會得到兩種不同的結果. 兩個實驗表明，采用2D HCLM的加密算法對密鑰和初始值極其敏感.

圖9 密鑰敏感性測試

3.3 信息熵分析

信息熵是分析圖像信息的隨機性指標，加密后的圖像信息熵越高，表示像素隨機性越好，圖像加密效果越好. 本文算法通過兩輪置亂和兩輪擴散充分隱藏了原圖像的內容，進而增大了密文圖像的信息熵. 信息熵的計算方法如公式（13）所示.

其中：a表示為灰度值隨機變量，N代表圖像的灰度，P（ai）表示灰度值出現(xiàn)的概率. 變量不確定性越大，信息熵也就越大，所以獲得圖像內容的信息量也就越少，加密圖像的理想信息熵為8［10］.

表3 展示了幾種算法對彩色Lena（256×256）圖片進行加密后信息熵的對比，實驗結果表明本文提出的算法具有良好的加密效果.

表3 不同算法Lena 的信息熵

3.4 直方圖分析

圖像的直方圖反應了圖像像素的分布密度，加密圖像的像素點分布越均勻，攻擊者越難從像素值的數(shù)量預測明文信息，加密效果越好. 本文算法采用非序列擴散方法修改置亂圖像的像素值，使像素值分布均勻以抵抗統(tǒng)計攻擊.

實驗選取Baboon 作為測試圖像，圖片加密前后直方圖對比如圖10 所示，展示了不同圖像在加密前后R、G、B 三個通道的直方圖對比. 從圖10 中的直方圖對比可以看出加密前后的直方圖具有明顯差異.

圖10 加密前后圖像直方圖

3.5 相鄰像素相關性分析

加密算法對數(shù)字圖像進行加密后若不能夠降低水平方向、垂直方向和對角線方向上的相關性，則加密后的圖像更容易受到統(tǒng)計攻擊. 本文算法采用跨平面置亂與Z 字形置亂相結合的方式進行一輪置亂，再根據(jù)混沌序列進行二輪行列置亂有效降低了相鄰像素間的相關性.

實驗隨機選取3 000 對像素點做100 組測試其相關性，用加密后Lena 的像素相關性與有關的算法實驗作對比如表4 所示，實驗結果顯示，加密后的像素點相關性趨近于0，表明本文提出的加密算法可以有效去除相鄰像素間的相關性.

表4 不同算法中Lena 的像素相關性

3.6 差分攻擊

差分攻擊是另一種安全攻擊方式，具體是使用相同的加密算法對兩個差異較小的明文圖像分別進行加密，通過不同密文間的差別建立起明文與密文之間的關系，從而破解密文. 本算法利用SHA-512 生成與明文相關的密鑰值，達到一次一密的效果，提高了加密算法的安全性. 因此，即使對明文圖像進行微小的改變，也會導致兩次加密的密文圖像有顯著區(qū)別.

為了檢驗圖像是否具有良好地抵抗差分攻擊，本實驗用NPCR（像素數(shù)變換率）和UACI（像素平均變化強度）來檢測本文提出的加密算法的性能，NPCR 和UACI 的計算方法如下：

其 中：M×N是 一 個 色 平 面 的 大 小，E1 和E2表示只有一個像素點不同的色平面加密后的密文圖像，D（i，j）表示兩個密文像素不同點的個數(shù)，Q表示最大允許的像素值.

理論上NPCR 的值應大于99.609 4%，且數(shù)值越大越好；UACI 的理論值為33.463 5%，數(shù)值越接近加密效果越好. 隨機改變原圖像的一個像素點進行二次加密，并與第一次加密結果作對比，計算兩次加密圖像的NPCR 和UACI 的數(shù)值，以Lena 為代表測試加密圖像并與先前提出的幾種算法進行對比，實驗結果如表5 所示.

表5 不同加密算法Lena 的NPCR 和UACI

4 結語

結合已有的混沌映射和圖像加密算法的優(yōu)缺點，本文提出了一種自適應圖片大小、安全可靠的彩色圖像加密算法. 主要是利用2D HCLM 映射生成混沌序列，基于這種安全的混沌序列，設計跨平面Z 字形置亂和非序列擴散，快速、高效地增強了圖像加密算法安全性和可靠性.

在實際應用中，有時需要對高分辨率圖像進行加密處理. 為了避免資源浪費，提高加密效率，在下一步的研究中，將運用分塊與置亂擴散并行執(zhí)行的方法提高加密速度，節(jié)省資源開銷.