孫雪琪 姚雨晗 李 錦

1.北京電子工程總體研究所，北京 100854 2.中國航天科工集團(tuán)第二研究院研究生院，北京 100854

0 引言

在導(dǎo)彈制導(dǎo)過程中，目標(biāo)視線角速率對于大多數(shù)制導(dǎo)律都是重要的輸入信息，因此獲取高精度的視線角速率是十分重要的。常用的視線角速率估計濾波器包括α-β濾波器、α-β-γ濾波器以及卡爾曼濾波器等。

在實際估計過程中，由于導(dǎo)引頭測量所得的視線角信息中有高頻噪聲，會對視線角速率估計產(chǎn)生影響。因此，在使用濾波器估計目標(biāo)角速率時，要求濾波器具有一定的降噪作用。在使用卡爾曼濾波器時，若將量測噪聲的協(xié)方差陣設(shè)置較大，則濾波估計結(jié)果會產(chǎn)生滯后，無法及時跟蹤視線角速率。若將量測噪聲的初始值設(shè)置較小，則噪聲無法消除。而在使用α-β濾波器估計目標(biāo)角速率時，雖然濾波器會濾除目標(biāo)視線角信息中的一部分高頻噪聲，但是該濾波器使用常速率模型，對于機動目標(biāo)的估計失效。α-β-γ濾波器雖然可以估計機動目標(biāo)視線角速率，但是當(dāng)α值較小達(dá)到良好的減噪效果時，最優(yōu)γ值也會減小，從而導(dǎo)致估計值對機動反應(yīng)緩慢。

為了解決上述問題，國內(nèi)外學(xué)者對此開展了研究。Cantrell以及Blackman分別在文獻(xiàn)[1-2]中提出了一種解決方法，即直到探測到目標(biāo)機動之前，將α-β-γ濾波器中α取一個較小的值，通過跟蹤目標(biāo)機動來增加α。該方法導(dǎo)致濾波存在明顯延遲，無法及時跟蹤狀態(tài)量。文獻(xiàn)[3]提出使用兩級α-β-γ濾波器。通過兩級卡爾曼濾波推導(dǎo)出兩級α-β-γ濾波器的估計量，并給出了濾波器參數(shù)的選擇方法。雖然文中提出的濾波器計算量較大，但是文中給出了一種思路，即使用兩級濾波，解決降噪和快速跟蹤目標(biāo)存在矛盾的問題。許多學(xué)者對兩級濾波器進(jìn)行過研究。例如，文獻(xiàn)[4]針對具有先驗信息的不確定線性系統(tǒng)，提出了一種滿足狀態(tài)約束的魯棒兩級卡爾曼濾波器。文獻(xiàn)[5]針對大機動目標(biāo)的跟蹤問題，提出了一種考慮目標(biāo)轉(zhuǎn)彎方向的先進(jìn)循環(huán)預(yù)測兩級估計器。文獻(xiàn)[6]提出了一種基于非零均值目標(biāo)動態(tài)模型的兩級濾波算法，并給出一種改進(jìn)的兩級濾波交互式多模型算法。文獻(xiàn)[7]針對存在隨機偏差時的估計問題，提出將偏差向量作為目標(biāo)加速度來處理，采用兩級卡爾曼估計器跟蹤目標(biāo)。文獻(xiàn)[8]研究了當(dāng)存在未知動態(tài)偏差時，一種次優(yōu)自適應(yīng)兩級卡爾曼濾波器的設(shè)計方法。利用了兩個降階濾波器并行估計目標(biāo)狀態(tài)和動態(tài)偏差。文獻(xiàn)[9]提出了一種基于卡爾曼濾波的機動目標(biāo)自適應(yīng)跟蹤方法，其中自適應(yīng)技術(shù)通過構(gòu)建一個兩級濾波器實現(xiàn)。文獻(xiàn)[10]中提出了一種自適應(yīng)兩級濾波器，并通過仿真發(fā)現(xiàn)其濾波效果比自適應(yīng)擴展卡爾曼濾波和擴展卡爾曼濾波都要好，特別是嚴(yán)重非線性情況時，其效果遠(yuǎn)優(yōu)于另外兩種濾波器。

本文針對一種紅外導(dǎo)引頭對機動目標(biāo)跟蹤的問題，采用兩級濾波的方法，使用一種特殊的α-β濾波器——衰減記憶濾波器和卡爾曼濾波器估計目標(biāo)角速率。在使用卡爾曼濾波器對視線角速率估計之前，先將視線角信息通過一個常速率濾波器，濾除一部分高頻噪聲，之后再將濾波后的估計值作為卡爾曼濾波器的量測值。通過兩級濾波器的作用，有效消除了視線角信息部分的噪聲波，并且可以跟蹤機動目標(biāo)。

