陳硯圃周 俊解云虹丁海洋

（1.西京學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院，西安 710123；2.陸軍航空兵學(xué)院陸軍航空兵研究所，北京 101121；3.國防科技大學(xué)信息通信學(xué)院，武漢 430030）

1 引 言

周期信號(hào)是人類活動(dòng)中廣泛存在和廣為應(yīng)用的一類信號(hào)。 周期信號(hào)的諧波分析是信號(hào)分析的基本內(nèi)容，是對各類信源設(shè)備的識(shí)別、狀態(tài)分析及故障診斷的基礎(chǔ)。 理論上，如果能夠在整數(shù)個(gè)周期內(nèi)對信號(hào)進(jìn)行同步和均勻采樣，通過離散傅里葉變換（DFT）即可實(shí)現(xiàn)周期信號(hào)的無誤差諧波分析。 但由于信號(hào)頻率的變化，且采樣間隔又只能取定時(shí)時(shí)鐘周期的整倍數(shù)，實(shí)際中難以做到與整數(shù)個(gè)信號(hào)周期同步的均勻采樣。 基于信號(hào)采樣的諧波分析主要有雙速率采樣、同步采樣、準(zhǔn)同步采樣和頻譜插值等多種方法。 同步采樣法須引入硬件倍頻電路。 雙速率采樣法可以消除采樣時(shí)間在采樣過程中的誤差積累，但隨著信號(hào)頻率的變化1個(gè)周期內(nèi)的采樣點(diǎn)數(shù)不固定，不能直接利用2 的整數(shù)次方個(gè)點(diǎn)的快速傅里葉變換（FFT）進(jìn)行快速計(jì)算。 準(zhǔn)同步采樣無需精確獲取信號(hào)頻率，但需采用窗函數(shù)對多個(gè)周期的采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行加權(quán)，以抑制不同步采樣導(dǎo)致的各諧波間的泄漏干擾。 由于不同的窗函數(shù)對應(yīng)不同程度的諧波泄漏，為此人們設(shè)計(jì)了眾多優(yōu)異的窗函數(shù)用于周期信號(hào)的諧波分析。 基于準(zhǔn)同步采樣的諧波分析還存在柵欄效應(yīng)，即使進(jìn)行譜線的插值補(bǔ)償，由于諧波泄漏在各次諧波上呈不均勻分布，小幅諧波很容易被較強(qiáng)的諧波泄漏所淹沒。 采樣過程還需滿足奈奎斯特采樣定理，但實(shí)際中對信號(hào)的采樣間隔必須大于采樣保持與模數(shù)轉(zhuǎn)換時(shí)間，因而極大限制了諧波分析時(shí)信號(hào)的頻率范圍。

針對現(xiàn)有諧波分析法存在諧波泄漏不均勻以及有效分析信號(hào)的頻率范圍受采樣保持與模數(shù)轉(zhuǎn)換時(shí)間的限制等問題，利用周期信號(hào)的周期性，提出一種結(jié)合準(zhǔn)均勻采樣的等效采樣諧波分析法。準(zhǔn)均勻采樣用于抑制時(shí)間離散過程中定時(shí)時(shí)鐘周期對同步采樣的影響，等效采樣用于突破采樣保持與模數(shù)轉(zhuǎn)換時(shí)間對分析信號(hào)頻率范圍的限制。

2 等效采樣諧波分析理論

時(shí)間連續(xù)形式的周期信號(hào)三角函數(shù)展開形式為：

在1 個(gè)周期內(nèi)對信號(hào)進(jìn)行等份均勻采樣，采樣間隔為＝／，得離散時(shí)間序列為：

當(dāng)1 個(gè)周期內(nèi)均勻采樣的點(diǎn)數(shù)大于2時(shí)采樣滿足奈奎斯特采樣定理，信號(hào)的復(fù)諧波系數(shù)可通過［］的嚴(yán)格給出：

