項(xiàng)浩原，張?zhí)m蘭，陳泓宇，張軼炳

(1.寧夏大學(xué) 物理與電子電氣工程學(xué)院，寧夏 銀川 750021;2.新鄉(xiāng)市第十二中學(xué),河南 新鄉(xiāng) 453002)

“觀察電容器的充放電”是高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)中的必做實(shí)驗(yàn)之一[1]. 在以往研究中，可以利用燈泡、傳感器或鐘表來(lái)實(shí)現(xiàn)電容器充放電的可視化，從而大致測(cè)量出充放電時(shí)間和電荷量[2-4]. 在電壓不變的情況下，通過(guò)時(shí)間估算電荷量具有可行性，但在電壓改變時(shí)，電路中的電流也會(huì)發(fā)生改變，即使充放電時(shí)間相同，電荷量(電流對(duì)時(shí)間的積分)也不相同. 因此，本文通過(guò)對(duì)傳感器的開(kāi)發(fā)，能夠通過(guò)對(duì)電流積分定量求出電容器充放電時(shí)的電荷量，從而總結(jié)出電容的相關(guān)規(guī)律. 另外，還設(shè)計(jì)了多功能電容器實(shí)驗(yàn)板，可以便捷進(jìn)行多個(gè)有關(guān)電容器的實(shí)驗(yàn)，減少教師在課上的操作時(shí)間. 學(xué)生能直觀地觀察到電路的連接方式，通過(guò)傳感器觀察充放電過(guò)程中電流與電壓的變化，定量測(cè)量充放電過(guò)程中電荷量的大小，總結(jié)出電容和電壓、電荷量之間的關(guān)系.

1 電容器概述

1.1 電容器簡(jiǎn)介

電容也稱為“電容量”，是指在給定電位差下自由電荷的儲(chǔ)存量，是表現(xiàn)電容器容納電荷本領(lǐng)的物理量. 同為儲(chǔ)能元件，電容器和生活中所使用的電池存在較大差異：

1)在本質(zhì)上，電池的充放電是化學(xué)反應(yīng)，內(nèi)部?jī)?chǔ)存的是化學(xué)能，而電容器充放電是物理反應(yīng)，內(nèi)部?jī)?chǔ)存的是電能；

2)在功能上，電池一般只用作電路中的電源，而電容器可用于調(diào)諧、濾波、耦合、旁路、能量轉(zhuǎn)換和延時(shí)等[5].

在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，由于采用平行板電容器較難得到明顯的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象與數(shù)據(jù)，一般使用鋁電解電容器，其特點(diǎn)是容量較大. 電容器的性能指標(biāo)通常會(huì)標(biāo)注在電容器上，需要中學(xué)生了解的2個(gè)指標(biāo)為：

1)標(biāo)準(zhǔn)容量，即電容器儲(chǔ)存電荷的能力.

2)額定工作電壓，即電容要長(zhǎng)期可靠地工作所能承受的最大直流電壓.

1.2 電容器的充放電時(shí)間

電容器實(shí)驗(yàn)的難點(diǎn)在于實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的觀察與數(shù)據(jù)的獲取. 在一般演示電容器充放電的實(shí)驗(yàn)中，會(huì)在電路中串聯(lián)電阻以延長(zhǎng)充放電時(shí)間.而電阻的阻值直接決定了充放電的時(shí)間，因此在實(shí)驗(yàn)前要先估計(jì)好時(shí)間，再進(jìn)行充放電實(shí)驗(yàn).

設(shè)電容器極板在t時(shí)刻的電荷量為q，則電容器(C)兩端電壓為q/C，電源電壓為E，電阻R上的電壓為IR，I為通過(guò)電阻的電流，根據(jù)回路電壓方程可得：

(1)

如果在時(shí)間dt內(nèi)，流過(guò)電路的電荷量為dq，那么電路中電流為

(2)

代入式(1)，整理得到

(3)

根據(jù)初始條件：t=0時(shí)，q=0，式(3)積分后可得

(4)

當(dāng)t→∞時(shí)，q→CE.設(shè)q0=CE，代入式(4)，得到

(5)

當(dāng)q/q0=0.993時(shí)，意味著電容器內(nèi)的電荷量達(dá)到了最大電荷量的99.3%，可以認(rèn)為電容的充電過(guò)程已經(jīng)完成[6]，解得

t=5RC.

