林 森

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校 小學(xué)部，黑龍江 哈爾濱 150000)

數(shù)學(xué)的分類思想方法最早正式提出是在20世紀(jì)末，有學(xué)者從不同的方面給“分類”下定義。第一種觀點(diǎn)是從概念的性質(zhì)出發(fā)闡述分類思想，1986年劉忠智在《數(shù)學(xué)中的思維方法》一書中，根據(jù)事物的本質(zhì)將分類定義為：“分類是根據(jù)對(duì)象的共同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將對(duì)象區(qū)分為不同種類的邏輯方法。”第二種是從邏輯學(xué)的角度進(jìn)行闡述，1993年張奠宙、過伯祥在其《數(shù)學(xué)方法論稿》中說明分類是解決復(fù)雜問題的方法之一。第三種是在解題思路中提出分類思想。

我國在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》中新增了“基本思想”要目，意在讓學(xué)生在學(xué)習(xí)知識(shí)的同時(shí)也能掌握數(shù)學(xué)思想。而在眾多思想中又強(qiáng)調(diào)了“分類思想”，意在讓學(xué)生會(huì)用分類的思想去解決問題，但一線教師對(duì)于應(yīng)該如何踐行仍然存在盲區(qū)。本文結(jié)合了當(dāng)前國內(nèi)研究者的研究成果，進(jìn)一步思考了分類思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何應(yīng)用，試圖尋找到在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用分類思想的較佳途徑，以便讓教師會(huì)教，學(xué)生愛學(xué)，寓教于樂。

一、分類思想的概念及其教育價(jià)值

分類思想是眾多數(shù)學(xué)思想方法中的一種，更是小學(xué)階段需要掌握的一種非常重要的思想方法，是根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象的某些共同屬性和不同屬性，將其分成幾個(gè)不同種類，從而進(jìn)行研究問題或解決問題的一種數(shù)學(xué)思想。它既是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種重要的數(shù)學(xué)邏輯方法。有關(guān)分類思想的數(shù)學(xué)問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性。分類思想不像有些數(shù)學(xué)知識(shí)那樣，通過幾節(jié)課的教學(xué)就可讓學(xué)生掌握應(yīng)用，而是要根據(jù)學(xué)生的年齡特征，在學(xué)生學(xué)習(xí)的各階段逐步滲透，螺旋上升，不斷豐富其內(nèi)涵，從而達(dá)到利用分類思想來解決問題的目的。分類思想具有以下教育價(jià)值：

1.體會(huì)分類是認(rèn)識(shí)事物的基本方法

教師在教授學(xué)生時(shí)，可以結(jié)合教材和生活中的分類活動(dòng)，讓學(xué)生體會(huì)分類思想。例如，在人教版小學(xué)數(shù)學(xué)一年級(jí)上冊(cè)準(zhǔn)備課中，就引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合自己的生活經(jīng)驗(yàn)和對(duì)事物的認(rèn)知將主題圖中的事物先進(jìn)行分類，再數(shù)出每類事物的個(gè)數(shù)。可見從小學(xué)生入學(xué)的那一刻起就開始接觸分類思想，也正說明分類思想是認(rèn)識(shí)事物的基本方法。

2.通過分類培養(yǎng)思維邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性

分類思想是按照一定的標(biāo)準(zhǔn)把事物分為幾類，逐一探討每一類并得出結(jié)論，最后把結(jié)論匯總得出問題答案的一種數(shù)學(xué)思想，因此有助于培養(yǎng)小學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。例如，在小學(xué)階段有一類題是：“a，b，c三點(diǎn)在一條直線上，a和b相距500米，b和c相距100米，問a和c相距多少米？”想要解決這類問題，需要先將問題分為“a與c在b的同一側(cè)”和“a與c在b的不同側(cè)”兩類。如果學(xué)生只考慮到“同一側(cè)”這種情況，那給出的答案一定是不全面的。所以，基于分類思想可以習(xí)得化整為零、逐一擊破、聚零為整的方法，為學(xué)生日后在初、高中學(xué)習(xí)分類討論方法打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

