桂 亮 佘宇琛 胡存明 丁寰毓

上海航天控制技術研究所，上海 201109

0 引 言

運載火箭的控制器設計是研制過程中非常重要的環(huán)節(jié)，直接關系到火箭的穩(wěn)定和飛行的成敗。在傳統運載火箭研制任務中，控制系統普遍采用PD控制器加校正網絡的設計方式[1]，該方法在過去幾十年的工程實踐中得到了廣泛應用，表現出了良好的可靠性和工程適應能力。但是，PD控制器的設計往往對運載火箭的動力學模型精度以及飛行環(huán)境有著較為嚴苛的要求。隨著運載火箭技術的發(fā)展，其研制流程不斷優(yōu)化，低成本商業(yè)發(fā)射、快速響應發(fā)射等任務需求逐年增加。出于成本和技術上的考慮，未來的運載火箭可能略過模態(tài)試驗等研制流程，并且還要具備不同發(fā)射場、不同氣象條件、不同彈道的冗余發(fā)射能力[2]。以上這些改進必然導致火箭的動力學模型偏差增大，飛行環(huán)節(jié)復雜等不利結果，從而對控制系統的魯棒性提出了更高的要求。在此必然趨勢之下，傳統的PD控制器與校正網絡的組合將難以適應未來的發(fā)射任務，研制更先進控制器的需求日益緊迫。

近年來學者們就運載火箭先進控制器設計的問題展開了深入的研究，提出了多種解決方案。主要的思路集中在對現有增益預置法的改進、針對先進執(zhí)行機構的控制方案設計和變結構控制器設計3個方面。首先，增益預置法本質上可以看成一個多學科建模與尋優(yōu)設計問題[3]。因此對此種方法改進的主要思路包括利用T-S模糊理論提高設計結果的魯棒性[4]、利用進化遺傳算法[5]、神經網絡算法提高尋優(yōu)效率等[6]。其次，在先進執(zhí)行機構的控制方案設計方面，現階段研究主要體現在考慮復雜伺服機構特性的搖擺優(yōu)化控制[7]、基于先進角度傳感器的主動減載技術[8]等。最后，在變結構控制器設計方面，其具體表現為自適應增廣控制[9]、L1自適應補償控制[10]以及滑模便結構控制[11]等?？梢钥闯?，改進增益預置設計算法的難度較大、涉及學科眾多且對控制系統效能提升有限；采用先進執(zhí)行機構的思路對執(zhí)行機構單機、硬件環(huán)境要求較高；而先進控制器設計則更聚焦于控制理論本身，在現有任務環(huán)境下通過引入更先進的控制算法達到更好的控制效果。因此，本文的討論也將聚焦于先進控制器設計層面。

自適應增廣控制(adaptive augmentation control，AAC)是一種較為經典的自適應控制方法。在運載火箭控制領域，NASA在2008年前后進行“星座”計劃論證時，對基于AAC的Arex I重型運載火箭控制技術進行了全面深入的研究。雖然“星座”計劃最終下馬，但是為該計劃論證的重型運載火箭項目得以保留，并轉為今天的太空發(fā)射系統(Space Launch System, SLS)項目。而AAC控制器也將被應用于該型火箭進行飛行驗證。在現階段的設計中，AAC控制器主要由參考模型、頻譜阻尼器和回歸項3部分組成[10]?？刂葡到y在飛行過程中，根據箭體彈性、剛體等特性，通過對上述3部分求加權平均數，最終決定對當前控制器的帶寬進行增強或者減弱[12]。其中，頻譜阻尼器暫時無法從Lyapunov穩(wěn)定的角度對其進行證明，這也為控制系統的安全帶來隱患。另外，由于AAC控制器結構復雜，參數眾多。而在控制器結構確定的情況下，不同的參數選擇也會對系統的安全穩(wěn)定產生決定性的影響[13]。在現階段的研究中，很少有學者從工程實踐的角度出發(fā)，對AAC控制器的全套控制參數進行梳理，并系統地給出每一個參數的設計方法。為此，本文將聚焦于現階段AAC控制器研究的不足，嘗試在假定PD控制器穩(wěn)定的前提下，證明AAC控制器的引入不會破壞PD閉環(huán)系統的穩(wěn)定性；并針對AAC的眾多控制參數，結合工程實際需求給出一套AAC控制器的參數設計方法。

本文的論述主要分為以下幾個部分：第1章主要聚焦于運載火箭動力學分析，證明AAC控制器的引入不會破壞PD閉環(huán)系統的穩(wěn)定性；第2章給出AAC控制器的設計流程和參數計算方法；第3章通過數學仿真的方式驗證本文提出的參數計算方法的有效性；第4章給出結論并對未來工作進行展望。

