王雪芹 王慧興

(1.北京師范大學(xué)第二附屬中學(xué) 2.清華大學(xué)附屬中學(xué))

高校強(qiáng)基計(jì)劃?？荚囶}與高考試題突出互補(bǔ)性,本文基于這種互補(bǔ)性構(gòu)建“集合與函數(shù)”學(xué)習(xí)輔導(dǎo).

1 知識(shí)與技能

1.1 集合

表1

1.2 常用邏輯

表2

1.3 函數(shù)

表3

2 要點(diǎn)解析

2.1 反證法

準(zhǔn)確提出反證假設(shè),由之出發(fā),經(jīng)邏輯推理,揭示出矛盾,得出反證假設(shè)不成立,從而肯定欲證命題成立.反證法是間接論證命題的一種方法,其本質(zhì)是證明“原命題的否定”不成立,或論證其“逆否命題”成立；提出反證假設(shè),融入已知,相當(dāng)于增加一個(gè)條件,再進(jìn)行推理,目標(biāo)是構(gòu)建矛盾.

2.2 集合運(yùn)算關(guān)聯(lián)性質(zhì)

設(shè)U為全集,集合A,B,C?U,記集合X(X?U)的補(bǔ)集為ˉX＝?UX.

2.3 差集與對(duì)稱差

(1)差集:AB＝{x|x∈A,x?B}.

(2)對(duì)稱差:AΔB＝(AB)∪(BA)＝(A∪B)(A∩B).

(3)A∩B＝A(AB)；通常A(AB)?B,特別地,當(dāng)B?A時(shí),有A(AB)＝B.

(4)記有限集合X的元素個(gè)數(shù)為|X|,則對(duì)有限集合A,B,有|A∪B|＝|A|＋|B|－|A∩B|,特別地,當(dāng)A∩B＝?時(shí),有

(5)若非空有限集合A,B滿足|A∩B|＝1,則|A|＋|B|≥3.

2.4 集合之間定義加法、減法、乘法等新運(yùn)算

(1)加法:A＋B＝{a＋b|a∈A,b∈B}.

(2)減法:A－B＝{a－b|a∈A,b∈B}.

(3)數(shù)乘:kA＝{ka|a∈A}.

(4)乘法:A·B＝{ab|a∈A,b∈B}.

(5)笛卡爾積:A×B＝{(a,b)|a∈A,b∈B},坐標(biāo)平面點(diǎn)集R2＝{(x,y)|x,y∈R}.

2.5 集合劃分與加法原理

(1)集合劃分:如果集合S的一組兩兩交集都是空集的非空子集A1,A2,…,An,滿足A1∪A2∪…∪An＝S,則稱子集組{A1,A2,…,An}構(gòu)成集合S的一個(gè)n-劃分；對(duì)任意一子集A?S,都有

A＝(A∩A1)∪(A∩A2)∪…∪(A∩An).

加法原理:對(duì)有限集合S的任意一n-劃分{A1,A2,…,An},都有|S|＝|A1|＋|A2|＋…＋|An|.

(2)容斥計(jì)數(shù)原理:對(duì)任意一組有限子集A1,

2.6 子集極值

(3)子集極值有兩類問題,其一是滿足某種條件的子集中元素個(gè)數(shù)最多或最少的問題,其二是滿足某種條件的子集組中子集個(gè)數(shù)最多或最少的問題.

2.7 函數(shù)圖像

函數(shù)圖像提供直觀想象情境,函數(shù)y＝f(x)(x∈D)的圖像是指點(diǎn)集Ff＝{(x,f(x))|x∈D}在坐標(biāo)系中的可視化表現(xiàn),通常是一條曲線,或一個(gè)點(diǎn)列.其基本特征:任意一垂直于x軸的直線至多與這條曲線有一個(gè)公共點(diǎn),要把握各種典型函數(shù)的圖像.

2.8 數(shù)形結(jié)合

基于圖像建立不等式是不等式證明與多元最值探究的一項(xiàng)基本技能,也是學(xué)以致用的根本要求.例如,基于函數(shù)y＝sinx圖像,可以建立如下不等式:

2.9 典型函數(shù)

我們?cè)诔醯群瘮?shù)中提出典型函數(shù)概念,它由基本初等函數(shù)建構(gòu),分為兩個(gè)層次,把不需要借助導(dǎo)數(shù)工具就能理解性質(zhì)與作圖的一些初等函數(shù)稱為第一類典型函數(shù),而把需要應(yīng)用導(dǎo)函數(shù)才能分析性質(zhì)與作圖的一些初等函數(shù)稱為第二類典型函數(shù),第一類典型函數(shù)分為如下五條主線,如表4所示.

