曾 塬 劉 昆 魏靜波

中山大學(xué)航空航天學(xué)院，廣州 510275

0 引言

航天器活動(dòng)部件中飛輪是姿態(tài)控制的常用動(dòng)力部件，也是航天器微振動(dòng)的主要產(chǎn)生源，微振動(dòng)會(huì)對(duì)航天器的成像質(zhì)量和指向精度等關(guān)鍵性能產(chǎn)生較大影響，磁懸浮飛輪因具有無(wú)摩擦、阻尼可調(diào)以及可進(jìn)行主動(dòng)振動(dòng)控制等優(yōu)點(diǎn)越來(lái)越受到學(xué)者的關(guān)注，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)飛輪的振動(dòng)機(jī)理及動(dòng)力學(xué)建模進(jìn)行了研究并取得了一系列成果[1-4]。

磁懸浮飛輪轉(zhuǎn)子在加工制造時(shí)可以進(jìn)行動(dòng)平衡調(diào)整，但是不平衡質(zhì)量仍然無(wú)法全部消除，因此飛輪轉(zhuǎn)子在高速旋轉(zhuǎn)時(shí)會(huì)產(chǎn)生不平衡振動(dòng)，同時(shí)由于加工及材質(zhì)不均的影響，磁懸浮軸承中位移傳感器測(cè)量時(shí)會(huì)產(chǎn)生同頻及倍頻振動(dòng)[5]。劉彬等[6]提出一種開環(huán)軸承力補(bǔ)償?shù)拇艖腋★w輪不平衡振動(dòng)控制方法，該方法通過(guò)補(bǔ)償位移剛度力達(dá)到控制不平衡振動(dòng)力。魏彤等[7]提出一種位移剛度力超前前饋補(bǔ)償?shù)目刂品椒?，消除同頻電流后，再采用前饋對(duì)同頻位移剛度力進(jìn)行補(bǔ)償；以上都是采用消除同頻電流補(bǔ)償位移剛度力進(jìn)行振動(dòng)力的控制，而直接以振動(dòng)力或者力矩為控制目標(biāo)的研究較少。崔培玲[8]等通過(guò)相移陷波器在全頻內(nèi)對(duì)不平衡振動(dòng)產(chǎn)生的振動(dòng)力進(jìn)行了抑制研究。劉強(qiáng)[9]等將不平衡振動(dòng)產(chǎn)生的約束力和慣性軸與幾何軸不重合引起的離心力進(jìn)行前饋，有效抑制了不平衡振動(dòng)產(chǎn)生的徑向振動(dòng)。彭聰?shù)萚10]提出一種二階陷波器控制方法，即在高低不同速度時(shí)采用陷波器交叉進(jìn)行同頻振動(dòng)控制，取得較好的同頻電流振動(dòng)力控制效果，并對(duì)頻率變化的同頻振動(dòng)力的抑制進(jìn)行了研究[11]，但研究對(duì)象僅為質(zhì)量不平衡產(chǎn)生的同頻振動(dòng)力，沒(méi)有同時(shí)考慮除位移傳感器等干擾產(chǎn)生的倍頻振動(dòng)力。

崔培玲等[2,12]主要采用重復(fù)控制方法，對(duì)磁懸浮飛輪系統(tǒng)同頻及倍頻電流進(jìn)行了控制研究。通過(guò)電流控制了磁懸浮飛輪的微振動(dòng)，沒(méi)有抑制位移剛度力，且采用的重復(fù)控制方法因計(jì)算量大，收斂速度受到一定限制。

本文提出一種復(fù)合陷波器控制方法，通過(guò)直接構(gòu)造同頻振動(dòng)力，控制由質(zhì)量不平衡及傳感器干擾產(chǎn)生的同頻振動(dòng)力，同時(shí)為提高控制精度，基于級(jí)聯(lián)陷波器對(duì)傳感器干擾產(chǎn)生的倍頻電磁力進(jìn)行抑制，達(dá)到抑制不平衡及傳感器干擾產(chǎn)生振動(dòng)力的目的。仿真研究驗(yàn)證了該復(fù)合控制方法的有效性。