(6)

因此，根據(jù)式(6)可以通過(guò)估算出電容器充放電時(shí)間，然后選擇合適的電阻進(jìn)行相關(guān)實(shí)驗(yàn).

1.3 電容器中電荷量的計(jì)算

在與電容器相關(guān)的實(shí)驗(yàn)中，另一難點(diǎn)是電荷量的計(jì)算.電流是由大量電荷做定向運(yùn)動(dòng)形成的，根據(jù)式(2)可得電容器內(nèi)電荷量為

(7)

要實(shí)現(xiàn)電荷量的定量計(jì)算，就必須使用采集頻率較大的傳感器進(jìn)行輔助實(shí)驗(yàn).通過(guò)I-t變化曲線，在充放電過(guò)程中對(duì)電流求積分，即可得到電荷量.

2 多功能電容器實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)思路

2.1 電路設(shè)計(jì)

實(shí)驗(yàn)板的設(shè)計(jì)電路圖如圖1所示.為了方便教師在實(shí)驗(yàn)階段的操作，實(shí)驗(yàn)板采用拔插式元件進(jìn)行電路組裝.其中,1～3號(hào)位是可更換元件的電路位置，通過(guò)元件的更換實(shí)現(xiàn)多個(gè)實(shí)驗(yàn)演示.電路中數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)采用電流傳感器與電壓傳感器.傳感器采集頻率較高，有記錄數(shù)據(jù)的功能，可以實(shí)時(shí)擬合出電流電壓在充放電過(guò)程中的關(guān)系曲線.通過(guò)曲線不僅可以直觀看到電流與電壓的變化情況，得到充放電時(shí)間，還可以對(duì)電流進(jìn)行積分，求出充放電過(guò)程電容器的電荷量.

圖1 電容器實(shí)驗(yàn)板的設(shè)計(jì)電路圖

2.2 實(shí)驗(yàn)板的功能

本實(shí)驗(yàn)板可以進(jìn)行4個(gè)實(shí)驗(yàn)：觀察電容器的充放電，探究電阻對(duì)電容器充放電的影響，探究電容器兩極板間的電勢(shì)差與所帶電荷量的關(guān)系，探究不同電容器下電荷量與電勢(shì)差的關(guān)系. 具體操作如下：

1)在觀察電容器充放電的實(shí)驗(yàn)中，電流方向可以通過(guò)觀察傳感器測(cè)量的電流方向進(jìn)行判斷，也可以通過(guò)觀察2個(gè)二極管的發(fā)光情況進(jìn)行判斷. 做完該實(shí)驗(yàn)后，再進(jìn)行其他實(shí)驗(yàn)前，需要把2號(hào)位的二極管換成導(dǎo)線，避免二極管對(duì)測(cè)量造成影響.

2)在1號(hào)位處通過(guò)更換不同阻值的電阻，探究電阻對(duì)電容器充放電的影響.

3)在3號(hào)位處通過(guò)更換不同規(guī)格的電容器，探究同一電壓下電荷量與電容之間的關(guān)系.

4)改變電源電壓，探究同一電容器兩端電勢(shì)差與電荷量的關(guān)系.

制作的實(shí)驗(yàn)板實(shí)物如圖2所示. 在實(shí)際教學(xué)中，可直接將傳感器與電腦連接，在投影儀上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)演示，也可以讓學(xué)生自主進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探究.