表4

2.10 映射抽象

設(shè)函數(shù)y＝f(x)(x∈D)的值域記作M,從定義域到值域上的映射f:D→M,當(dāng)這個(gè)映射是雙射時(shí),就有逆映射f－1:M→D,由此定義反函數(shù)y＝f－1(x)(x∈M).

表5

2.11 復(fù)合與迭代

表6

2.12 函數(shù)方程

(1)函數(shù)方程及其解法

表7

(2)柯西方程

表8

要完整掌握柯西方程,從高校自主招生試題與強(qiáng)基計(jì)劃?？汲霈F(xiàn)過的函數(shù)方程題目來看,強(qiáng)基命題十分重視柯西方程這個(gè)基本模型.這不僅是因?yàn)楹瘮?shù)方程是函數(shù)分析路徑的頂端,即“基本初等函數(shù)→初等函數(shù)→抽象函數(shù)→函數(shù)方程→微積分方法→微分方程→……”,另一個(gè)重要原因是通過求解函數(shù)方程能深刻地培育學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析與數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)素養(yǎng).因此,同學(xué)們要注重歷練函數(shù)方程求解,尤其是柯西方程及其變式.

(3)柯西方程變式

表9

3 典例精析

3.1 集合

圖1

3.2 邏輯用語

3.3 代數(shù)式靈活變形

代數(shù)式靈活變形既表現(xiàn)在恒等變形又表現(xiàn)在合理放縮,向著目標(biāo)調(diào)結(jié)構(gòu).

例6 (清華大學(xué))已知實(shí)數(shù)a,b滿足a3＋b3＋3ab＝1,其中a＋b取值的集合為M,則( ).

A.M是單元素集

B.M為有限集,但不是單元素集

C.M是無限集,且有下界

D.M是無限集,且無下界

3.4特型方程求解

3.5 定義與三要素

函數(shù)的三要素是理解函數(shù)、分析函數(shù)的性質(zhì)、論證函數(shù)問題的基礎(chǔ),在各種變式情境中都要準(zhǔn)確理解函數(shù)三要素.

所以A?B＝AΔB＝(－ ∞,－3]∪[0,1)∪(3,＋∞).

3.6 映射與反函數(shù)

高校強(qiáng)基計(jì)劃?？荚囶}提示我們,對(duì)函數(shù)學(xué)習(xí)的要求務(wù)必上升到映射觀點(diǎn)理解函數(shù),清晰理解反函數(shù)概念及其雙射基礎(chǔ),能夠以互為逆映射理解對(duì)數(shù)恒等式與反三角恒等式,培育抽象素養(yǎng).

因?yàn)閒(x)＝3x－3－x是奇函數(shù),所以f－1(x)也是奇函數(shù),從而f－1(4)＋f－1(－4)＝0,故gmax(x)＋gmin(x)＝2.

3.7 函數(shù)分析路徑

強(qiáng)基計(jì)劃?？荚囶}注重函數(shù)分析,取定一個(gè)較復(fù)雜的初等函數(shù),以不定項(xiàng)選擇題型引領(lǐng)學(xué)生分析其性質(zhì),試題表現(xiàn)函數(shù)分析基本路徑是三要素→基本性質(zhì)(對(duì)稱、單調(diào)、周期)→凹凸性→數(shù)形結(jié)合,建立函數(shù)不等式等.

由①③可知,?x∈R,都有f(x)＝f(1－x)＝－f(2a－1＋x)＝－f(2－2a－x)＝f(4a－2＋x),

故函數(shù)y＝f(x)是周期函數(shù),周期T＝4a－2≠0,且

3.8 典型函數(shù)

強(qiáng)基計(jì)劃?？济}十分注重以典型函數(shù)及其變式立意試題,既檢測代數(shù)變形能力與數(shù)學(xué)直觀,又檢測函數(shù)分析方法.

圖2

圖3