1 磁懸浮飛輪干擾系統(tǒng)建模及分析

磁懸浮飛輪模型如圖1所示，該飛輪為兩自由度主動(dòng)磁軸承，圖中三自由度通過(guò)永磁體磁力進(jìn)行被動(dòng)穩(wěn)定，飛輪轉(zhuǎn)子繞飛輪定子旋轉(zhuǎn)，本文主要研究?jī)蓮较蜃杂啥鹊闹鲃?dòng)控制[13]。

圖1 兩自由度主動(dòng)磁懸浮飛輪

根據(jù)牛頓第二定律，兩徑向自由度運(yùn)動(dòng)方程可表示為：

(1)

其中m為轉(zhuǎn)子質(zhì)量，F(xiàn)cx為x方向合力，F(xiàn)cy為y方向合力。考慮到x方向和y方向的對(duì)稱性，為研究方便，以x方向?yàn)槔M(jìn)行分析；對(duì)磁懸浮系統(tǒng)中電磁力在平衡點(diǎn)進(jìn)行線性化，并考慮不平衡質(zhì)量振動(dòng)時(shí)，動(dòng)力學(xué)方向如下：

(2)

其中，Kh和Ki分別表示位移剛度系數(shù)和電流剛度系數(shù)，其中fd為不平衡力，Ω為轉(zhuǎn)速，e為不平衡參數(shù)，φ為初始角，則fd可表示為

fd=meΩ2cos(Ω+φ)

(3)

而位移傳感器干擾可以表示如下[14]

(4)

其中n為諧波階次，esr為傳感器干擾系數(shù)，θ為初始角。

根據(jù)動(dòng)力學(xué)方程系統(tǒng)的控制框圖如圖2所示

圖2 x方向控制框圖

根據(jù)控制框圖，分別以Fd(s)和Xsr(s)為輸入，F(xiàn)(s)為輸出求出其傳遞函數(shù)為：

F(s)=Gd(s)·Fd(s)+Gsr(s)·Xsr(s)=
S(s)[(KhGp(s)-KadKsKiGw(s)Gc(s)Gp(s))Fd-
KadKiKsGw(s)Gc(s)Xsr1(s)]-
S(s)KadKiKsGw(s)Gc(s)Xsr2(s)

(5)

則振動(dòng)力可以表示為同頻量Fs(s)和倍頻量Fm(s)之和

F(s)=Fs(s)+Fm(s)

(6)

Fs(s)=S(s)[(KhGp(s)-
KadKsKiGw(s)Gc(s)Gp(s))Fd-
KadKiKsGw(s)Gc(s)Xsr1(s)]

(7)

Fm(s)=-S(s)KadKiKsGw(s)Gc(s)Xsr2(s)

(8)

其中S(s)為

(9)

Xsr1和Xsr2分別表示傳感器干擾的同頻和倍頻量，通過(guò)式(7)和式(8)可知，不平衡質(zhì)量只產(chǎn)生同頻振動(dòng)力，即電流剛度力和位移剛度力，而位移傳感器既可以產(chǎn)生同頻力又可以產(chǎn)生倍頻力，其主要通過(guò)傳感器反饋進(jìn)入系統(tǒng)，進(jìn)入控制器產(chǎn)生電流剛度力。

2 磁懸浮飛輪干擾系統(tǒng)建模及分析

2.1 基于復(fù)合陷波器的抑制原理

為抑制同頻力，以同頻力為輸入，通過(guò)陷波器將同頻振動(dòng)力負(fù)反饋至控制器，達(dá)到抑制同頻振動(dòng)力的目的，同時(shí)設(shè)計(jì)級(jí)聯(lián)陷波器串聯(lián)在控制器處，從而抑制傳感器干擾產(chǎn)生的倍頻電流剛度振動(dòng)力，進(jìn)一步抑制微振動(dòng)力，提高抑制精度；復(fù)合陷波器控制框圖如圖3虛線所示。

圖3 復(fù)合陷波器控制框圖

其中，D(s)為同頻等效干擾力，可表示為

D(s)=Fd(s)-Xer1KadKsKiGc(s)Gw(s)/
[(1-Gp(s)Kh]