信號(hào)第次諧波的幅度和相位分別為：

在信號(hào)的時(shí)間離散過程中，采樣保持與轉(zhuǎn)換是需要時(shí)間的，只有在上次采樣結(jié)束后才能啟動(dòng)新的一次采樣。 因而采樣間隔不能小于采樣保持與模數(shù)轉(zhuǎn)換時(shí)間，即＞。 對采樣間隔的這一要求進(jìn)一步將限制分析信號(hào)的頻率不能過高，具體為＜（）。 為了拓寬分析信號(hào)的頻率范圍，必須突破采樣間隔不能小于采樣保持與模數(shù)轉(zhuǎn)換時(shí)間這一要求。 為此將1 個(gè)周期內(nèi)的次采樣分散在多個(gè)（整數(shù)個(gè)）周期內(nèi)進(jìn)行，這樣無論信號(hào)頻率多高，只要采樣所分散的周期數(shù)足夠多就能滿足＞的要求。 而且利用信號(hào)的周期性，在多個(gè)周期內(nèi)的各個(gè)采樣均可等效為1 個(gè)信號(hào)周期內(nèi)的采樣，故稱為等效采樣。 將次采樣等效至1 個(gè)周期后，只要各等效采樣的時(shí)間互不相同且等效采樣間隔為＝／，則仍可基于式（3）和式（4）進(jìn)行準(zhǔn)確的諧波分析。 顯然，等效采樣間隔可以小于采樣保持與模數(shù)轉(zhuǎn)換時(shí)間，這自然也就拓寬了分析信號(hào)的頻率范圍。

進(jìn)一步對完成1 次諧波分析的等效采樣限定如下：使用的信號(hào)周期數(shù)（）為奇數(shù)，且應(yīng)盡可能?。凰M(jìn)行的均勻采樣的次數(shù)（）為2 的整數(shù)次方。這樣就有和互質(zhì)，可以確保在1 個(gè)周期內(nèi)的等效采樣的采樣間隔為＝／且時(shí)間互不相同。 另外，取2 的整數(shù)次方可使在分析中能直接利用FFT 進(jìn)行快速計(jì)算。 通常取固定值，下面基于信號(hào)周期、采樣保持與模數(shù)轉(zhuǎn)換時(shí)間確定諧波分析中所用的信號(hào)周期數(shù)以及次采樣在1 個(gè)周期內(nèi)等效后的采樣序列。

為使實(shí)際采樣間隔不小于采樣保持與模數(shù)轉(zhuǎn)換時(shí)間，次采樣至少要用到的信號(hào)周期數(shù)為：

式中：int（·）——截尾取整函數(shù)。

為了保證在1 個(gè)周期內(nèi)的個(gè)等效采樣時(shí)間互不相同，取奇數(shù)個(gè)信號(hào)周期：

最后的實(shí)際采樣間隔為：

在信號(hào)的離散過程中，各采樣時(shí)間均為等效采樣間隔＝／的整數(shù)倍。 實(shí)際采樣點(diǎn)的時(shí)間序號(hào)以步長遞增，即＝0，，2，…，（－1），對取余即可得到一周期內(nèi)個(gè)等效采樣點(diǎn)的時(shí)間序號(hào)為：

一周期內(nèi)的等效采樣序列為：

式中：＝0，1，2，…，（－1），對應(yīng)一周期內(nèi)個(gè)不同的等效采樣時(shí)間。

通過將個(gè)周期內(nèi)的采樣等效至1 個(gè)周期，突破了采樣保持與數(shù)模轉(zhuǎn)換時(shí)間對分析信號(hào)頻率上限的限制。 進(jìn)一步將式（9）代入式（3）和式（4），理論上可實(shí)現(xiàn)信號(hào)的無誤差諧波分析。

