張永剛 趙洪柱

(山東省淄博市臨淄中學)

放縮法是處理導數(shù)背景下不等式問題的重要方法,通過放縮可將超越式化為一次或二次式,從而大大簡化問題的求解過程.本文通過對典型問題進行解答分析,詳細闡述應用放縮法的三個要素,即放縮工具、放縮方向、放縮程度.

1 例題呈現(xiàn)

此類問題中所涉及的函數(shù)主要是高中數(shù)學中所學的幾類基本初等函數(shù)(即指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、冪函數(shù)).證明此類問題較簡捷的方法是放縮法.放縮的工具主要與這幾個函數(shù)的概念、性質(zhì)或二級結(jié)論相關.

2 策略應用

在應用這些不等式解題時,要先證明再應用,這些結(jié)論的證明較為簡單,可構(gòu)造函數(shù),利用導數(shù)求函數(shù)的最值,如例2.

對于這些不等式,學生應要熟練記憶并靈活應用.

2.2 確定放縮方向

從上述放縮工具來看,即有“≥”也有“≤”,要選哪一種放縮方向,要視具體問題而定,例1欲證的不等式為xlnx－ex－cosx＋1＜0,所以需要將不等式左側(cè)的函數(shù)放大,即采用“≤”的形式.

思路1 例1中x∈(0,＋∞),對于ex來說,可采用二次式放縮,如ex≥x2＋1(x≥0),進而證明不等式①,可轉(zhuǎn)化為證明

那么lnx如何放縮? 因為ex已經(jīng)放縮為二次式,若利用lnx≤x－1(x＞0)進行放縮,則xlnx也變換為關于x的二次式,進而將函數(shù)形式進一步統(tǒng)一.

因此,式②進一步可轉(zhuǎn)化為x(x－1)－x2－cosx＝－x－cosx＜0.令g(x)＝－x－cosx,則g′(x)＝－1＋sinx≤0,因為x＞0,所以g(x)＜g(0)＝－1,所以－x－cosx＜0,進而可得原不等式成立.

2.3 明確放縮程度

要將不等式放縮到何種程度,是問題能否順利求解的關鍵.從上面的放縮不等式來看,以ex為例,放縮后既有一次式,也有二次式,在具體問題的求解中選擇不同的放縮工具,放縮程度是不同的.當所給自變量的范圍較小時,例如當x∈(0,1)時,采用ex≥x＋1,有e＞2,e與2較為接近,但當x∈(0,＋∞)時,ex與x＋1差距較大.

例1也可同時對指數(shù)式和三角函數(shù)式進行放縮,但要把握好放縮的程度.例如sinx與x,若x∈(0,1),則sin1與1較為接近,此時可考慮采用sinx≤x進行放縮；若x趨近于正無窮,而sinx∈[－1,1],二者差距較大,此時可考慮利用三角函數(shù)的值域進行放縮.

3 小結(jié)

總之,與導數(shù)有關的不等式證明問題,雖然綜合性強,但并非無規(guī)律可循,只要我們明確放縮的工具,弄清放縮的方向,準確把握放縮的程度,即可以不變應萬變.