Nf(s)為同頻濾波器，將構(gòu)造的電磁力同頻量進(jìn)行濾波增益ε1倍后負(fù)反饋至控制器，構(gòu)成同頻陷波器[15]，其傳遞函數(shù)可表示為

(10)

其中TR和TJ為加權(quán)矩陣參數(shù)，用來(lái)確保閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定。

控制框圖中Gn(s)為級(jí)聯(lián)陷波器，其由n個(gè)倍頻濾波器負(fù)反饋至回路后進(jìn)行串聯(lián)連接，從而進(jìn)行多頻電流電磁力的抑制。

Gn(s)的傳遞函數(shù)可表示為

(11)

其中TR2TJ2…TRnTJn分別表示各階次選擇器的加權(quán)矩陣參數(shù)，用來(lái)確保閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定。

根據(jù)控制框圖，記GB(s)=Gc(s)Gw(s)Ki，分別以D(s)和Xsr2(s)中為輸入，F(xiàn)(s)為輸出求出其傳遞函數(shù)為：

(12)

根據(jù)式(10)可知

以Xsr2(s)為輸入，F(xiàn)(s)為輸出求出其傳遞函數(shù)為：

(13)

根據(jù)式(11)可知:

(14)

通過(guò)上述分析可知，復(fù)合陷波器可以完全抑制不平衡及傳感器干擾產(chǎn)生的微振動(dòng)力。

2.2 復(fù)合陷波器的設(shè)計(jì)及分析

根據(jù)實(shí)驗(yàn)室飛輪的振動(dòng)頻譜分析結(jié)果可知，該實(shí)驗(yàn)對(duì)象主要存在同頻及5倍頻的振動(dòng)，因此在下述復(fù)合陷波器的設(shè)計(jì)中，Gn(s)以5倍頻為例進(jìn)行設(shè)計(jì)及分析。

2.2.1 多頻陷波器Gn(s)的設(shè)計(jì)

為設(shè)計(jì)方便，采取分步法進(jìn)行復(fù)合陷波器的設(shè)計(jì)，即設(shè)計(jì)Gn(s)時(shí)暫不考慮同頻陷波Nf(s)，加入Gn(s)陷波器后，則系統(tǒng)以倍頻量Xsr2(s)為輸入，F(xiàn)(s)為輸出，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為

(15)

上式可改寫為

(16)

其中

(17)

(18)

(19)

由上式可知，當(dāng)ε5=0時(shí)，s=±5Ωj為該特征方程的根，為使系統(tǒng)穩(wěn)定，其特征根分布在左半平面，以ε5為自變量對(duì)s求偏導(dǎo)得

(20)

其幅角滿足如下條件，則可以使其特征根分布在左半平面

(21)

即TR5,TJ5滿足如下不等式時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定：

(22)

2.2.2 同頻陷波器Nf的設(shè)計(jì)

完成Gn(s)的設(shè)計(jì)后，進(jìn)行同頻陷波器Nf的設(shè)計(jì)，同理將式(12)改寫，得到系統(tǒng)的穩(wěn)定所需特征方程為

s2+Ω2+ε(TRs-ΩTJ)S′(s)=0

(23)

(24)

S′(s)為前述設(shè)計(jì)所得包含Gn(s)的穩(wěn)定系統(tǒng)。

同理根據(jù)根軌跡出射角要求，為使系統(tǒng)穩(wěn)定，TR和TJ須滿足

(25)

3 仿真校驗(yàn)

為校驗(yàn)上述控制方法的抑制效果，采用MATLAB/Simulink進(jìn)行仿真分析研究，飛輪磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的仿真參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 磁懸浮飛輪參數(shù)

根據(jù)表1中轉(zhuǎn)子系統(tǒng)各參數(shù)繪制式(18)的相頻特征曲線如圖4所示，為使得控制系統(tǒng)穩(wěn)定，需滿足式(22)，根據(jù)圖中給出的不同轉(zhuǎn)速時(shí)的相位角變化，為使系統(tǒng)在全頻內(nèi)保持穩(wěn)定，設(shè)定ε5=2,T5R和T5J取值如下