3.通過分類掌握知識(shí)之間的緊密聯(lián)系

部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)有多種性質(zhì)，當(dāng)研究這類數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，可以從不同的方面進(jìn)行研究。但是每一次只能選取一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，而不能同時(shí)選取幾個(gè)不同的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，因?yàn)榉诸愐龅絿?yán)謹(jǐn)、統(tǒng)一、不反復(fù)和不疏漏。同時(shí)，能正確對(duì)知識(shí)進(jìn)行分類的學(xué)生可以更清楚地掌握知識(shí)之間的緊密聯(lián)系和擁有良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。例如，小學(xué)階段對(duì)自然數(shù)的分類，根據(jù)不同的分類標(biāo)準(zhǔn)自然數(shù)既可以分成奇數(shù)和偶數(shù)，也可以分成質(zhì)數(shù)、合數(shù)和1。也就是說，之所以3既是奇數(shù)又是質(zhì)數(shù)，是因?yàn)榉诸悩?biāo)準(zhǔn)的不同，這樣的分類有利于學(xué)生掌握知識(shí)之間的緊密聯(lián)系。

4.通過分類將概念細(xì)致化

學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念，一定會(huì)經(jīng)過概念細(xì)致化這一步驟，而分類正是完成這一步驟的重要手段。例如，學(xué)生剛初步認(rèn)識(shí)角，教師要幫助學(xué)生對(duì)角的內(nèi)涵進(jìn)一步理解，引導(dǎo)學(xué)生知道什么樣的角是直角和比直角小的角叫銳角，比直角大的角就叫鈍角，這樣，自然而然就將這一階段的角分成三類。教材上也會(huì)同步出現(xiàn)練習(xí)題，如給出一個(gè)角，讓學(xué)生判斷是銳角、直角還是鈍角。通過這一過程使學(xué)生理解不同類型的角，用分類的方式將學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)識(shí)細(xì)致化。

二、分類思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的體現(xiàn)

筆者對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)人教版1-5年級(jí)共10冊(cè)教材中有關(guān)分類思想的內(nèi)容進(jìn)行分析和梳理，如下表：

知識(shí)名稱教材分布數(shù)與代數(shù)認(rèn)識(shí)人民幣一年級(jí)下冊(cè)長(zhǎng)度單位二年級(jí)上冊(cè)克和千克二年級(jí)下冊(cè)數(shù)字編碼三年級(jí)上冊(cè)公頃和平方千米四年級(jí)下冊(cè)方程的意義五年級(jí)上冊(cè)奇數(shù)與偶數(shù)質(zhì)數(shù)與合數(shù)五年級(jí)下冊(cè)圖形與幾何認(rèn)識(shí)圖形(一)一年級(jí)上冊(cè)認(rèn)識(shí)圖形(二)一年級(jí)下冊(cè)角的初步認(rèn)識(shí)二年級(jí)上冊(cè)四邊形三年級(jí)上冊(cè)直線、射線、線段角的分類四年級(jí)上冊(cè)三角形的分類四年級(jí)下冊(cè)分類與整理分類與整理一年級(jí)下冊(cè)

1.“方程的意義”案例分析

小學(xué)生初次接觸方程，還不清楚什么叫做方程，但是頭腦中已經(jīng)對(duì)“等號(hào)”“大于號(hào)”“小于號(hào)”和“未知數(shù)”這些感念及符號(hào)有了認(rèn)知。我們可以通過學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的基礎(chǔ)認(rèn)知，將其進(jìn)行分類：根據(jù)符號(hào)可以分為“是等式”和“不是等式”，根據(jù)未知數(shù)可以分為“含有未知數(shù)的式子”和“不含未知數(shù)的式子”。知道了這些，學(xué)生就能清楚地知道，將式子按照這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)分類后，只要這個(gè)式子既屬于“等式”一類，又屬于“含有未知數(shù)”一類，那它就是方程。這是小學(xué)高年段接觸到的復(fù)雜一些的分類思想。

