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        對高中物理沿繩方向加速度關(guān)系的探討

        2022-08-01 08:46:10
        數(shù)理化解題研究 2022年19期
        關(guān)鍵詞:繞點細線重物

        鄧 偉

        (重慶市開州中學(xué) 405499)

        1 一道高三復(fù)習(xí)題的思考

        在高中物理教學(xué)過程中,筆者遇到一個很有爭議的題目,題目如下:

        例1如圖1所示,將質(zhì)量為2m的重物懸掛在輕繩的一端,輕繩的另一端系一質(zhì)量為m的環(huán),環(huán)套在豎直固定的光滑直桿上,光滑定滑輪與直桿的距離為d.現(xiàn)將環(huán)從與定滑輪等高的A處由靜止釋放,當環(huán)沿直桿下滑距離也為d時(圖中B處),下列說法正確的是(重力加速度為g)( ).

        圖1

        A.環(huán)剛釋放時輕繩中的張力等于2mg

        D.環(huán)減少的機械能大于重物增加的機械能

        原參考答案:B.

        解析環(huán)剛開始釋放后,重物由靜止開始加速上升,故重物有向上的加速度,根據(jù)牛頓第二定律有F-2mg=2ma,得F>2mg,得,故A項錯誤;

        通過與老師的研討中也發(fā)現(xiàn)有的認為A為正確答案,解答如下:環(huán)剛開始釋放時,環(huán)的加速度為g,通過沿繩子方向加速度相等,得到重物在瞬間加速度為0,則繩子的張力F=2mg,故A正確.那究竟哪種說法是正確的呢?

        2 沿繩子方向加速度關(guān)系與速度關(guān)系是否相同

        假設(shè)我們認為兩者關(guān)系是一致的,以例1為例,設(shè)環(huán)到B點的加速度向下為aB,此時繩子與桿的夾角為θ,如果我們類比速度之間的關(guān)系,可以得到重物加速度a物=aBcosθ.我們用特例進行反證:如果環(huán)在外力作用下保持勻速下落,則aB=0,從加速度關(guān)系可得,重物上升加速度a物=aB=0,說明重物也是勻速上升.但從速度關(guān)聯(lián)的角度,當環(huán)勻速下落時,因為兩者速度滿足v物=vBcosθ,當環(huán)下落過程中,角度θ越來越小,利用余弦函數(shù)單調(diào)遞減得出重物上升速度是越來越大的,說明重物的加速度豎直向上不為0.兩個結(jié)論產(chǎn)生了矛盾,說明假設(shè)是錯誤的:沿著繩子方向加速度關(guān)系與沿繩子方向速度關(guān)系不一定相同.

        3 沿繩子方向加速度關(guān)系的推導(dǎo)

        同樣借助例1,我們用數(shù)學(xué)方法來推導(dǎo):

        圖2

        [f(g(t))]′=f′(g(t))·g′(t)得:

        (其中r為此時環(huán)到滑輪與繩的接觸點(后面簡稱接觸點)之間的繩長、v2是環(huán)沿著接觸點轉(zhuǎn)動的線速度,角度θ隨時間增加而減小,所以有負號).

        將②式、③式和④式代入①式得:

        綜上分析,我們可以得出結(jié)論:環(huán)的加速度沿繩子的分量等于重物上升加速度(左端繩子伸長的加速度)與環(huán)繞點轉(zhuǎn)動的向心加速度矢量和.

        4 高中范圍內(nèi),哪些情況物體沿繩子方向加速度相等?

        4.1 繩子兩側(cè)的物體速度方向與連接的繩子平行,都做直線運動,不存在繞點轉(zhuǎn)動.

        例2如圖3所示,A、B兩小球由繞過輕質(zhì)定滑輪的細線相連,A放在固定的光滑斜面上,B、C兩小球在豎直方向上通過勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧相連,C球放在水平地面上.現(xiàn)用手控制住A,并使細線剛剛拉直但無拉力作用,并保證滑輪左側(cè)細線豎直、右側(cè)細線與斜面平行.已知A的質(zhì)量為4m,B、C的質(zhì)量均為m,重力加速度為g,細線與滑輪之間的摩擦不計.開始時整個系統(tǒng)處于靜止狀態(tài);釋放A后,A沿斜面下滑至速度最大時,C恰好離開地面.求:斜面的傾角α;

        圖3

        解析由題意可知,當A沿斜面下滑至速度最大時,C恰好離開地面,C的加速度為0;AB加速度時刻相等,此時為零.將ABC作為一個整體:

        由牛頓第二定律得4mgsinα-2mg=0,

        4.2 物體做圓周運動等存在繞點轉(zhuǎn)動的情況,但速度為0

        物體即使存在繞點轉(zhuǎn)動的情況,如果速度為0,向心加速度也為0,所以沿繩子方向的加速度仍然相同,這些情況一般出現(xiàn)在開始運動時或運動結(jié)束時.在2018年江蘇卷中,直接涉及到沿繩子方向加速度相等結(jié)論的應(yīng)用.

        例3(2018江蘇卷14題)如圖4所示,釘子A、B相距5l,處于同一高度.細線的一端系有質(zhì)量為M的小物塊,另一端繞過A固定于B.質(zhì)量為m的小球固定在細線上C點,B、C間的線長為3l.用手豎直向下拉住小球,使小球和物塊都靜止,此時BC與水平方向的夾角為53°.松手后,小球運動到與A、B相同高度時的速度恰好為零,然后向下運動.忽略一切摩擦,重力加速度為g,取sin53°=0.8,cos53°=0.6.求:

        圖4

        (1)小球受到手的拉力大小F;

        (2)物塊和小球的質(zhì)量之比M∶m;

        (3)小球向下運動到最低點時,物塊M所受的拉力大小T.

        5 綜述

        通過對本問題的探討,筆者獲得如下結(jié)論:連接體沿繩方向加速度的關(guān)系與速度間的關(guān)系不一定相同.我們既要考慮平動的加速度,也要考慮轉(zhuǎn)動時的向心加速度.在高中物理學(xué)習(xí)中,下列情況的加速度之間的關(guān)系和速度關(guān)系是相同的:1.繩子兩側(cè)的物體速度方向與連接的繩子平行,都做直線運動,不存在繞點轉(zhuǎn)動的情況.2.物體做圓周運動存在繞點轉(zhuǎn)動時,但速度為0的情況.

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