唐明君，陳建恩，陸文星，杜錦龍

（1.天津理工大學 機械工程學院 天津市先進機電系統(tǒng)設(shè)計與智能控制實驗室，天津 300384；2.天津理工大學 機電工程國家級實驗教學示范中心，天津 300384）

振動問題廣泛存在于航空航天、汽車、土木等諸多工程領(lǐng)域中，在絕大多數(shù)情況下振動會對結(jié)構(gòu)產(chǎn)生危害，長期以來振動抑制都是學術(shù)研究的熱點問題。阻尼減振技術(shù)是目前發(fā)展比較完備的技術(shù)之一，該技術(shù)通過附加阻尼的方式將振動能量轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，并以熱量的形式耗散。阻尼減振技術(shù)不改變原有的結(jié)構(gòu)，可靠性高，因此得到廣泛的應(yīng)用。

吸振器的概念最早由Frahm[1]提出并應(yīng)用于振動控制領(lǐng)域。吸振器通常是由單個質(zhì)量元件、彈簧元件和阻尼元件構(gòu)成[2]，可以有效抑制主結(jié)構(gòu)的振動。但其只有在吸振器固有頻率處才能發(fā)揮較好的減振效果。在此基礎(chǔ)上，Roberson[3]在吸振器中引入非線性，有效提升了吸振器的有效振動抑制的帶寬和魯棒性。

非線性吸振器主要可以分為剛度非線性和阻尼非線性兩種，其中剛度非線性吸振器在近年來發(fā)展非常迅速。剛度非線性吸振器的研究包括對立方剛度吸振器[4]、分段線性剛度吸振器[5]、可變剛度吸振器[6]等的研究。此外，一些學者研究了同時具有剛度非線性和阻尼非線性的吸振器[7]。

電磁力研究目前在電機[8]、電磁繼電器[9]、電磁斥力裝置[10]以及主動式電磁作動器[11]等領(lǐng)域得到了廣泛研究。電磁斥力機構(gòu)具有結(jié)構(gòu)簡單、動作速度快，可靠性高等優(yōu)點[12]。董潤鵬等[13]利用電磁斥力設(shè)計了一種中壓直流混合型斷路器用四觸頭并聯(lián)高速斥力機構(gòu)。肖帥飛[14]對單體電磁永磁混合結(jié)構(gòu)排斥力的性能進行了研究。孫志卓等[15]提出一個新的物理量即電磁彈簧，具體地討論了電磁彈簧形成原理并推導出了其數(shù)學表達式，并以電磁彈簧為理論基礎(chǔ)設(shè)計出了一種固有頻率可調(diào)的電磁式吸振器。諸多學者的研究結(jié)果以及大量的實驗數(shù)據(jù)表明電磁-永磁斥力機構(gòu)具有極其特殊的非線性動力學性能。

本文基于電磁和永磁裝置設(shè)計出一種新型的強非線性吸振器。研究了電磁-永磁非線性吸振器的寬頻減振性能，分析了連接該吸振器的線性主振子的頻率響應(yīng)特征，研究了電磁鐵和永磁鐵的間距對減振性能的影響。

1 非線性吸振器模型

單自由度主振子和由電磁-永磁斥力結(jié)構(gòu)構(gòu)成的強非線性吸振器所組成的系統(tǒng)如圖1所示，由牛頓第二定律可得該耦合系統(tǒng)在簡諧激勵下的動力學方程：

圖1 動力學模型

w和v表示主振子和吸振器的位移，其中u=wv，C與c分別表示主振子與吸振器的阻尼系數(shù)，K為主振子的剛度。A表示簡諧激勵幅值，Ω表示簡諧激勵頻率。M為主振子的質(zhì)量，m表示吸振器的質(zhì)量。

F(u)為電磁結(jié)構(gòu)中的電磁斥力，如圖2所示。該結(jié)構(gòu)中部為永磁體動子，兩側(cè)為電磁線圈組成的定子，永磁體動子可以在中間導軌上左右移動。根據(jù)Inoue[16]等的研究，永磁體動子受到單組電磁定子的斥力大小為：