上述信號(hào)的時(shí)間離散過程中，要求采樣為對個(gè)信號(hào)周期進(jìn)行等分的均勻采樣（等間隔采樣）。但實(shí)際中對采樣時(shí)間的控制是由單片機(jī)的定時(shí)器完成的。 因?yàn)槎〞r(shí)器工作時(shí)的時(shí)鐘周期（定時(shí)時(shí)鐘周期）為常數(shù)，而且采樣間隔只能取的整數(shù)倍，所以實(shí)際的采樣間隔一般不會(huì)恰好等于式（7）給出的理論值。 如果均勻采樣時(shí)的采樣間隔存在誤差，采樣時(shí)間誤差的連續(xù)積累會(huì)使次采樣的時(shí)間不等于個(gè)信號(hào)周期，因而導(dǎo)致非同步采樣。 非同步采樣會(huì)給諧波分析帶來諧波泄漏誤差與柵欄效應(yīng)誤差。 雖然可以選用窗函數(shù)對信號(hào)加權(quán)以及在頻域進(jìn)行插值補(bǔ)償對諧波泄漏和柵欄效應(yīng)進(jìn)行抑制，但需借助更多的采樣數(shù)據(jù)，且計(jì)算復(fù)雜度高。 另外信號(hào)加窗后的頻譜泄漏在各次諧波上的分布不均勻，不利于對小幅諧波的檢測與分析。

為了消除采樣時(shí)間誤差的積累，另一種方法是在采樣過程中動(dòng)態(tài)調(diào)整采樣間隔，使次采樣的時(shí)間等于個(gè)信號(hào)周期以實(shí)現(xiàn)同步采樣。 顯然該方法中各采樣間隔不再相等，因而不屬于均勻采樣。但由于單片機(jī)的定時(shí)時(shí)鐘周期很小，各采樣間隔非常接近均勻采樣時(shí)的值，故將該采樣稱為準(zhǔn)均勻采樣。 準(zhǔn)均勻采樣易于實(shí)現(xiàn)且諧波的分析誤差在各次諧波上呈均勻分布，特別適于對小幅諧波的分析。

采用結(jié)合準(zhǔn)均勻采樣的等效采樣法對周期信號(hào)進(jìn)行諧波分析。 在信號(hào)頻率以及定時(shí)時(shí)鐘周期已知的條件下，通過單片機(jī)定時(shí)器觸發(fā)的在（奇數(shù)）個(gè)周期進(jìn)行（2 的整數(shù)次方）次采樣的實(shí)際采樣時(shí)間為：

式中：＝0，，2，…，（－1）；round（·）——四舍五入取整。

由此得到的實(shí)際采樣時(shí)間相對于采樣時(shí)間的理論值存在±／2 以內(nèi)的時(shí)間偏移，采樣不是嚴(yán)格的均勻采樣。 但實(shí)際采樣時(shí)間的誤差不會(huì)隨連續(xù)采樣而積累（總在±／2 之內(nèi)）。

基于式（10）得到的各離散時(shí)間用于觸發(fā)周期信號(hào)的采樣，再將采樣結(jié)果代入式（8）、（9）得到一周期內(nèi)的等效采樣序列。

3 諧波誤差分析

實(shí)際的采樣過程中，時(shí)間離散與采樣中的幅值量化均會(huì)給諧波分析帶來誤差。 基于式（10）給出的采樣時(shí)間在個(gè)信號(hào)周期內(nèi)進(jìn)行次采樣后，在1 個(gè)周期內(nèi)的等效采樣序列可表示為：

式中：［］，［］——時(shí)間離散和幅值量化引入的誤差序列。

對式（11）做DFT，得次諧波的復(fù)諧波系數(shù)為：

時(shí)間離散誤差序列的一階近似為：

式中：Δt——采樣時(shí)間誤差。

實(shí)際中，基波的幅度通常遠(yuǎn)大于其他諸次諧波的幅度。 作為近似僅計(jì)入基波對時(shí)間離散誤差序列的貢獻(xiàn)，則有：

時(shí)間離散誤差序列［］的復(fù)DFT 系數(shù)［］為：

［］由式（14）近似給出，可導(dǎo)出［］的標(biāo)準(zhǔn)差為：

此標(biāo)準(zhǔn)差用于表示信號(hào)采樣中時(shí)間離散引入的諧波分析誤差。 同樣，幅值量化誤差序列［］的復(fù)DFT 系數(shù)［］為：

設(shè)信號(hào)采樣中幅值量化的結(jié)果為位的2 進(jìn)制數(shù)，工程中通常將信號(hào)的最大動(dòng)態(tài)范圍設(shè)為其額定峰峰值的120%。 進(jìn)一步對信號(hào)做基波近似，并以表示信號(hào)有效值的額定值，則時(shí)域信號(hào)幅值量化步長為3.4 ×2 X。 再利用采樣中幅值的量化誤差在±1.7 ×2X之內(nèi)近似服從均勻分布，［］近似服從均值為0 的正態(tài)分布，可導(dǎo)出［］的標(biāo)準(zhǔn)差近似為：

