包文濤

(福建省南平第一中學(xué))

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn),“由不等式恒成立求解參數(shù)范圍”又是函數(shù)的熱點(diǎn)問題,這類問題在實(shí)際求解中,大部分是通過對整體進(jìn)行含參討論,進(jìn)而求解參數(shù)范圍.在實(shí)際教學(xué)中,筆者發(fā)現(xiàn),有部分學(xué)生無法掌握含參討論的方法.如果對該問題進(jìn)行參變分離求解函數(shù)確界,會(huì)出現(xiàn)“0比0”這類高中生無法求解的情況.于是,筆者提出了兩種方法,引導(dǎo)學(xué)生在高中的知識(shí)體系下合理應(yīng)用高等數(shù)學(xué)中的洛必達(dá)法則解決問題.

1 題型舉例

例1 設(shè)函數(shù)f(x)＝x(ex－1)－ax2.若當(dāng)x＞0時(shí),f(x)≥0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

2 參考答案的求解過程

f(x)＝x(ex－1)－ax2＝x(ex－1－ax).

令g(x)＝ex－1－ax,則g′(x)＝ex－a.

若a≤1,則當(dāng)x∈(0,＋∞)時(shí),g′(x)＞0,g(x)為增函數(shù),而g(0)＝0,從而當(dāng)x≥0時(shí),g(x)≥0,即f(x)≥0.

若a＞1,則當(dāng)x∈(0,lna)時(shí),g′(x)＜0,g(x)為減函數(shù),而g(0)＝0,則當(dāng)x∈(0,lna)時(shí),g(x)＜0,即f(x)＜0.

綜上,a的取值范圍是(－∞,1].

3 參變分離求解的情形分析

4 高等數(shù)學(xué)中的洛必達(dá)法則進(jìn)一步求解

5 在高中知識(shí)體系下的轉(zhuǎn)換方法

5.1 在高中知識(shí)體系下轉(zhuǎn)換方法1

在高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)這一章中,第一節(jié)就介紹了極限的概念,并由此引出導(dǎo)數(shù).因此,雖然此類題型在高中生的視角下無法直接使用洛必達(dá)法則求解,但可以通過極限,將其轉(zhuǎn)換為導(dǎo)數(shù)的定義,進(jìn)而繞過洛必達(dá)法則,解決此類題型,具體過程如下.

5.2 在高中知識(shí)體系下的轉(zhuǎn)換方法2

筆者在實(shí)際教學(xué)中發(fā)現(xiàn),對于基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生來說,導(dǎo)數(shù)的定義相對較為陌生,并不能很好地應(yīng)用方法1進(jìn)行求解.針對此類學(xué)生,筆者提出了方法2,供其參考.方法2的思路在于“先猜后證”.

6 應(yīng)用舉例

7 小結(jié)

在解決該類問題的傳統(tǒng)方法中,含參討論是解題的難點(diǎn).本文采用兩種方法,使得該類問題能夠通過參變分離進(jìn)行解決.

方法2通過“先猜后證”的形式,求出參變分離后新函數(shù)的確界,進(jìn)而解決該類問題.實(shí)踐表明,這種處理方式,更適合基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生.

兩種方法都能將高等數(shù)學(xué)中的洛必達(dá)法則延伸到高中數(shù)學(xué)中使用.在平時(shí)的學(xué)習(xí)中,學(xué)生可以在標(biāo)準(zhǔn)答案外,擴(kuò)展、延伸這兩種方法,依據(jù)自身理解,在具體解題中選擇適合自己的方法.