圖2 電磁-永磁非線性吸振器結(jié)構(gòu)示意圖

其中：X表示永磁體動子與單個電磁鐵定子之間的初始距離，由吸振器結(jié)構(gòu)所決定，故為固定值。u表示主振子與吸振器之間的相對距離。km和δ為Inoue等研究中通過實驗測得的數(shù)據(jù)。通過借鑒文獻中的實驗數(shù)據(jù)，這里km的取值為73.241 Nmm2/A2，δ=0.882 mm，在電流i取1.45 安培時，kmi2為150 Nmm2，代入到式(3)得到方程式(3)：

由于永磁體動子平衡位置在導軌中間，當動子受激勵向某一側(cè)運動時，會改變動子與兩個定子之間的距離，兩個電磁定子均會對動子產(chǎn)生電磁斥力作用，則兩組電磁-永磁斥力機構(gòu)中電磁定子對永磁體動子產(chǎn)生的斥力分別為：

其合力為：

將式(5)代入到式(1)得到：

由式(5)可以得出如圖3所示的曲線。從圖像可以看出，電磁-永磁結(jié)構(gòu)的力學特性曲線具有中間平緩、兩端陡峭的強非線性特征。

圖3 電磁-永磁結(jié)構(gòu)的力學特性曲線

2 減振性能仿真研究

使用4階龍格庫塔法對系統(tǒng)動力學方程進行數(shù)值求解，系統(tǒng)的各項參數(shù)如下：

M=100 kg，m=10 kg，C=4 N/(m/s)，X=12 mm

c=0.1 N/(m/s)，K=40 000 N/m，δ=0.882 mm

首先使用A=1 N 的簡諧激振力對系統(tǒng)進行激勵，得到連接與未連接吸振器狀態(tài)下的主振子頻響曲線，如圖4所示。連接吸振器后主振子在固有頻率處振幅降低至40%左右，并且連接吸振器的主振子固有頻率相較于未連接吸振器的主振子固有頻率偏移量非常小。圖4(a)顯示吸振器與主振子的相對位移在Ω=5.4和Ω=20.2處有兩個幅值。

圖4 K=40 000 N/m，A=1N時的頻率響應(yīng)曲線

為探明響應(yīng)出現(xiàn)的原因，用最小二乘法將式(5)擬合成多項式函數(shù)：

其中式(7)線性剛度系數(shù)、立方剛度系數(shù)、五次方剛度系數(shù)的單位分別為N/m、N/m3、N/m5，由式(7)可以得出該吸振器的非線性回復力仍具有線性部分，因此連接該吸振器的主振子理應(yīng)同時具有兩個幅值。而圖4(a)顯示主振子連接吸振器后，只在Ω=20.2處存在一個較高幅值，這得益于電磁-永磁機構(gòu)特殊的非線性力學性能。

為研究該吸振器的寬頻減振能力，改變主振子的剛度，令K1=10 000 N/m，K2=90 000 N/m，吸振器的各參數(shù)保持不變。同樣使用幅值A(chǔ)=1 N簡諧激振對兩個系統(tǒng)進行激勵，得到連接與未連接吸振器狀態(tài)下的主振子頻響曲線分別如圖5和圖6所示，K1=10 000 N/m的主振子在固有頻率處幅值可以降低至20%左右，但是K2=90 000 N/m的主振子在固有頻率處振幅可以降低至無吸振器時的45%左右。對比之前K=40 000 N/m 時主振子幅值在固有頻率處降低至40%左右可以看出：該吸振器對于不同剛度的主振子均有減振效果。由于相同激勵下主振子固有頻率越小，其振幅越大，故主振子剛度越低，吸振器的效果越能得到更好體現(xiàn)。