圖2 多功能電容器實(shí)驗(yàn)板實(shí)物

3 實(shí) 驗(yàn)

3.1 探究電容器的充放電

3.1.1 觀察電容器的充放電

在觀察電容器的充放電實(shí)驗(yàn)中，電路中電阻的選取要盡量合適. 若要在課上演示電容器充放電的過(guò)程，選取充放電時(shí)間8～20 s為宜. 以3 300 μF的電容為例，充電時(shí)間4～10 s，根據(jù)式(6)，計(jì)算可得R=242～606 Ω，因此演示實(shí)驗(yàn)時(shí)可以選用該范圍內(nèi)的電阻.

選用510 Ω電阻，在6 V電壓下對(duì)電容器充放電，實(shí)驗(yàn)圖像如圖3所示. 紅色曲線Ⅰ為電流變化曲線，藍(lán)色曲線Ⅱ?yàn)殡妷鹤兓€，圖中的Y最大值表示電流最大值Imax(mA). 從圖3中可以觀察到：充電過(guò)程中，電壓逐漸增大，而后趨于穩(wěn)定，保持不變，電流由11.470 mA逐漸減小至0；放電過(guò)程中，電壓由最大值逐漸減小至0，電流仍由11.470 mA減小至0，但方向與充電時(shí)的電流方向相反.

圖3 充放電時(shí)電流與電壓的變化

另外，在傳感器軟件中還可以選取充電的起始時(shí)刻和結(jié)束時(shí)刻，計(jì)算出充電時(shí)間，如圖4所示. 本次實(shí)驗(yàn)充電時(shí)間t=8.24 s，根據(jù)式(6)，計(jì)算出理論充電時(shí)間t=8.40 s，相對(duì)偏差Er=1.90%，結(jié)果較為相近.

圖4 實(shí)際充電時(shí)間的選取

3.1.2 電路中電阻對(duì)于電容器充放電的影響

根據(jù)式(6)可知,充放電時(shí)間與串聯(lián)在電路中的電阻有關(guān):阻值越大，充放電時(shí)間越長(zhǎng)；阻值越小，充放電時(shí)間越短. 在電容器充放電的電路中，串聯(lián)電阻的作用是減緩電容器充放電的速度，從而方便測(cè)量出電壓與電流值. 下面通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)探究電阻對(duì)電容器充放電的影響.

根據(jù)1.2的分析，可通過(guò)式(6)計(jì)算出放電時(shí)間t的理論值，將t代入式(4)，即可計(jì)算出理論電荷量q；通過(guò)實(shí)驗(yàn)圖像，截取放電過(guò)程中的起始時(shí)刻，可得放電時(shí)間的實(shí)際值，對(duì)放電過(guò)程的電流值進(jìn)行積分，可以得到實(shí)際的電荷量. 通過(guò)對(duì)比實(shí)際數(shù)據(jù)與理論數(shù)據(jù)，驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性，并總結(jié)出電阻對(duì)電容器充放電的影響.

記錄6 V電壓下，不同電阻的電路中電容器(C=3 300 μF)的放電時(shí)間，得到實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表1所示. 根據(jù)表1可知，電路中的阻值R越大，Imax越小，但電荷量幾乎不變. 另外，放電時(shí)間t不同，通過(guò)積分得到的電荷量q也幾乎不變,且與理論電荷量相差不大，即放電時(shí)間的長(zhǎng)短或者電路中電流的大小均不會(huì)對(duì)電容器電容量的大小產(chǎn)生影響.

表1 不同電阻對(duì)電容器放電時(shí)間的影響

3.2 探究電容、電壓及電荷量之間的關(guān)系

3.2.1 探究電容器兩極板間電勢(shì)差與所帶電荷量的關(guān)系

相較于傳統(tǒng)用電壓表和電流表進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，電流傳感器最大的優(yōu)點(diǎn)是可以根據(jù)固定的頻率記錄充放電過(guò)程中的電流值，積分后即可定量計(jì)算出電荷量. 用4 V的電壓，串聯(lián)510 Ω的定值電阻，以給3 300 μF的電容器充放電為例，得到的圖像如圖5所示. 選取放電開(kāi)始和結(jié)束的時(shí)刻，對(duì)電流I(mA)進(jìn)行積分，得到右上方的數(shù)值為13.033 3，進(jìn)行單位轉(zhuǎn)換后，得到實(shí)際電荷量為1.30×10-2C.

