筅江蘇省南通市啟秀中學(xué) 李庾南

筅江蘇省南通市教育科學(xué)研究院 劉東升

1 引言

自20世紀(jì)70年代末，我們提出“自學(xué)·議論·引導(dǎo)”教學(xué)法以來，圍繞初中數(shù)學(xué)開展單元教學(xué)的實(shí)踐研究一直沒有停止．2014年《初中數(shù)學(xué)“自學(xué)·議論·引導(dǎo)”教學(xué)35年探索實(shí)踐》獲得首屆國家基礎(chǔ)教學(xué)成果一等獎(jiǎng)，在中國教育學(xué)會中學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)委員會的關(guān)心和支持下，已在全國多地開展了四期“自學(xué)·議論·引導(dǎo)”教學(xué)法研修推廣活動(dòng)，來自全國各地的實(shí)驗(yàn)區(qū)、實(shí)驗(yàn)教師積極投身“自學(xué)·議論·引導(dǎo)”教學(xué)法的實(shí)踐研究，特別是開展初中數(shù)學(xué)單元教學(xué)的實(shí)踐，取得了很多研究成果，豐富了“自學(xué)·議論·引導(dǎo)”教學(xué)課例的覆蓋面．然而，也有少數(shù)實(shí)驗(yàn)教師對單元教學(xué)的單元?jiǎng)澐诌€存在著理解不深的情形，比如，將單元教學(xué)課上成“壓縮餅干”課“走馬觀花”課，影響了課堂教學(xué)品質(zhì)的提升．筆者以人教版教材第21章“一元二次方程”為例，從“用教材教”的角度對全章進(jìn)行單元?jiǎng)澐郑⒔o出教學(xué)建議，供大家討論．

2 “一元二次方程”全章學(xué)習(xí)目標(biāo)及邏輯結(jié)構(gòu)

2.1 學(xué)習(xí)目標(biāo)

（1）了解一元二次方程及相關(guān)概念，能熟練地將一元二次方程整理、變形為一般形式ax2+bx+c=0（a，b，c為常數(shù)，且a≠0）．

（2）理解直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法及其相互聯(lián)系，并能根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選取不同方法解一元二次方程（主要是數(shù)字系數(shù)的一元二次方程）．

（3）會用一元二次方程根的判別式判定方程是否有實(shí)根和兩個(gè)實(shí)根是否相等．

（4）了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，并能初步運(yùn)用．

（5）能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出一元二次方程，并利用一元二次方程模型解決簡單的實(shí)際問題，能根據(jù)具體問題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)方程的解是否合理．

2.2 理清知識的邏輯結(jié)構(gòu)，建構(gòu)知識結(jié)構(gòu)圖

本章的邏輯結(jié)構(gòu)圖擬分為兩幅研究，分別是一元二次方程的概念及相關(guān)概念（見圖1）、一元二次方程的解法與建構(gòu)運(yùn)用（見圖2）．

圖1

圖2

3 劃分“一元二次方程”的“教學(xué)單元”

我們根據(jù)“先見森林，后見樹木”的方式，將“一元二次方程”全章分為四個(gè)單元．

第一單元：一元一次方程的定義及相關(guān)概念，探求降次求解的路徑，初步了解四種方法及相互關(guān)系．

例如，可類比一元一次方程的知識，遷移、調(diào)整，生成一元二次方程概念（定義，一般式，解的定義）；明確了解一元二次方程的方向，是將原方程有根有據(jù)地逐步變形為一元一次方程“x=a”后，給出數(shù)學(xué)情境，依次研究4個(gè)一元二次方程：（1）x2-4=0；（2）x2-2x=0；（3）x2-2x-15=0；（4）ax2+bx+c=0（a≠0）．

探究：用配方法解一般形式的一元二次方程，得到利用系數(shù)表示根的公式（公式法）．

目的：建立解一元一次方程的基本思想、具體方法和理論依據(jù)的知識體系框架，激發(fā)自主探索學(xué)習(xí)的意識、興趣，培養(yǎng)自我獲取、構(gòu)建、發(fā)展、超越的精神和能力．

第二單元：理解一元二次方程四種解法的理論依據(jù)和操作時(shí)的注意點(diǎn)，正確、靈活地選用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠蹋?/p>

重點(diǎn)、難點(diǎn)：用配方法解一元二次方程．

可滲透運(yùn)用配方法將二次三項(xiàng)式恒等變形為a（x+m）2+n的形式，有利于以后研究二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．

第三單元：一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系．

從一元二次方程的求根公式出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注根的判別式，并由兩根的系數(shù)的特點(diǎn)，得出根與系數(shù)的關(guān)系．本單元的知識結(jié)構(gòu)如圖3所示，可作為板書設(shè)計(jì)．

圖3

第四單元：一元二次方程與實(shí)際問題．

選擇典型實(shí)際問題，重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生列方程（建模），然后解方程，最后要注意檢驗(yàn)方程的解是否符合實(shí)際．本單元的知識結(jié)構(gòu)如圖4所示．