1 運載火箭動力學模型與穩(wěn)定性分析

運載火箭本身是一個復雜的非線性動力學系統，在控制器設計過程中，一般將其姿態(tài)動力學簡化為一個近似的偏量動力學模型，其基本形式可以在文獻[14]中找到。該模型為一個小偏量線性動力學方程組，為了研究方便，將其進一步寫成如下的矩陣形式：

(1)

其中，X為火箭狀態(tài)向量，包括箭體俯仰角、角速率、彈性模態(tài)廣義位移、液體晃動位移等；A,B分別為n×n,n×m矩陣，其中n為火箭狀態(tài)量個數，m為發(fā)動機個數。u為控制輸入，即各個發(fā)動機的擺動角度。值得注意的是文獻[14]中的動力學模型以俯仰方向為例，但一般運載火箭成軸對稱狀態(tài)，因此俯仰偏航動力學模型的形式基本一致。而滾動通道一般控制能力較強且剛度較高，因此一般采用近似剛體模型對其進行描述。本文的討論主要聚焦與俯仰、偏航通道中AAC控制器的設計，因此暫不考慮滾動通道的動力學模型。在上述簡化動力學模型的基礎之上，傳統的PD加校正網絡控制器所獲得的閉環(huán)動力學系統可以寫成：

(2)

其中，Anet,Bnet,Cnet,Dnet為校正網絡的時域模型，k為PD控制器增益，以上參數均可人為設計。上述動力學系統可以改寫成矩陣形式：

(3)

其中：

(4)

在一般情況下，通過合理的裕度分析，可以尋找到一組控制參數，使得箭體穩(wěn)定。該結論通過Lyapunov穩(wěn)定性表述可以寫成：

(5)

由于PD加校正網絡控制器能夠使箭體穩(wěn)定，因此必然有Lyapunov導數小于0：

(6)

(7)

其中，εmax為當前選定的k所對應的集合K邊界，即k能接受的最大偏差。

圖1 帶有AAC控制器的運載火箭框圖

(8)

其中，kmax為ka限幅值，α,a,β為加權系數，k0為定值，此處取0.7。er為參考模型與真實箭體之間的姿態(tài)角偏差。從上述公式可以看出， AAC控制器是由3個部分共同構成的微分方程的解，將這3個部分分別命名為：參考誤差項、頻譜阻尼項和回歸項。下面對上述公式的3個部分分別進行論述。

1.1 回歸項對系統穩(wěn)定性的影響

將kT表達式集成進入式(3)，則有：

(9)

通過式(6)的結論可知，由于k>0，當|kT-1|≤εmax，則|k·kT-k|=k·|kT-1|≤k·εmax，因此根據式(7)可知：

(10)

在以上結論的基礎上，僅考慮回歸項的情況下，取Lyapunov函數V1=V+0.5kTΛk，其導數為：

(11)

其中Λ為正定系數矩陣，可以根據實際情況選取。

由于已知Λ·β>0，因此必然有(X′TB′X-Λβ)≤X′TB′X<0，則：

(12)

至此，可以證明在k·kT=k′∈K的條件下，回歸項不會影響PD閉環(huán)系統的穩(wěn)定性。

1.2 參考誤差項對系統穩(wěn)定性的影響

參考誤差項的穩(wěn)定性證明可以借鑒傳統的模型基準自適應控制或其他自適應控制方法[9]。首先，定義參考模型為：

(13)

其中，Xm為參考模型狀態(tài)量，uc為姿態(tài)程序角。Am和Bm為n×n,n×m矩陣。注意到Am為負定矩陣，uc為開環(huán)輸入信號，用于求解微分方程特解，因此上述系統必然穩(wěn)定。若參考模型延遲很小、動態(tài)特性良好，應有uc≈Xm。er表達式為：

(14)

(15)

在不加入AAC控制器的情況下，令k∈K，此時k為定值，因此kTΛk導數為0，則根據式(6)的結論有：

(16)

對運載火箭而言，程序角一般大于等于0，因此uc≈Xm≥0?？梢钥闯觯舖ax和δB可正可負。為了確保上式成立，則令εmax=|εmax|sign(δB)。因此上式可以寫成：

(17)

(18)

取Λ=|δB|kmax/a，且已知0<(kmax-ka)≤|εmax|，則必然有：

(19)

至此，可以證明參考誤差項不會影響PD閉環(huán)系統的穩(wěn)定性。

1.3 頻譜阻尼項對系統穩(wěn)定性的影響

針對AAC控制器的頻譜阻尼項，可以采用1.1節(jié)中類似的證明方法分析其對PD控制器穩(wěn)定性的影響。根據式(6)～(7)，有：

(20)