1 彈目相對運動建模

定義M為導(dǎo)彈的質(zhì)心，T為目標(biāo)的質(zhì)心。坐標(biāo)系MxLyLzL為視線坐標(biāo)系，坐標(biāo)系Mxyz與發(fā)射慣性系平行。定義彈目距離為r，彈目視線高低角為qε，彈目視線方位角為qβ。

彈目相對位置矢量在視線坐標(biāo)系下表示為r=[r0 0]T。視線坐標(biāo)系MxLyLzL相對于發(fā)射慣性系Mxyz的旋轉(zhuǎn)角速度為

(1)

式中：

由Coriolis定理可知，彈目相對速度和相對加速度在視線坐標(biāo)系下的表示為：

(2)

(3)

將導(dǎo)彈在視線坐標(biāo)系下的加速度記為aML=[aMraMεaM β]T，目標(biāo)在視線坐標(biāo)系下的加速度記為aTL=[aTraTεaTβ]T。代入Δa=aTL-aML，可得彈目相對運動動力學(xué)方程為：

(4)

2 衰減記憶濾波器特性

衰減記憶濾波器相當(dāng)于一種特殊的α-β濾波器，其參數(shù)0≤ξ≤1。且與α-β濾波器參數(shù)之間有如下關(guān)系[11]：

α=1-ζ2

(5)

β=(1-ζ)2

(6)

建立衰減記憶濾波器對視線角qε濾波時的一階模型和二階模型，分別如式(7)～(8)所示，式中：zε(k)為視線角量測值，T為采樣周期。

qε(k)=ξqε(k-1)+(1-ξ)zε(k)

(7)

(8)

對上述方程做Z變換，以二階衰減記憶濾波器為例，得到幅頻特性如圖1所示，可見衰減記憶濾波器對視線角起到了低通濾波器的作用[12]。從圖中也可以看出，對于不同的ξ值，濾波器的帶寬和響應(yīng)速度也有所不同。ξ越大，帶寬越小，響應(yīng)速度越慢，幅值衰減越多。圖2是不同ξ值下的二階衰減記憶濾波器的相頻特性。

圖1 ξ不同時二階濾波器幅頻特性

圖2 ξ不同時二階濾波器伯德圖

在ξ相同的情況下，二階濾波器的帶寬約為一階濾波器帶寬的2～3倍。如圖3所示，以ξ=0.8為例，一階衰減記憶濾波器的帶寬為7.09Hz，二階衰減記憶濾波器的帶寬為16.7Hz。

圖3 ξ=0.8時一階二階濾波器帶寬對比

3 卡爾曼濾波估計視線角速率

卡爾曼濾波器可以用于估計視線角速率。根據(jù)彈目運動動力學(xué)方程可以得到視線角動力學(xué)方程為：

(9)

(10)

忽略上式中的二階及高階小量，并且末制導(dǎo)中qε為小角度，方程簡化為：

(11)

(12)

以俯仰通道為例，建立如式(13)所示方程，對方程離散化，如式(14)所示。式中：T為采樣周期。

(13)

(14)

Xε(k+1)=Φε(k)Xε(k)+Bε(k)uε(k)+wε(k)

(15)

Zε(k)=HεXε(k)+vε(k)

(16)

基于上述狀態(tài)方程和量測方程設(shè)計用于估計視線角速率的卡爾曼濾波器如式(17)所示。

(17)

為了加快濾波器的收斂速度，Qε(k)和Rε(k)可以使用如式(18)～(19)所示的自適應(yīng)修正方法。當(dāng)濾波到達(dá)穩(wěn)態(tài)時，Qε趨于Qε0，Rε趨于Rε0。其中μ和λ的值不宜取得過大，否則會對濾波器產(chǎn)生一些影響，影響跟蹤效果。

(18)

(19)

在上述濾波器中，需要知道目標(biāo)和導(dǎo)彈的法向加速度。根據(jù)地面雷達(dá)跟蹤系統(tǒng)的測量可以得到導(dǎo)彈在發(fā)射點慣性系中的位置(xM,yM,zM)，以及速度矢量在發(fā)射點慣性系中的投影(VMx,VMy,VMz)。此外，導(dǎo)彈上的加速度計可以輸出導(dǎo)彈加速度在彈體坐標(biāo)系下的投影aM1，用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣將其轉(zhuǎn)換到視線坐標(biāo)系下為aML=(aMr,aMε,aMβ)T，即可得到導(dǎo)彈在俯仰通道下的法向加速度aMε和偏航通道下的法向加速度aMβ。

對于目標(biāo)而言，通過目標(biāo)跟蹤濾波器，可以估計出目標(biāo)在視線坐標(biāo)系中的法向加速度。文獻(xiàn)[13]中給出了幾種目標(biāo)跟蹤濾波器。將目標(biāo)跟蹤器所得法向加速度代入視線角速率卡爾曼濾波器，即可估計出目標(biāo)視線角速率。