2.“三角形的分類”案例分析

在對(duì)三角形進(jìn)行分類的時(shí)候，教師完全放手，讓學(xué)生自由發(fā)揮。個(gè)別學(xué)生可能會(huì)將三角形分為五類：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，等腰三角形和等邊三角形，這是因?yàn)閷W(xué)生沒有搞清楚分類標(biāo)準(zhǔn)。教師應(yīng)及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生思考它是按照什么標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類的，并且告訴學(xué)生進(jìn)行分類每次只能夠選取一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)于三角形來說要么選取“角”作為分類標(biāo)準(zhǔn)，要么選取“邊”作為分類標(biāo)準(zhǔn)，不能同時(shí)選擇。

在后面的練習(xí)題中也加強(qiáng)了對(duì)這一知識(shí)點(diǎn)的鞏固，教材71頁練習(xí)十六第5題給出四句話：有一個(gè)直角，有兩條邊相等；只有兩個(gè)銳角，沒有直角；三個(gè)角相等；沒有直角和鈍角。讓學(xué)生選擇這四句話描述的三角形。以“有一個(gè)直角，有兩條邊相等”為例，“有直角”所以我們判斷它是直角三角形，可“同時(shí)有兩條邊相等”那么它也是等腰三角形。正是因?yàn)楦鶕?jù)不同的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，所以一個(gè)三角形才可能既是直角三角形又是等腰三角形。同時(shí)也要提醒學(xué)生在做這類題時(shí)，一定要根據(jù)不同的分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行思考，不要根據(jù)一種標(biāo)準(zhǔn)有了答案后就不思考其他標(biāo)準(zhǔn)，所以說學(xué)習(xí)分類思想也有助于培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。

3.“分類與整理”案例分析

“分類與整理”一課是小學(xué)生學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)與概率部分的第一課，可見分類思想的重要性。同時(shí)“分類與整理”一課也是小學(xué)生第一次接觸分類思想，意在讓學(xué)生根據(jù)事物的表面特征(如顏色、形狀等)進(jìn)行分類。但要想使學(xué)生能根據(jù)事物的隱性特征對(duì)事物進(jìn)行分類還需要進(jìn)一步的學(xué)習(xí)。除此之外，案例中幫助商店阿姨將氣球分類，以便于顧客更加方便的找到自己想買的東西，也使學(xué)生明白將學(xué)習(xí)用品和生活用品分類整理，會(huì)使學(xué)習(xí)和生活更加規(guī)律，這都是分類思想帶給我們的好處。

三、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用分類思想的原則

只有了解分類思想的原則才能更好地進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)。分類思想包含如下原則：

1.層次性原則

作為小學(xué)教師首先要明確小學(xué)教材中所有含有分類思想的知識(shí)點(diǎn)；其次要細(xì)化分類思想，清楚它們的層次；最后要爭(zhēng)取讓分類思想更多的體現(xiàn)在課堂上，盡可能讓分類思想與本身的教學(xué)內(nèi)容相呼應(yīng)，將二者整合為一體，使學(xué)生更加容易接受。對(duì)于學(xué)生來說，分類思想的形成要比對(duì)知識(shí)的理解和掌握難得多，所以分類思想教學(xué)應(yīng)與學(xué)生的自身水平相匹配，遵循層次性原則，層層遞進(jìn)，直到學(xué)生掌握。

2.滲透性原則

分類思想一定是同數(shù)學(xué)知識(shí)一起進(jìn)行教學(xué)，但又不同于數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)。在進(jìn)行分類思想教學(xué)時(shí)，需要以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，以滲透的方式進(jìn)行教學(xué)。任何數(shù)學(xué)思想方法都是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，它們藏于數(shù)學(xué)知識(shí)之中，需要教師從數(shù)學(xué)知識(shí)中將分類思想提煉出來。要想這一過程正確而完整，就要求教師必須要認(rèn)真鉆研教材，這是數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)中滲透分類思想的一大前提。對(duì)學(xué)生來說，分類思想的學(xué)習(xí)要難于數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，所以要想學(xué)生能夠更好的掌握分類思想，教師應(yīng)創(chuàng)造一個(gè)合理又有趣的情境，在情境中將分類思想滲透給學(xué)生，使學(xué)生感受到應(yīng)用分類思想的快樂。