取Lyapunov方程V3=V+0.5kTΛk。根據框圖1以及濾波器的基本工作原理，可以得知ys=DT(o2)≥0，其中DT(·)為低通濾波器算子，o為高通濾波器的輸出信號。所以有：

(21)

至此，已經分別證明在式(7)成立的前提下，AAC控制器的3個部分不會破壞閉環(huán)系統的穩(wěn)定性。該結論是建立在PD閉環(huán)控制器本身未超出裕度范圍k∈K的前提下的。因此，除了AAC控制器的公式以外，對kT的上下限限幅的確定同樣至關重要，應該確保|kT-1|≤εmax的基本條件[11]。

2 自適應增廣控制器設計

AAC控制器參數眾多，且參數之間彼此存在耦合關系。這些參數可以分為4大類，歸納為如表1所示。下面將分別從以下4大類進行論述。

表1 AAC控制器參數匯總

2.1 基本參數設計

基本參數主要包括kT的上下限限幅以及用以計算ka積分所需的參數。通過第1章的結論，可以得知kT的限幅必須滿足|kT-1|≤εmax。因此kt_min,kt_max的值可以定為：

kt_min=1-|εmax|,kt_max=1+|εmax|

(22)

由此可見，整個過程中AAC控制器都將在PD控制器裕度范圍內運行，以確保系統安全。

2.2 參考模型參數設計

參考模型的設計需要借助運載火箭動力學模型。參考模型可以采用剛體運載火箭姿態(tài)動力學傳遞函數[15]：

(23)

對于kmax，則可以基于2.1節(jié)中的結論，用如下公式得到：

kmax=kt_max-k0=kt_max-kt_min

(24)

結合實際任務需求選擇權重系數a。

2.3 頻譜阻尼參數設計

最后，頻譜阻尼項權重系數α的計算需要利用數量級計算的方式進行制定。其基本思路為:當ys達到一定數量級時，Qk≥0應該令頻譜阻尼輸出約等于參考模型輸出，從而降低kT，抑制振動?；谝陨纤悸?，α的值可以通過式(25)獲得。

(25)

其中，S(·)為數量級計算算子，例如S(6.5·10-3)=10-3。

2.4 回歸項參數設計

回歸項權重系數β的確定同樣需要采用數量級計算的思想。由于已知kT在1附近變化，因此kT-1必然在10-1數量級，為了讓回歸項起到穩(wěn)定kT變化的作用，需要讓它的輸出始終與前兩項保持同一數量級，因此有：

(26)

3 仿真校驗

3.1 彈性參數大偏差仿真

為了驗證AAC控制器對彈性參數偏差的應對能力，將采用文獻[15]所述的動力學參數，并根據國外文獻中公開的參數拉偏方式，將火箭的彈性相關參數拉偏40%。用PD控制器和AAC控制器嘗試對該系統進行控制，得到的控制結果如圖2～4所示。從仿真結果可以看出：此種工況下，傳統PD控制器將無法有效控制箭體。但是，AAC控制器可以有效抑制彈性振動，并穩(wěn)定箭體姿態(tài)，體現了AAC控制器的優(yōu)越性。

圖2 彈性參數大偏差下俯仰角偏差曲線

圖3 彈性參數大偏差下偏航角曲線

圖4 彈性參數大偏差下kt變化曲線

3.2 剛體參數大偏差仿真

為了進一步驗證AAC控制器對剛體參數偏差的適應性，將火箭的剛體相關參數拉偏45%。此種工況下PD控制器和AAC控制器的控制對比結果如圖5～7所示。從圖中可以看出，由于剛體偏差很大，導致控制能力不足，因此傳統PD控制器在外界干擾下將直接發(fā)散。而AAC控制器卻可以在此種惡劣情況下實現對火箭的穩(wěn)定控制。

圖5 剛體參數大偏差下俯仰角曲線

圖6 剛體參數大偏差下偏航角曲線

圖7 剛體參數大偏差下kt曲線

4 結 論

本文對AAC控制器的穩(wěn)定性進行了分析，并提出了一種AAC控制器參數設計流程?；跀祵W討論和仿真結果，可以得出以下結論：1)在充分分析PD控制器穩(wěn)定裕度的前提下，加入AAC控制器能達到提高魯棒性且不破壞原有系統穩(wěn)定的效果。2)AAC控制器參數較多，本文提出的參數設計流程可以有效提高參數設計效率。仿真結果證明AAC控制器在剛體穩(wěn)定和彈性抑制2個方面都具備更高的適應能力，有良好的工程應用前景。