此標(biāo)準(zhǔn)差用于表示信號(hào)采樣中幅值量化引入的諧波分析誤差。

實(shí)際的采樣過程中非均勻時(shí)間離散和幅值量化并存，誤差序列的復(fù)DFT 系數(shù)為［］＝［］＋［］，綜合標(biāo)準(zhǔn)差為：

當(dāng)＜＜X時(shí)，第次諧波的相位的平均誤差近似為：

可以看出，時(shí)間離散和幅值量化引入的綜合諧波誤差在各次諧波上呈均勻分布，與諧波的次數(shù)無關(guān)；提高定時(shí)時(shí)鐘頻率（＝1／）和幅值量化位數(shù)（）均可有效提高諧波分析的精度；分析信號(hào)的頻率越高，諧波分析的誤差也就越大。

4 等效采樣諧波分析算法

為了在計(jì)算中能夠直接利用FFT 進(jìn)行快速計(jì)算，取2 的整數(shù)次方。 基于信號(hào)周期以及信號(hào)的采樣保持與模數(shù)轉(zhuǎn)換時(shí)間，由式（6）計(jì)算出進(jìn)行次等效采樣所用的最小奇數(shù)周期數(shù)。 如此，由式（9）導(dǎo)出一個(gè)信號(hào)周期內(nèi)在時(shí)間上互不相同的個(gè)等效采樣值。

對信號(hào)的等效采樣中，采樣時(shí)間通過單片機(jī)的定時(shí)器進(jìn)行觸發(fā)控制。 為了使離散采樣時(shí)間在滾動(dòng)更新中盡可能精準(zhǔn)和計(jì)算簡捷，程序中的采樣時(shí)間累加和、采樣間隔等量均采用長整型變量表示。只要代表采樣間隔的整型變量的2 進(jìn)制位數(shù)足夠長，次采樣后的時(shí)間積累誤差就可以忽略不計(jì)，實(shí)際采樣就可視為與信號(hào)周期同步。 單片機(jī)定時(shí)計(jì)數(shù)器常用的工作模式中，自動(dòng)重裝遞增、自動(dòng)重裝遞減以及循環(huán)遞增等模式均可用于觸發(fā)準(zhǔn)均勻采樣。 設(shè)所用定時(shí)器中的工作計(jì)數(shù)器由個(gè)2進(jìn)制位組成，定時(shí)時(shí)鐘周期為。 這里采用循環(huán)遞增的連續(xù)計(jì)數(shù)模式，當(dāng)連續(xù)遞增到預(yù)設(shè)計(jì)數(shù)值時(shí)會(huì)自動(dòng)觸發(fā)一次采樣。 為了方便，算法中用到的長整型變量有：由個(gè)2 進(jìn)制位組成的采樣時(shí)間累加和，用于記錄滾動(dòng)更新的采樣時(shí)間；采樣時(shí)間累加增量；觸發(fā)采樣的預(yù)設(shè)計(jì)數(shù)值。

與采樣間隔對應(yīng)的采樣時(shí)間累加增量為：

為對／放大取整后的整數(shù)，其低位對應(yīng)／的二進(jìn)制小數(shù)。 只要選的足夠大，由累加得到的就足夠精確。 采樣觸發(fā)預(yù)設(shè)計(jì)數(shù)值取自的高位，每當(dāng)遞增到與相等就立刻觸發(fā)一次采樣。