圖5 K1=10 000 N/m時的頻率響應(yīng)曲線

圖6 K1=90 000 N/m時的頻率響應(yīng)曲線

改變激振力的幅值A(chǔ)，研究在不同的簡諧激振幅值下該吸振器的減振性能。現(xiàn)在選用參數(shù)為M=100 kg、K=40 000 N/m的主振子，使用簡諧激勵幅值A(chǔ)=0.5 N 和A=1.5 N 的簡諧激振力對系統(tǒng)進行激勵，分別得到如圖7(a)和圖7(b)所示的頻率響應(yīng)曲線。從結(jié)果中可以看出簡諧激振幅值A(chǔ)=1.5 N時吸振器仍具有良好的減振性能，但是簡諧激振幅值A(chǔ)=0.5 N時吸振器卻幾乎沒有減振性能。出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因是該非線性吸振器在一定的激勵幅值下才會被激活。從能量傳遞角度來說，靶向能量傳遞存在一個閾值，若激勵能量太小會使靶向能量傳遞無法進行，即非線性吸振器不被激活，雖然非線性吸振器可在較寬的共振頻帶內(nèi)進行吸振，但系統(tǒng)內(nèi)的能量轉(zhuǎn)移只有在一定的激勵幅值范圍內(nèi)才能夠高效地完成。相關(guān)問題國內(nèi)外諸多學者已經(jīng)做出研究[17－19]，本文不再贅述。根據(jù)圖3中的曲線可以看出，此時永磁體動子受到兩側(cè)電磁鐵產(chǎn)生的電磁斥力的合力F(u)很小，因此當簡諧激振幅值較小時，吸振器的減振性能沒有被完全激發(fā)出來。

圖7 K=4 000 N/m、A=0.5 N和A=1.5 N時頻率響應(yīng)曲線

在簡諧激振幅值A(chǔ)=0.5 N 時，電磁-永磁吸振器的永磁動子在距離中間位置很近的范圍內(nèi)運動，導致減振性能很低?？梢酝茢喑鑫衿鳒p振性能與簡諧激振幅值A(chǔ)和永磁動子與電磁定子之間的距離X有關(guān)。仍然選用剛度K=40 000 N/m的主振子，在其他參數(shù)均相同的情況下，分別獲得動子與定子之間的間距分別為X=14 mm、X=16 mm、X=18 mm、X=20 mm 時，簡諧激振力幅值A(chǔ)從1 N 到2 N 變化過程中電磁-永磁吸振器的減振性能曲線如圖8所示。

從圖8中可以看出，間距越小則減振性能越好，并且隨著力的增加，不同間距條件下減振性能都會有所提升。由圖8還可以看出，間距越大時，隨著簡諧激振力幅值A(chǔ)增大，吸振器的減振性能增加越快。

圖8 不同間距下減振性能與激振幅值的關(guān)系

但是，考慮到吸振器工作過程中永磁動子不能與電磁定子相撞，因此也不能僅通過減小間距來提高減振性能，應(yīng)根據(jù)具體的減振對象，考慮間距的大小。

3 結(jié)語

本文設(shè)計一種新型的具有特殊非線性特征的電磁-永磁式吸振器。建立了含電磁-永磁非線性吸振器系統(tǒng)的動力學方程，并通過龍格庫塔法對其進行了數(shù)值分析。

將吸振器連接不同剛度的主振子后進行仿真，證明電磁-永磁式非線性吸振器具有良好的寬頻減振性能。此外，由于電磁-永磁斥力機構(gòu)的特殊非線性力學性能，連接吸振器的主振子頻率響應(yīng)曲線只出現(xiàn)一個較高峰值，這有利于對被減振結(jié)構(gòu)的保護，而吸振器則會出現(xiàn)兩個較高的峰值。

此外，吸振器具有激活閾值，只有在簡諧激振力幅值達到該值以后才能夠具有良好的減振性能。在一定范圍內(nèi)，隨著簡諧激振幅值增加，吸振器的減振效果會隨之增強。并且，適當減小電磁鐵和永磁鐵的間距，可以增強減振效果。