圖4

4 關(guān)于劃分教學(xué)單元的一些建議

4.1 理解教學(xué)內(nèi)容是劃分教學(xué)單元的前提

深刻理解教學(xué)內(nèi)容，深入研讀教材、教參，是精準(zhǔn)劃分教學(xué)內(nèi)容的前提［1］．上文中以一元二次方程全章的單元?jiǎng)澐譃槔壤砬迦碌膶W(xué)習(xí)目標(biāo)、知識結(jié)構(gòu)圖，然后劃分為四個(gè)教學(xué)單元．值得一說的是，第一單元從一元二次方程的定義出發(fā)，研究了一元二次方程相關(guān)概念之后，就用幾個(gè)具體的一元二次方程得出幾種解法，但并沒有深入研究解法及其之間的關(guān)系，也沒有將配方法“推向一般”，這樣的教學(xué)單元?jiǎng)澐值囊罁?jù)是“先見森林，再見樹木”，為第二單元全面研究一元二次方程的解法提供了必要的“數(shù)學(xué)情境”（學(xué)生已知道了一些不同的“降次”解法）．第三單元主題關(guān)注一元二次方程根的判別式，就選擇從上一單元積累下來的“求根公式”出發(fā)，研究“根的判別式”并定義符號Δ，然后研究根與系數(shù)的關(guān)系．這個(gè)單元的內(nèi)容比較重要，帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)深悟透之后，有利于將來從二次函數(shù)視角繼續(xù)認(rèn)識它們的價(jià)值．

4.2 理解班情學(xué)情是確定單元課時(shí)的關(guān)鍵

基于教學(xué)內(nèi)容劃分教學(xué)單元之后，需要結(jié)合班情學(xué)情確定每個(gè)教學(xué)單元內(nèi)的課時(shí)數(shù)．還以一元二次方程為例，第一教學(xué)單元是研究一元二次方程的定義、相關(guān)概念，對于解法，只是初步接觸并不是全面系統(tǒng)研究，所以這個(gè)教學(xué)單元只需1個(gè)課時(shí)即可，不必增加習(xí)題課，如果增設(shè)習(xí)題課，就會出現(xiàn)一元二次方程的解法習(xí)題，而解法訓(xùn)練是第二單元的學(xué)習(xí)目標(biāo)．到了第二教學(xué)單元，則需要結(jié)合學(xué)情相機(jī)確定教學(xué)課時(shí)，如果班級學(xué)情較好，則安排1節(jié)習(xí)題課（訓(xùn)練學(xué)生一元二次方程的解法），如果班級學(xué)情一般，則需要2~3節(jié)習(xí)題課組織學(xué)生訓(xùn)練解法，達(dá)到解答正確、熟練、快速的教學(xué)目標(biāo)．第三教學(xué)單元“根的判別式”“根與系數(shù)關(guān)系”也需要2～3節(jié)習(xí)題課，因?yàn)橛幸恍┖瑓⒌姆匠虇栴}值得訓(xùn)練和講評．在第四教學(xué)單元帶領(lǐng)研究實(shí)際問題與一元二次方程，重點(diǎn)是分析等量關(guān)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型(一元二次方程)，然后求出方程的解，并回代入實(shí)際問題檢驗(yàn)．在這個(gè)教學(xué)單元中，如果班情學(xué)情較好，則理解和分析等量關(guān)系可能會順暢一點(diǎn)，需要2個(gè)課時(shí)左右即可，如果學(xué)生對實(shí)際問題的理解不快，則可能要增加2個(gè)課時(shí)進(jìn)行變式再練．

4.3 劃分教學(xué)單元后需要精心選編例習(xí)題

基于“學(xué)材再建構(gòu)”劃分教學(xué)單元之后，常常與教材上的內(nèi)容(知識和習(xí)題)呈現(xiàn)的順序不同，這也是從“照本宣科”走向“用教材教”的專業(yè)追求．我們認(rèn)為，針對劃分教學(xué)單元的內(nèi)容和教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)，由于每個(gè)教學(xué)單元的第1課時(shí)側(cè)重的是知識探究與生成[2]，所以例題、習(xí)題的教學(xué)時(shí)間相對較少，有時(shí)甚至沒有安排例例題、習(xí)題的教學(xué)環(huán)節(jié)，在后續(xù)跟進(jìn)的習(xí)題課中，教師要精心選編例、習(xí)題進(jìn)行訓(xùn)練．以上文中提到的一元二次方程的第三個(gè)教學(xué)單元為例，一元二次方程的根的判別式、根與系數(shù)關(guān)系的習(xí)題訓(xùn)練非常關(guān)鍵，而教材上這方面的習(xí)題量并不充足，需要教師改編和原創(chuàng)，有時(shí)甚至要到二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸公共點(diǎn)的綜合題中尋找相應(yīng)題源進(jìn)行改編，以便讓學(xué)生對根的判別式、根與系數(shù)關(guān)系的相關(guān)習(xí)題達(dá)到較為熟練的運(yùn)算或變形能力，為日后學(xué)習(xí)或理解函數(shù)問題儲備必要的運(yùn)算技能．此外，關(guān)于選編例題、習(xí)題的另一個(gè)建議是，要盡可能讓“習(xí)題”走向“問題”，一節(jié)課中使用20道左右習(xí)題的“導(dǎo)學(xué)案”其實(shí)是習(xí)題匯編，并不是教學(xué)設(shè)計(jì)，好的教學(xué)設(shè)計(jì)中的一節(jié)課的題組最多4個(gè)，每個(gè)題組下面可以預(yù)設(shè)3～6個(gè)系列問題，帶領(lǐng)學(xué)生把這個(gè)題組學(xué)深、學(xué)透．可見，在開展單元教學(xué)的習(xí)題課教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，對教師命題基本功也提出了較高的要求．

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