4 兩級濾波器

由于衰減記憶濾波器具有良好的降噪作用，且卡爾曼濾波器可以估計機動目標(biāo)視線角速率，因此將其組成兩級濾波器，可以同時滿足降噪和快速跟蹤目標(biāo)的要求。在使用兩級濾波器時，目標(biāo)視線角信息先通過衰減記憶濾波器，將濾波后結(jié)果送入目標(biāo)跟蹤器中。目標(biāo)跟蹤器利用降噪后的視線角信息得到目標(biāo)的法向加速度。之后將衰減記憶濾波器濾波后的估計值作為卡爾曼濾波器的量測值Zε代入量測方程，將目標(biāo)跟蹤器所得法向加速度代入控制量Uε中，最終估計得到機動目標(biāo)視線角速率。

下面針對一組使用目標(biāo)模擬器模擬無窮遠(yuǎn)目標(biāo)時，紅外成像導(dǎo)引頭進(jìn)行測試所得的視線角數(shù)據(jù)，使用上述濾波器估計視線角速率。在大沖擊振動條件下，紅外成像導(dǎo)引頭輸出制導(dǎo)信息品質(zhì)下降，受沖擊振動影響嚴(yán)重，精度不能滿足制導(dǎo)控制系統(tǒng)需求。

為了提高制導(dǎo)信息精度，采用上述濾波器對該數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。以彈目視線傾角為例，使用衰減記憶一階濾波器、衰減記憶二階濾波器以及卡爾曼濾波器分別對其進(jìn)行處理，并對濾波結(jié)果進(jìn)行分析。圖4為彈目視線傾角經(jīng)過一階衰減記憶濾波器濾波后的結(jié)果。圖5為彈目視線傾角經(jīng)過二階衰減記憶濾波器濾波后的結(jié)果。圖6為彈目視線傾角經(jīng)過卡爾曼濾波器處理后的結(jié)果。

圖4 一階衰減記憶濾波器濾波前后對比圖

圖5 二階衰減記憶濾波器濾波前后對比圖

可以看出，在選擇適當(dāng)參數(shù)的情況下，一階、二階衰減記憶濾波器可以濾除視線角速率的一部分高頻噪聲。而根據(jù)圖6可以得到，卡爾曼濾波器在對視線角信息跟蹤幾乎無滯后時降噪效果很差。

圖6 卡爾曼濾波器濾波前后對比圖

將數(shù)據(jù)分別通過兩級濾波器和卡爾曼濾波器后，估計得到視線角速率如圖7～8所示。由圖7可見，兩級濾波器估計得到的視線角速率超調(diào)量比單級卡爾曼濾波器估計所得角速率超調(diào)量小很多，且由于一階衰減記憶濾波器的帶寬比二階衰減記憶濾波器小，因此經(jīng)過一階濾波器和卡爾曼濾波器組成的兩級濾波器后所得視線角速率超調(diào)量最小。

圖7 彈目傾角視線角速率估計

根據(jù)圖8，可以看出，經(jīng)過兩級濾波器估計得到的視線角速率比單級卡爾曼濾波器所得角速率振蕩小，且衰減記憶濾波器帶寬越小，降噪效果越強，視線角速率振蕩就越小。

綜上，通過兩級濾波器估計得到的視線角速率超調(diào)量和振蕩相對單級卡爾曼濾波器均較小。其中由一階衰減記憶濾波器和卡爾曼濾波器組成的兩級濾波器相比另外兩種濾波器，在收斂時間相同的情況下，濾波精度較高。

為驗證上述結(jié)論的正確性，下面對另外一種情況進(jìn)行仿真驗證。假設(shè)有一正在攔截HTV-2目標(biāo)的導(dǎo)彈，在導(dǎo)彈進(jìn)入末制導(dǎo)階段時，導(dǎo)引頭開始捕獲到目標(biāo)獲取彈目視線角。以彈目視線傾角為例，對該視線角分別使用由一階衰減記憶濾波器和卡爾曼濾波器構(gòu)成的兩級濾波器和單級卡爾曼濾波器進(jìn)行濾波，并對視線角速率進(jìn)行估計。由圖9可以看出，兩級濾波器相較單級濾波器更接近真實值。由圖10可以看出，兩級濾波器估計所得視線角速率振蕩較單級濾波器更小。

圖10 導(dǎo)彈末制導(dǎo)階段彈目傾角角速率

5 結(jié)論

針對機動目標(biāo)視線角速率估計提出了一種使用衰減記憶濾波器和卡爾曼濾波器組成的兩級濾波器。通過對濾波器的特性分析以及對數(shù)據(jù)的應(yīng)用可以得知，使用兩級濾波器估計所得的視線角速率相比單級卡爾曼濾波器而言，超調(diào)量和振蕩均較小，收斂時間相同時估計精度提高。