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        巧借兩點(diǎn)距離公式 妙解空間應(yīng)用問題*

        2022-08-18 09:55:56江蘇省蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué)
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年15期
        關(guān)鍵詞:直角坐標(biāo)最值線段

        ?江蘇省蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué)

        錢 寧

        1 線段的長(zhǎng)度問題

        線段的長(zhǎng)度問題往往可以直接轉(zhuǎn)化為空間兩點(diǎn)間的距離問題,利用對(duì)應(yīng)的距離來進(jìn)一步分析與應(yīng)用.

        例1在空間直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(1,2,-1),點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于平面xOy對(duì)稱,點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱,則|BC|的值為( ).

        分析:先根據(jù)條件中的軸對(duì)稱、面對(duì)稱來確定相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),再利用空間中兩點(diǎn)間的距離公式直接求解即可.

        點(diǎn)評(píng):空間中兩點(diǎn)間的距離公式除了可直接求解對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度外,還可以間接用來確定平面幾何圖形的邊長(zhǎng)、形狀等相關(guān)問題,此時(shí)直接利用空間兩點(diǎn)間的距離公式轉(zhuǎn)化是最基本、最有效的方法.

        2 坐標(biāo)的求解問題

        坐標(biāo)的求解問題往往直接轉(zhuǎn)化為空間中兩點(diǎn)間的距離問題,利用已知的距離通過相應(yīng)的方程來求解對(duì)應(yīng)的坐標(biāo).

        例2在空間直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(4,5,6),B(-5,0,10),在z軸上有一點(diǎn)P,使|PA|=|PB|,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是______.

        分析:根據(jù)條件設(shè)點(diǎn)P(0,0,z),由|PA|=|PB|結(jié)合空間兩點(diǎn)間的距離公式建立關(guān)系式,通過解方程來確定參數(shù)z的值,進(jìn)而確定點(diǎn)P的坐標(biāo).

        解析:設(shè)點(diǎn)P(0,0,z),則由|PA|=|PB|,可得

        解得z=6,即點(diǎn)P的坐標(biāo)是(0,0,6).

        故填答案:(0,0,6).

        點(diǎn)評(píng):在空間直角坐標(biāo)系中,往往先設(shè)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),再利用題設(shè)條件建立相關(guān)式子,進(jìn)而確定對(duì)應(yīng)的坐標(biāo).這是解決坐標(biāo)的求解問題比較常見的一種思維方式.

        3 參數(shù)的確定問題

        利用空間兩點(diǎn)間的距離公式可以解決對(duì)應(yīng)的參數(shù)問題,涉及相應(yīng)點(diǎn)的某個(gè)坐標(biāo)參數(shù)、比值等.此類問題的求解往往結(jié)合空間兩點(diǎn)間的距離公式確定相應(yīng)的參數(shù)值.

        A.-3或4B.6或2C.3或-4D.6或-2

        分析:根據(jù)空間兩點(diǎn)間的距離公式建立關(guān)于x的二次方程即可確定參數(shù)x的值.

        解析:根據(jù)空間兩點(diǎn)間的距離公式,得

        整理得(x-2)2=16,解得x=6或-2.

        故選:D.

        點(diǎn)評(píng):在空間直角坐標(biāo)系中,兩點(diǎn)間的距離公式中包含七個(gè)量,即兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo),以及對(duì)應(yīng)的距離.已知其中六個(gè)量就可以求出剩下的一個(gè)量.

        4 距離的最值問題

        距離的最值問題往往通過空間兩點(diǎn)間的距離公式轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,進(jìn)而利用函數(shù)的性質(zhì)求解對(duì)應(yīng)的距離的最值.

        例4在空間直角坐標(biāo)系中,試在xOy平面內(nèi)的直線x+y=1上確定一點(diǎn)M,使它到點(diǎn)N(6,5,1)的距離最小,此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為______.

        分析:根據(jù)條件設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo),利用空間兩點(diǎn)間的距離公式表示|MN|,通過配方法結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可確定最值.

        解析:由點(diǎn)M在直線x+y=1(xOy平面內(nèi))上,可設(shè)M(x,1-x,0),那么

        點(diǎn)評(píng):由于空間兩點(diǎn)間的距離公式中的坐標(biāo)都帶有平方,因此,利用距離公式求最值問題時(shí),往往要通過轉(zhuǎn)化,利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)加以分析與求解.

        5 軌跡的方程問題

        軌跡的方程問題往往通過假設(shè)相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),利用空間兩點(diǎn)間的距離公式建立相應(yīng)的關(guān)系式,進(jìn)而求解相關(guān)方程.

        點(diǎn)評(píng):此類問題建立在空間兩點(diǎn)間的距離公式的基礎(chǔ)上,通過公式的轉(zhuǎn)化來確定相應(yīng)的軌跡.平面直角坐標(biāo)系下的很多方法可以推廣到空間直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)的軌跡的求法就是一個(gè)典型的推廣.

        6 知識(shí)的綜合問題

        空間中點(diǎn)、線、角等相關(guān)的綜合問題往往通過空間直角坐標(biāo)系的建立,結(jié)合空間兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用來解決.

        圖1

        例6如圖1,在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,以正方體的三條棱所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.

        (1)若點(diǎn)P在線段BD1上,且滿足3|BP|=|BD1|,試寫出點(diǎn)P的坐標(biāo),并寫出P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P′的坐標(biāo);

        (2)在線段C1D上找一點(diǎn)M,使點(diǎn)M到點(diǎn)P的距離最小,求出點(diǎn)M的坐標(biāo).

        分析:(1)根據(jù)點(diǎn)P在線段BD1上,且滿足3|BP|=|BD1|確定點(diǎn)P的坐標(biāo),再結(jié)合對(duì)稱性確定點(diǎn)P′的坐標(biāo);(2)根據(jù)空間兩點(diǎn)間的距離公式確定|MP|的關(guān)系式,通過二次函數(shù)的配方,并結(jié)合相應(yīng)的圖象與性質(zhì)確定最值.

        點(diǎn)評(píng):解決此類空間的綜合問題,首先是建立合適的空間直角坐標(biāo)系并列出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),利用點(diǎn)的位置,結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式、距離公式,以及點(diǎn)的對(duì)稱等性質(zhì)來解決相應(yīng)的綜合問題.

        7 結(jié)束語

        空間兩點(diǎn)間的距離公式作為一種工具,其應(yīng)用非常廣泛,不僅只局限于此.隨著學(xué)習(xí)的深入,我們會(huì)越來越深刻地體會(huì)到,只要是空間直角坐標(biāo)系中的相關(guān)問題,大都有空間兩點(diǎn)間的距離公式的影子存在,它是解決空間直角坐標(biāo)系中問題的一個(gè)有力工具.

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