3.概括性原則

所謂概括性原則就是將教材中的分類思想概括出來，這樣做可以使學(xué)生更加清晰地知道什么時(shí)候可以用或必須用分類思想解決問題，加強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用分類思想的意識(shí)，形成獨(dú)立分析問題、解決問題的能力。概括分類思想一般有兩步：一是指出分類思想的作用，使學(xué)生明白運(yùn)用分類思想是為了更好、更快地解決問題，從而愿意去用分類思想解決問題；二是指出分類思想與已知數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，當(dāng)我們看見什么樣的信息時(shí)才會(huì)用分類思想來解決問題，加強(qiáng)提煉分類思想的練習(xí)，使學(xué)生在頭腦中對(duì)應(yīng)用分類思想有更加清晰的認(rèn)識(shí)。

4.實(shí)踐性原則

學(xué)生能否熟練地運(yùn)用分類思想，在于平時(shí)進(jìn)行的數(shù)學(xué)練習(xí)。實(shí)踐性原則就是先讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)一類題的不同解法，并在不同解法里找出最好的一種，通常這一種解法就是蘊(yùn)含數(shù)學(xué)思想方法的解法。所以教師在教授分類思想時(shí)，可以先尋找出這類題，自己加以變換，比如更改成對(duì)學(xué)生有吸引力的情景、改變題中的數(shù)據(jù)等，這樣多練幾道。所謂實(shí)踐出真知，學(xué)生自己在實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)的知識(shí)記得一定更牢，用起來也得心應(yīng)手，同時(shí)還能培養(yǎng)學(xué)生自己尋找問題最優(yōu)解法的能力。

四、學(xué)生在分類思想習(xí)得中存在的問題

通過了解小學(xué)生對(duì)于分類思想的掌握程度，不難發(fā)現(xiàn)其存在的問題。

1.分類意識(shí)的發(fā)展較弱

學(xué)生應(yīng)用分類思想的意識(shí)還不夠成熟。具體來說，學(xué)生在分析問題時(shí)，想到的知識(shí)還比較狹隘，注意不到問題中的關(guān)鍵字或關(guān)鍵詞，從而想不到應(yīng)用分類思想解題。部分學(xué)生當(dāng)面對(duì)上學(xué)期學(xué)過的知識(shí)時(shí)，也只是能在專項(xiàng)訓(xùn)練時(shí)才能夠想到使用分類思想解題，甚至有的學(xué)生根本沒有應(yīng)用分類思想的意識(shí)，說明應(yīng)用分類思想的意識(shí)水平有待提高。

2.學(xué)生描述分類標(biāo)準(zhǔn)的能力一般

大多數(shù)學(xué)生能根據(jù)各事物的特點(diǎn)找出它們的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，并且能用準(zhǔn)確的語言描述出將事物分類的標(biāo)準(zhǔn)，但是還有極少同學(xué)難以描述幾何圖形的分類標(biāo)準(zhǔn)。

3.缺乏解決實(shí)際問題的能力

很多學(xué)生都是為了分類而分類，而完成分類后，卻沒有考慮到有的情況不符合題意需要排除；有的學(xué)生對(duì)分類思想有恐懼心理，容易將簡(jiǎn)單的題目復(fù)雜化，從而遺漏了最基本的分類。

4.分類的條理性和全面性不足

面對(duì)清晰的生活問題時(shí)，學(xué)生能夠進(jìn)行有條理的分析，可是一旦面對(duì)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，部分學(xué)生的分類就會(huì)很混亂，甚至出現(xiàn)重復(fù)的現(xiàn)象。在這個(gè)維度中，由于具體形象思維占主導(dǎo)地位，學(xué)生在面對(duì)“圖形與幾何“部分的題進(jìn)行分類時(shí)會(huì)比較吃力，大部分學(xué)生沒能進(jìn)行完整的分類；而在解決具體情境中的分類問題時(shí)，大部分學(xué)生卻能無遺漏的分類。

5.沒有興趣很難掌握分類思想

數(shù)學(xué)興趣對(duì)學(xué)生掌握分類思想有一定的影響。雖然有數(shù)據(jù)顯示，不是對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣越高，數(shù)學(xué)分類思想的發(fā)展就會(huì)越好，但是幾乎對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不感興趣的學(xué)生，對(duì)分類思想的掌握程度都不好，所以對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不感興趣是學(xué)生學(xué)習(xí)分類思想的一大障礙。