圖5 放電過(guò)程中電荷量的計(jì)算

利用相同方法，在不同電勢(shì)差下測(cè)量電容器(3 300 μF)充滿電后放電時(shí)的電荷量，再通過(guò)式(4)～(5)計(jì)算出理論值，得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表2所示.

表2 同一電容器電勢(shì)差與電荷量的關(guān)系

實(shí)驗(yàn)中實(shí)際的放電電荷量與理論計(jì)算的電荷量非常接近. 將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)錄入Excel表格中進(jìn)行曲線擬合，得到如圖6所示的曲線. 從圖像中可以看出電勢(shì)差E與電荷量q呈線性關(guān)系. 曲線的斜率為0.003 3，根據(jù)q=CE可知，斜率為電容器的電容，即C=0.003 3 F=3 300 μF，與實(shí)驗(yàn)中所使用的電容數(shù)值一致.

圖6 3 300 μF電容器電荷量與兩端電勢(shì)差的關(guān)系

通過(guò)該實(shí)驗(yàn)可以看出，利用傳感器進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，可以精確計(jì)算出電容器所帶的電荷量，在此基礎(chǔ)上，擬合曲線符合C=q/E.這樣，不僅可以加深學(xué)生對(duì)比值定義法得到電容定義式的理解，學(xué)生還可以與教師一同探究電容實(shí)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng).

3.2.2 不同電容器下電荷量與電勢(shì)差的關(guān)系

測(cè)量電荷量數(shù)值的方式與3.2.1一致，通過(guò)測(cè)量電路中電勢(shì)差與電荷量的關(guān)系(電容器規(guī)格分別為1 000,2 200,3 300 μF)，得到如表3所示的數(shù)據(jù).

表3 不同電勢(shì)差下不同電容器所帶的電荷量

將以上數(shù)據(jù)導(dǎo)入Excel表格，擬合曲線如圖7所示. 從圖中可以得出以下結(jié)論:

1)電容器兩端的電勢(shì)差相等時(shí)，電容越大的電容器所帶的電荷量越多.

2)電容器兩端的電勢(shì)差與電荷量呈線性關(guān)系，其斜率為該電容器的電容值，電容值不會(huì)隨電勢(shì)差和電荷量的改變而改變，而是與它本身的性質(zhì)有關(guān). 通過(guò)該實(shí)驗(yàn)，學(xué)生可以定性且定量地得出電容、電荷量與電勢(shì)差之間的關(guān)系.

圖7 不同電容器的電勢(shì)差與電荷量的關(guān)系

根據(jù)以上分析可知，傳感器實(shí)驗(yàn)相對(duì)于傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)，其最大的優(yōu)點(diǎn)是可以通過(guò)對(duì)電流積分得到充放電過(guò)程中的電荷量，從而進(jìn)行數(shù)據(jù)處理和曲線擬合.

4 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)設(shè)計(jì)的電路板和對(duì)傳感器的開(kāi)發(fā)，自制的多功能電容器實(shí)驗(yàn)板操作便捷，可以演示多個(gè)電容相關(guān)的實(shí)驗(yàn)，提高了課堂教學(xué)效率.同時(shí)，利用傳感器進(jìn)行電流與電壓的數(shù)據(jù)測(cè)量，不僅能夠得到電流和電壓的變化曲線，還可以定量計(jì)算出電容器充放電過(guò)程中的電荷量，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合曲線與理論符合度較高，有利于加深學(xué)生對(duì)電容的理解，體會(huì)到比值定義法在物理學(xué)中的應(yīng)用.不僅如此，通過(guò)實(shí)驗(yàn)學(xué)生還能切實(shí)地理解電容在電路中起到的作用，如隔直流、計(jì)時(shí)和儲(chǔ)能等作用，體會(huì)科學(xué)、技術(shù)之間的關(guān)系.