圖4 式(18)相頻特征曲線

(26)

式(24)中S′(s)含有Gn(s)，分別繪制轉(zhuǎn)速Ω=100rad/s，Ω=500rad/s時(shí)S′(s)的幅相頻特征曲線如圖5所示，由其幅頻特征曲線可知，由于Gn(s)的存在，在5倍轉(zhuǎn)速處幅值具有較好的抑制值，其相位角的范圍為(-80°，180°)，為使系統(tǒng)穩(wěn)定,需滿足式(25)，TR和TJ可取如下值:

圖5 不同轉(zhuǎn)速下式(24)幅頻相頻特征曲線

(27)

考慮質(zhì)量不平衡及傳感器干擾，分別在轉(zhuǎn)速209rad/s和628rad/s下進(jìn)行仿真研究。當(dāng)采用TR=-200，TJ=-10時(shí)，轉(zhuǎn)速為628rad/s時(shí)系統(tǒng)失穩(wěn)，說(shuō)明此時(shí)需改變參數(shù)補(bǔ)償其相角；而采用TR=100，TJ=-10后系統(tǒng)穩(wěn)定，補(bǔ)償后仿真系統(tǒng)穩(wěn)定。仿真結(jié)果分別如圖6和圖7所示。按照式(26)參數(shù)進(jìn)行仿真時(shí)，系統(tǒng)在高速仍然可以保持穩(wěn)定，驗(yàn)證了在全頻工作范圍內(nèi)保持系統(tǒng)穩(wěn)定的可行性。

圖6 有無(wú)抑制對(duì)比(轉(zhuǎn)速209rad/s)

圖7 有無(wú)抑制對(duì)比(轉(zhuǎn)速628rad/s)

在未采用主動(dòng)振動(dòng)控制時(shí)，系統(tǒng)振動(dòng)力時(shí)域變化如圖6(a)和圖7(a)，電磁力因質(zhì)量不平衡及傳感器干擾產(chǎn)生較大振動(dòng)，特別是在轉(zhuǎn)速較高時(shí)，振動(dòng)力較大，在轉(zhuǎn)速209rad/s和628rad/s時(shí)，其同頻振動(dòng)力幅值分別達(dá)到13.5N和58N, 電磁力振動(dòng)會(huì)對(duì)磁懸浮飛輪的工作效果產(chǎn)生不利影響。為了抑制振動(dòng)力，采用復(fù)合陷波器進(jìn)行控制，仿真結(jié)果如圖6(b)和圖7(b)所示，同頻振動(dòng)和倍頻振動(dòng)都得到了抑制；從時(shí)域圖可以看出，轉(zhuǎn)速為209rad/s的系統(tǒng)在0.3s時(shí)，其值趨近為0N，轉(zhuǎn)速為628rad/s的系統(tǒng)在0.65s時(shí)，其值也趨近為0N，說(shuō)明干擾產(chǎn)生的振動(dòng)力能很快被完全抑制。

4 結(jié)論

通過(guò)建立磁懸浮飛輪受干擾模型，以振動(dòng)力為研究對(duì)象，分析了同頻及倍頻振動(dòng)力產(chǎn)生的機(jī)理，提出以同頻振動(dòng)力與倍頻電流剛度力復(fù)合控制的微振動(dòng)力控制方法，并在全頻率工作范圍下對(duì)復(fù)合陷波器進(jìn)行了設(shè)計(jì)；采用MATLAB/Simulink仿真校驗(yàn)了轉(zhuǎn)速在209rad/s和628rad/s時(shí)振動(dòng)抑制情況，同頻振動(dòng)和倍頻振動(dòng)的幅值均趨近于0N，研究結(jié)果表明：在采用復(fù)合陷波器控制方法后，不平衡振動(dòng)及傳感器干擾產(chǎn)生的振動(dòng)力得到了有效控制，驗(yàn)證了該方法的有效性；但是當(dāng)系統(tǒng)存在多倍頻率干擾時(shí)，復(fù)合陷波器的設(shè)計(jì)相對(duì)復(fù)雜，因此改進(jìn)抑制多倍頻的方法將是下一步值得研究的問(wèn)題。