鄭振興

(樂成公立寄宿學(xué)校，浙江 樂清 325600)

0 引言

美國著名數(shù)學(xué)家波利亞把一般化、特殊化和類比并列稱作“獲得發(fā)現(xiàn)的偉大源泉”[1].一般化是一種重要的數(shù)學(xué)思想，對學(xué)生的思維能力、邏輯推理能力的培養(yǎng)起到關(guān)鍵作用.德國著名數(shù)學(xué)家雅可比曾說過：“數(shù)學(xué)史中處處可見一般化，它推動數(shù)學(xué)不斷發(fā)展.”日本著名數(shù)學(xué)家米山國藏認(rèn)為，應(yīng)將一般化數(shù)學(xué)精神銘刻于學(xué)生頭腦中，才是“真正教育旨趣”.世界著名數(shù)學(xué)家希爾伯特在一生的數(shù)學(xué)研究中，特別重視和強調(diào)一般化思想的重要性，認(rèn)為一般化思想是數(shù)學(xué)解題反思的一個重要方面.

從培養(yǎng)學(xué)生能力上看，一般化思想有助于提高學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)能力、抽象概括能力和解決問題能力.從數(shù)學(xué)解題研究角度看，一般化能歸納出問題解決的通式、通法，有效達成跳出題海，減負(fù)增效[2].另外，一般化思想在解題中，能促使學(xué)生從個例到類型的抽象、從具象到模型的建立，使數(shù)學(xué)研究層層遞進；數(shù)學(xué)研究的思維品質(zhì)得到鍛煉，探究精神得到培養(yǎng).

1 解題教學(xué)存在的問題

事實上，有些教師在解題教學(xué)中追求多解，只是解法的簡單堆積，未能有的放矢地深挖解法背后的教育價值，往往讓一些能夠從更深層次培養(yǎng)學(xué)生解題思維和數(shù)學(xué)思想的機會從手邊“溜走”；有些教師對解題教學(xué)中蘊涵的一般化思想提煉不足，特別是缺乏提煉一般化思想的意識和行動，使解題教學(xué)與一般化思想形成人為割裂，導(dǎo)致一般化思想的養(yǎng)成、能力的培養(yǎng)少了一個重要陣地.那么，如何在解題教學(xué)中有效落實一般化思想的培養(yǎng)？如何助力學(xué)生在解題過程中有效養(yǎng)成與提升一般化能力？筆者基于教學(xué)經(jīng)驗，與讀者分享如何利用解后追問，順應(yīng)學(xué)生解題思路，創(chuàng)設(shè)拓展性問題，培養(yǎng)學(xué)生一般化數(shù)學(xué)思想與能力.

2 解題教學(xué)培養(yǎng)一般化思想與能力的實踐

2.1 弱化條件，創(chuàng)設(shè)結(jié)論一般化研究環(huán)境

在初中數(shù)學(xué)幾何問題中，當(dāng)線段、角度和面積這些變量從具體的數(shù)(定量)向字母(變量)轉(zhuǎn)化后，便形成一般化探究變式問題，為學(xué)生體驗一般化思想提供鍛煉與養(yǎng)成的機會.通過解后追問創(chuàng)設(shè)的探究性問題，促使學(xué)生重演解題思路，他們會發(fā)現(xiàn)用字母代替數(shù)達成從定量向變量轉(zhuǎn)化后，解題的路徑、運算的規(guī)則、推理的邏輯過程都保持不變；從問題條件變化的角度看，也就是弱化條件，從特殊到一般，創(chuàng)設(shè)了提升一般化數(shù)學(xué)思維與鍛煉一般化能力的研究環(huán)境.

例1如圖1，△ABC的內(nèi)切圓圓心為O，過點O作BC的平行線，分別與AB,AC交于點D,E.若△ABC的3條邊BC,CA,AB的長分別為8,7,5，則DE的長為______.

圖1 圖2

學(xué)生解答1由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，利用周長之比等于相似比，問題轉(zhuǎn)化為求△ADE的周長.如圖2，聯(lián)結(jié)OB，由DE∥BC，OB平分∠B,可得

∠DOB=∠DBO=∠OBC，

從而

BD=DO.

同理可得

CE=EO，

于是

C△ADE=AB+AC=5+7=12.

圖3

學(xué)生解答2利用勾股方程求△ABC的高，根據(jù)兩個相似三角形的高之比等于對應(yīng)邊之比.如圖3，過點A作AH⊥BC于點H，交DE于點F.由AB2-BH2=AH2=AC2-CH2,即

52-BH2=72-(8-BH)2，

解得

從而

設(shè)⊙O的半徑為R，則

即

繼而求得

教師追問若△ABC的3條邊BC,CA,AB的長分別為a,b,c.你能用a,b,c表示DE的長嗎？

學(xué)生解答若△ABC的3條邊BC,CA,AB的長分別為a,b,c，則

得

即

追問意圖在學(xué)生已有的解題思路基礎(chǔ)上，通過追問，使條件從特殊轉(zhuǎn)為一般，目的是創(chuàng)設(shè)一個能讓學(xué)生通過已有解題路徑順利突破，達成從數(shù)到字母、從特殊到一般的問題探究路徑，使學(xué)生從中經(jīng)歷一般化思想的應(yīng)用過程.