將準(zhǔn)均勻采樣與等效采樣相結(jié)合，周期信號(hào)的諧波分析流程如下：

1）初始化：

復(fù)位采樣時(shí)間累加和：＝0；

設(shè)置采樣時(shí)間累加增量：＝int（（2）??／（?））；

復(fù)位采樣序號(hào)：＝0；

復(fù)位定時(shí)計(jì)數(shù)器：＝0；

啟動(dòng)定時(shí)計(jì)數(shù)器。

2）觸發(fā)一次采樣；

3）設(shè)置定時(shí)器下一次觸發(fā)采樣的計(jì)數(shù)值：

＋＝；

＝round（／（2）。

4）等待采樣保持與轉(zhuǎn)換的結(jié)束；

5）保存本次采樣結(jié)果：

＝%；

［］＝采樣結(jié)果；

＝＋。

6）等待采樣觸發(fā)事件發(fā)生（＝）；

7）若采樣不足次，轉(zhuǎn)（2）；

8）完成一次諧波分析：

對等效采樣序列［］（＝0，1，2，…，－1）做FFT；

計(jì)算1 ～次諧波的幅度和相位。

多數(shù)單片機(jī)定時(shí)器的工作計(jì)數(shù)器為16 位（＝16），若和均選為32 位（＝32）整型變量，并設(shè)＝16，則采樣間隔可精確到1.5 ×10的數(shù)量級(jí)，次連續(xù)采樣的時(shí)間積累誤差可以忽略。為使計(jì)算簡單、高效，算法中控制采樣時(shí)間的變量均采用了整形變量。 另外取每周期內(nèi)的等效采樣點(diǎn)數(shù)的值為2 的整數(shù)次方，以便直接利用FFT 進(jìn)行快速計(jì)算。

5 數(shù)值仿真與結(jié)果分析

實(shí)驗(yàn)信號(hào)由6 個(gè)諧波（含基波）分量組成，具體參數(shù)如表1所示。 其中主要成分基波的有效值為1 000 mV，最小的諧波幅值僅為1 mV，最高諧波次數(shù)為49。 實(shí)驗(yàn)中單片機(jī)的定時(shí)時(shí)鐘周期＝1 μs、采樣保持與模數(shù)轉(zhuǎn)換時(shí)間＝1 μs、1 個(gè)信號(hào)周期內(nèi)的等效采樣點(diǎn)數(shù)＝128。 引入相對于定時(shí)時(shí)鐘頻率的歸一化頻率＝／作為控制變量，實(shí)驗(yàn)中分別改變歸一化頻率和信號(hào)模數(shù)轉(zhuǎn)換時(shí)幅值量化位數(shù)，諧波分析誤差為采樣起點(diǎn)隨機(jī)給出時(shí)測量誤差的統(tǒng)計(jì)平均。

表1 實(shí)驗(yàn)信號(hào)的參數(shù)Tab.1 Parameters of experimental signal

不考慮信號(hào)幅值量化而僅改變歸一化頻率時(shí)，各次諧波測量中幅值的標(biāo)準(zhǔn)差和相位的平均誤差，如表2和表3所示。 從表2可以看出：同一列中的數(shù)據(jù)近似相同，驗(yàn)證了諧波幅值的標(biāo)準(zhǔn)差不隨諧波次數(shù)的變化而變化；諧波幅值的標(biāo)準(zhǔn)差正比于歸一化頻率，與式（16）的結(jié)果（0.022，0.113，0.226，1.131）非常吻合。 由表3的數(shù)據(jù)可知：歸一化頻率一定時(shí)，信號(hào)諧波的幅值越小，相位估計(jì)誤差就越大；當(dāng)歸一化頻率增大時(shí)，相位估計(jì)誤差也隨之增大。

表2 不同歸一化頻率對應(yīng)的幅度標(biāo)準(zhǔn)差Tab.2 Amplitude standard deviations of different normalized frequencies mV

表3 不同定時(shí)時(shí)鐘周期對應(yīng)的相位平均誤差Tab.3 Phase average errors of different timing clock cycles （°）

不考慮信號(hào)的非均勻采樣而僅改變信號(hào)的幅值量化位數(shù)時(shí)，各次諧波測量中幅值的標(biāo)準(zhǔn)差和相位的平均誤差，如表4和表5所示。 從表4可以看出：同一列中的結(jié)果非常接近，說明諧波幅值的標(biāo)準(zhǔn)差不隨諧波次數(shù)的變化而變化；諧波幅值的標(biāo)準(zhǔn)差反比于2，且與式（18）的結(jié)果（0.476，0.119，0.030，0.002）非常吻合。 由表5的數(shù)據(jù)可知：幅值量化位數(shù)一定時(shí)，信號(hào)諧波的幅值越小，相位估計(jì)誤差就越大；當(dāng)幅值量化位數(shù)增大時(shí)，相位估計(jì)誤差則隨之減小。

