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        定理結構與圖形結構雙管齊下自然生成解法
        ——正、余弦定理的幾何應用

        2022-08-18 09:54:38江蘇省蘇州市第六中學校
        中學數(shù)學雜志 2022年15期
        關鍵詞:學生

        ?江蘇省蘇州市第六中學校

        李 娟

        1 引言

        正、余弦定理揭示了三角形中邊、角的量化關系.解三角形是高考必考的知識點,總體難度適中.本文試圖從定理本身的結構特征和幾何圖形的結構、條件和問題整合考慮,闡述如何“快”且“準”地高效運用正、余弦定理.教學結構主義的代表人物布魯納強調:就是學習事物是如何關聯(lián)的,便于學生記憶和正遷移,能使學生提高直覺處理問題的能力.聯(lián)合考慮問題和條件中的元素,辨別是哪個定理對應的元素,快速識別用單一定理還是“聯(lián)合行動”抑或“多次行動”.

        下面通過具體案例對正、余弦定理的幾何應用進行分析.

        課前檢測給出幾道小題,主要復習相關知識與相應的思想方法.

        選題目的:第(1)~(3)小題的字母符號與原定理一致,便于學生提取和遷移相關知識.第(4)小題與原定理字母符號不一致,可轉化成對應的小寫字母,同時引導學生觀察余弦定理左右兩側邊與角的關系,為在較復雜圖形中正確且快速地根據原理“造等式”做準備.在解決上述簡單問題時,注意引導學生關注兩個定理的“同”與“異”.“同”在正、余弦定理本質是恒等式,因此首要功能是“造等式”,體現(xiàn)方程思想.“異”在元素對象不同,結構特征亦不同.正弦定理實質是3個等式,每個等式中的元素是四個量,即兩組對應邊、角,其結構特征體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美和和諧美;余弦定理也是3個等式,元素是四個量,即三邊一角,而角決定選用3個等式中的哪一個.余弦定理是勾股定理的拓展延伸,注意新知識和舊知識的聯(lián)系.同時,提醒學生注意應用正弦定理求角時,有一解和兩解兩種情況需要結合“內角和定理”和“大邊對大角,小邊對小角”進行檢驗取舍,而余弦定理求角是唯一解.因此,在有選擇的前提下,優(yōu)選余弦定理求角.正、余弦定理的功能主要是兩個方面,即“造等式”和“邊角互化”.

        2 經典題例,突破問題

        思路探求:本題是正、余弦定理的幾何應用,題目中的字母符號與原定理不一致.首先,要求學生明確原定理中的元素對象及其關系,才能正確地“造等式”.其次,題目的順利解決還需要學生充分了解圖形的結構特征,即大三角形分成兩個小三角形,兩個小三角形有一條公共邊、一對互補內角.這些特殊之處就是聯(lián)系之處,就是架構關系式之處,是解題的關鍵.另外,沒有被切割的∠B,∠C是兩個三角形的內角,根據需要選擇三角形,一般選擇已知條件多的三角形利用定理構造等式(或方程組).根據上述分析,自然生成下面兩種解法.

        解法1:利用兩個小三角形的一對互補角建立等式,兩個小三角形內涉及的元素都是三邊一角,故都使用余弦定理建立方程.

        設BC=2m,則BD=CD=m.

        又∠ADB+∠ADC=180°,所以cos ∠ADB+cos ∠ADC=0,即m2-6+m2-2=0.

        解得m2=4,m=2,故BC=4.

        圖1

        解法2:利用∠B是圖1中△ABC與△ABD的內角構建等式,兩個三角形內涉及的元素亦是三邊一角,故使用余弦定理建立方程.

        3 側重綜合,關注應用

        圖2

        3.1 與三角函數(shù)的綜合

        (1)求sinC的值;

        思路探求:(1)圖2中的∠C是兩個三角形的內角,而△ABC中條件相對充分.梳理題目已知條件可知既不是三邊一角,也不是兩組對應邊、角,因此判斷是“聯(lián)合行動”,先由余弦定理解得邊b,再由正弦定理求sinC.當然,亦可由余弦定理解得cosC,再由同角三角函數(shù)基式關系式求sinC.

        3.2 模塊間的聯(lián)結:與橢圓的綜合

        例3(2019年高考數(shù)學全國卷Ⅰ第10題)已知橢圓C的焦點為F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),過F2的直線與C交于A,B兩點.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,則C的方程為( ).

        思路探求:本題考查橢圓的幾何性質、焦點三角形和余弦定理.對應的圖形結構和前面一致,因此構造等式的途徑也有3種,下面給出其中一種解法.

        圖3

        在△ABF1中,由余弦定理得

        在△AF1F2中,由余弦定理得

        解得a2=3c2.

        又c=1,所以a2=3,則b2=a2-c2=2.

        4 利用結構特征,巧證明

        4.1 證明三角形內角平分線性質定理

        證明:如圖4,設∠BAD=∠CAD=α,∠ADB=β,∠ADC=γ,則β+γ=180°.

        圖4

        因而sinβ=sinγ.

        4.2 代數(shù)問題幾何化,建立三角形幾何模型

        圖5

        在BC上取點D,使得BD=AD,則∠ADC=α.

        5 結束語

        本文主要探討在所研究的幾何模型,即大三角形分割成兩個小三角形中,結合圖形特征,通過梳理條件、結論中的元素,快速、準確地選用原理構造方程(方程組),從而解決問題.

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