2.2 尋求規(guī)律，在數(shù)式遷移中經(jīng)歷一般化過程

規(guī)律探索型試題是各地中考的熱點，求解此類問題的關(guān)鍵在于對規(guī)律的抽象，從幾個圖形或數(shù)式的變化中尋找規(guī)律，探索通式.在教學(xué)中，通過解后追問，引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)式遷移、轉(zhuǎn)化的思維，經(jīng)歷一般化過程，有助于學(xué)生鞏固一般化數(shù)學(xué)思想，提升數(shù)學(xué)一般化能力.

例2將一些相同的“〇”按圖4所示的規(guī)律依次擺放，觀察每個“龜圖”的“〇”的個數(shù)，則第30個“龜圖”中有______個“〇”.

圖4

學(xué)生解答1從圖4可以找出“〇”的規(guī)律如下：

第1個圖：1+2+0×0+2=5；

第2個圖：1+3+1×1+2=7；

第3個圖：1+4+2×2+2=11；

第4個圖：1+5+3×3+2=17；

……

故第30個“龜圖”有1+31+29×29+2=875個“〇”.

學(xué)生解答2從圖4中先數(shù)出“〇”的個數(shù)分為別：5，7，11和17.再根據(jù)“〇”個數(shù)的規(guī)律為依次+2，+4，+6，以此類推，可得

5+2,5+2+4,5+2+4+6,5+2+4+6+8,….

根據(jù)規(guī)律得出第30個“龜圖”有5+[2+4+6+…+(30-1)×2]=875個“〇”.

教師追問“龜圖”中“〇”的個數(shù)是否存在規(guī)律？你能得出第n個“龜圖”中有幾個“〇”？

學(xué)生解答按照數(shù)列規(guī)律，第n個“龜圖”有5+[2+4+6+…+(n-1)×2]=(n2-n+5)個“〇”.

追問意圖在解題教學(xué)中，通過對問題的解后追問，從第“30”到第“n”的拓展，達成從數(shù)到式的一般化路徑，鍛煉學(xué)生規(guī)律探索尋求通式的思維，創(chuàng)設(shè)一般化研究路徑，達成一般化思想與能力的培養(yǎng).

2.3 基于猜想，建立結(jié)論一般化的探究性思維

猜想與驗證是推動數(shù)學(xué)不斷發(fā)展的重要手段.學(xué)生在求解數(shù)學(xué)問題時，經(jīng)常能發(fā)現(xiàn)一些“湊巧”，而這恰恰是數(shù)學(xué)猜想的火苗.引導(dǎo)學(xué)生對一些“湊巧”“可能”進行大膽猜想，勇敢驗證，是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)、建立研究性思維的契機和必由之路，也是數(shù)學(xué)一般化思想與能力建設(shè)的重要途徑.

圖5 圖6

學(xué)生解答如圖6，過點M作MC∥AB，當(dāng)直線MC與拋物線只有一個交點時，MC與AB之間的距離最大，此時△AMB面積最大.先求得直線AB的解析式比例系數(shù)k=-1，設(shè)直線MC的解析式為y=-x+n，聯(lián)立方程組

可得

x2+4x-8-2n=0，

Δ=16-4×(-8-2n)=0,

解得n=-6，進而求得M(-2，-4).

教師(不失時機)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)點M的坐標(biāo)與直線AB和拋物線兩個交點坐標(biāo)之間的聯(lián)系.

學(xué)生猜想當(dāng)△ABM面積最大時，由M(-2，-4)，A(-4，0)，B(0，-4)可知

即

亦即點M的橫坐標(biāo)為點A,B橫坐標(biāo)的平均數(shù).

教師追問以上結(jié)論是否存在普遍性？對于任意拋物線y=ax2+bx+c與任意直線y=kx+m相交的情形都適用嗎？

學(xué)生解答作與直線y=kx+m平行且與拋物線y=ax2+bx+c相切的直線，切點為M，此時△ABM的面積最大.設(shè)該直線為y=kx+n，從而

ax2+bx+c=kx+n

只有一個解，即

ax2+(b-k)x+(c-n)=0

有且只有一個解.

故

追問意圖通過引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)條件與結(jié)果的“聯(lián)系”，提出猜想，利用解后追問驅(qū)動學(xué)生探索一般性結(jié)論.通過建立一般化能力發(fā)展的常規(guī)路徑和研究范式，從而培養(yǎng)學(xué)生一般化數(shù)學(xué)思想.

3 思考

一般化思想建立在數(shù)學(xué)抽象、概括、推理、驗證和計算等能力之上.學(xué)生的一般化思想與能力的培養(yǎng)是一個長期過程，不是空中樓閣，不能拔苗助長，需要我們扎扎實實、一步一個腳印地幫助學(xué)生慢慢養(yǎng)成.教師要在解題教學(xué)中，適時利用解后追問，抓住可拓展、可研究、可一般化的解法思路，以已有思維為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生進行一般化探究與驗證.引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)到字母、從特殊到一般，關(guān)注一般化研究過程，注重一般化思想的點滴累積和循序漸進發(fā)展才能有效掌握思想，提高能力.