表4 不同采樣量化對應(yīng)的幅度標(biāo)準(zhǔn)差Tab.4 Amplitude standard deviations of different sampling quantization mV

表5 不同采樣量化對應(yīng)的相位平均誤差Tab.5 Phase average errors of different sampling quantization （°）

以上在采樣點(diǎn)數(shù)、采樣保持與模數(shù)轉(zhuǎn)換時(shí)間以及定時(shí)時(shí)鐘周期取一組典型值的條件下，分別改變信號(hào)的歸一化頻率和幅值量化位數(shù)對等效采樣諧波分析法進(jìn)行了數(shù)值仿真。 實(shí)際中的值取2 的整數(shù)次方且大于信號(hào)最高諧波次數(shù)的2倍。 雖然理論上等效采樣諧波分析的精度與的取值無關(guān)，但對可編程配置的數(shù)模轉(zhuǎn)換器，可適當(dāng)配置較大的值，以提高信號(hào)的采樣保持和量化的穩(wěn)定性。 定時(shí)時(shí)鐘周期由所選的單片機(jī)系統(tǒng)決定，通常在（0.01 ～10）μs 范圍內(nèi)取值。 定時(shí)時(shí)鐘周期越小，諧波分析越精確。

應(yīng)用中還需明確等效采樣用于有效諧波分析時(shí)分析信號(hào)的頻率上限。 實(shí)際上分析信號(hào)的最高頻率由信號(hào)中的最高諧波次數(shù)、定時(shí)時(shí)鐘周期、信號(hào)幅值量化位數(shù)，以及需滿足的分析精度等因素綜合決定。 如對表1給出的最高諧波次數(shù)＝49 的分析信號(hào)，若要求諧波幅值和相位誤差分別小于0.3 mV 和5 °，則其他參數(shù)需滿足＝128，≤0.000 5，以及≥10。 若?。?.01 μs，則分析信號(hào)的最高頻率為50 kHz。 如果僅把歸一化頻率范圍拓寬至≤0.001而不改變其他參數(shù)，分析信號(hào)的最高頻率可提高至100 kHz，此時(shí)諧波幅值較大的1 次、3 次和5次諧波仍滿足精度要求，但諧波幅值僅為1 mV 的2次、25 次和49 次諧波已不能有效分辨。

6 結(jié)束語

提出了一種結(jié)合準(zhǔn)均勻采樣對周期信號(hào)進(jìn)行等效采樣實(shí)現(xiàn)諧波分析的方法，突破了信號(hào)的采樣保持與模數(shù)轉(zhuǎn)換時(shí)間對分析信號(hào)頻率的限制；對等效采樣諧波分析的誤差進(jìn)行了分析，導(dǎo)出了各次諧波幅值和相位的誤差公式；給出了等效采樣諧波分析的具體流程。 借助含有多個(gè)小幅諧波分量的實(shí)驗(yàn)信號(hào)對等效采樣諧波分析進(jìn)行了數(shù)值仿真，驗(yàn)證了理論和算法的有效性。 理論分析和仿真實(shí)驗(yàn)均表明，所提出的等效采樣諧波分析方法拓寬了可分析信號(hào)的頻率范圍；時(shí)域準(zhǔn)均勻采樣和幅值量化所帶來的誤差在各次諧波中呈均勻分布，特別有利于對小幅諧波的檢測；在1個(gè)周期內(nèi)的等效采樣點(diǎn)數(shù)總能取2 的整數(shù)次方，算法可以直接借助FFT 快速實(shí)現(xiàn)；算法中動(dòng)態(tài)控制采樣時(shí)間的各變量均取為長整型變量，計(jì)算精準(zhǔn)且簡捷。所提出的等效采樣諧波分析方法特別適用于自帶模數(shù)轉(zhuǎn)換的單片機(jī)嵌入實(shí)現(xiàn)，無需其他硬件開銷。