6.未掌握分類思想的學(xué)生成績(jī)低

學(xué)生對(duì)分類思想的掌握情況與學(xué)生平時(shí)的數(shù)學(xué)成績(jī)有關(guān)，數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)胶玫膶W(xué)生，對(duì)分類思想的掌握情況就越好，總體呈正相關(guān)。從中也表明分類思想對(duì)于小學(xué)生非常重要。小學(xué)的知識(shí)是環(huán)環(huán)相扣的，學(xué)生能否對(duì)分類思想掌握并熟練的運(yùn)用會(huì)影響學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)。

五、學(xué)生應(yīng)用分類思想的策略

1.抽象分類的標(biāo)準(zhǔn)

學(xué)生要先搞清楚運(yùn)用分類思想是有標(biāo)準(zhǔn)的，針對(duì)不同的問題會(huì)有不同的分類標(biāo)準(zhǔn)。低年級(jí)的學(xué)生更擅長(zhǎng)于對(duì)具體形象事物進(jìn)行分類，比如可以把已學(xué)的四邊形分成長(zhǎng)方形和正方形，等到了中年級(jí)依舊有這一特點(diǎn)?？墒沁@時(shí)的學(xué)生已經(jīng)會(huì)接觸到抽象的分類標(biāo)準(zhǔn)，所以就需要在這一學(xué)段結(jié)合已有的對(duì)圖形的分類標(biāo)準(zhǔn)加強(qiáng)對(duì)抽象分類標(biāo)準(zhǔn)的訓(xùn)練。

2.完善分類的條理性及全面性

學(xué)生進(jìn)行分類時(shí)，很重要的一點(diǎn)就是需要有條理。有調(diào)查發(fā)現(xiàn)，低年級(jí)的部分學(xué)生在進(jìn)行分類時(shí)條理性較弱，很多學(xué)生能迅速進(jìn)行分類的都是簡(jiǎn)明的問題，一旦面對(duì)稍復(fù)雜的問題就會(huì)出現(xiàn)重復(fù)或遺漏等現(xiàn)象，這正是條理性較弱的表現(xiàn)。為使學(xué)生在運(yùn)用分類思想時(shí)可以有條理，在一年級(jí)學(xué)習(xí)數(shù)的分解或組成時(shí)就應(yīng)有條理的進(jìn)行。學(xué)生應(yīng)用分類思想不單要有條理，還要全面。沒能全面的將問題進(jìn)行分類，相當(dāng)于沒有分類。如何才能使學(xué)生全面、完整地進(jìn)行分類呢？這就需要學(xué)生找出問題中的全部顯性條件以及隱性條件，條件找全了，分類自然就容易完整而全面了。

3.增強(qiáng)學(xué)習(xí)分類思想的興趣

低年級(jí)的學(xué)生都愛幫大人做事情，教師和家長(zhǎng)可以利用這一點(diǎn)，請(qǐng)學(xué)生將生活中的常見物品分類擺放，并說出學(xué)生分類擺放“好在哪里”來表揚(yáng)學(xué)生，使學(xué)生既愛分類，又能分好類。

4.培養(yǎng)分類意識(shí),提高學(xué)習(xí)成績(jī)

當(dāng)學(xué)生分析問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)問題不能夠被整體解決，這時(shí)就要想到運(yùn)用分類思想來解決，將大問題分成各類小問題，再逐一解決。雖然看似簡(jiǎn)單，但也是需要一定的練習(xí)量才能做到。在分類的過程中會(huì)有顯性分類和隱性分類，顯性分類幾乎所有學(xué)生都能完成，所以真正需要注意的是隱性分類。隱性分類沒用明顯的分類標(biāo)準(zhǔn)，但是遇到這類題時(shí)往往題干中會(huì)有明顯的字眼來提示學(xué)生，這和平常的問題有所不同，因此就需要學(xué)生格外細(xì)心去注意隱性分類。長(zhǎng)此以往，學(xué)生運(yùn)用分類思想的意識(shí)得到了發(fā)展，學(xué)習(xí)成績(jī)也會(huì)隨之提高。