鄧 偉
(重慶市開州中學(xué) 405499)
在高中物理教學(xué)過(guò)程中,筆者遇到一個(gè)很有爭(zhēng)議的題目,題目如下:
例1如圖1所示,將質(zhì)量為2m的重物懸掛在輕繩的一端,輕繩的另一端系一質(zhì)量為m的環(huán),環(huán)套在豎直固定的光滑直桿上,光滑定滑輪與直桿的距離為d.現(xiàn)將環(huán)從與定滑輪等高的A處由靜止釋放,當(dāng)環(huán)沿直桿下滑距離也為d時(shí)(圖中B處),下列說(shuō)法正確的是(重力加速度為g)( ).
圖1
A.環(huán)剛釋放時(shí)輕繩中的張力等于2mg
D.環(huán)減少的機(jī)械能大于重物增加的機(jī)械能
原參考答案:B.
解析環(huán)剛開始釋放后,重物由靜止開始加速上升,故重物有向上的加速度,根據(jù)牛頓第二定律有F-2mg=2ma,得F>2mg,得,故A項(xiàng)錯(cuò)誤;
通過(guò)與老師的研討中也發(fā)現(xiàn)有的認(rèn)為A為正確答案,解答如下:環(huán)剛開始釋放時(shí),環(huán)的加速度為g,通過(guò)沿繩子方向加速度相等,得到重物在瞬間加速度為0,則繩子的張力F=2mg,故A正確.那究竟哪種說(shuō)法是正確的呢?
假設(shè)我們認(rèn)為兩者關(guān)系是一致的,以例1為例,設(shè)環(huán)到B點(diǎn)的加速度向下為aB,此時(shí)繩子與桿的夾角為θ,如果我們類比速度之間的關(guān)系,可以得到重物加速度a物=aBcosθ.我們用特例進(jìn)行反證:如果環(huán)在外力作用下保持勻速下落,則aB=0,從加速度關(guān)系可得,重物上升加速度a物=aB=0,說(shuō)明重物也是勻速上升.但從速度關(guān)聯(lián)的角度,當(dāng)環(huán)勻速下落時(shí),因?yàn)閮烧咚俣葷M足v物=vBcosθ,當(dāng)環(huán)下落過(guò)程中,角度θ越來(lái)越小,利用余弦函數(shù)單調(diào)遞減得出重物上升速度是越來(lái)越大的,說(shuō)明重物的加速度豎直向上不為0.兩個(gè)結(jié)論產(chǎn)生了矛盾,說(shuō)明假設(shè)是錯(cuò)誤的:沿著繩子方向加速度關(guān)系與沿繩子方向速度關(guān)系不一定相同.
同樣借助例1,我們用數(shù)學(xué)方法來(lái)推導(dǎo):
圖2
[f(g(t))]′=f′(g(t))·g′(t)得:
①
②
③
(其中r為此時(shí)環(huán)到滑輪與繩的接觸點(diǎn)(后面簡(jiǎn)稱接觸點(diǎn))之間的繩長(zhǎng)、v2是環(huán)沿著接觸點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度,角度θ隨時(shí)間增加而減小,所以有負(fù)號(hào)).
④
將②式、③式和④式代入①式得:
⑤
⑥
綜上分析,我們可以得出結(jié)論:環(huán)的加速度沿繩子的分量等于重物上升加速度(左端繩子伸長(zhǎng)的加速度)與環(huán)繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的向心加速度矢量和.
例2如圖3所示,A、B兩小球由繞過(guò)輕質(zhì)定滑輪的細(xì)線相連,A放在固定的光滑斜面上,B、C兩小球在豎直方向上通過(guò)勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧相連,C球放在水平地面上.現(xiàn)用手控制住A,并使細(xì)線剛剛拉直但無(wú)拉力作用,并保證滑輪左側(cè)細(xì)線豎直、右側(cè)細(xì)線與斜面平行.已知A的質(zhì)量為4m,B、C的質(zhì)量均為m,重力加速度為g,細(xì)線與滑輪之間的摩擦不計(jì).開始時(shí)整個(gè)系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài);釋放A后,A沿斜面下滑至速度最大時(shí),C恰好離開地面.求:斜面的傾角α;
圖3
解析由題意可知,當(dāng)A沿斜面下滑至速度最大時(shí),C恰好離開地面,C的加速度為0;AB加速度時(shí)刻相等,此時(shí)為零.將ABC作為一個(gè)整體:
由牛頓第二定律得4mgsinα-2mg=0,
物體即使存在繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的情況,如果速度為0,向心加速度也為0,所以沿繩子方向的加速度仍然相同,這些情況一般出現(xiàn)在開始運(yùn)動(dòng)時(shí)或運(yùn)動(dòng)結(jié)束時(shí).在2018年江蘇卷中,直接涉及到沿繩子方向加速度相等結(jié)論的應(yīng)用.
例3(2018江蘇卷14題)如圖4所示,釘子A、B相距5l,處于同一高度.細(xì)線的一端系有質(zhì)量為M的小物塊,另一端繞過(guò)A固定于B.質(zhì)量為m的小球固定在細(xì)線上C點(diǎn),B、C間的線長(zhǎng)為3l.用手豎直向下拉住小球,使小球和物塊都靜止,此時(shí)BC與水平方向的夾角為53°.松手后,小球運(yùn)動(dòng)到與A、B相同高度時(shí)的速度恰好為零,然后向下運(yùn)動(dòng).忽略一切摩擦,重力加速度為g,取sin53°=0.8,cos53°=0.6.求:
圖4
(1)小球受到手的拉力大小F;
(2)物塊和小球的質(zhì)量之比M∶m;
(3)小球向下運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí),物塊M所受的拉力大小T.
通過(guò)對(duì)本問(wèn)題的探討,筆者獲得如下結(jié)論:連接體沿繩方向加速度的關(guān)系與速度間的關(guān)系不一定相同.我們既要考慮平動(dòng)的加速度,也要考慮轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的向心加速度.在高中物理學(xué)習(xí)中,下列情況的加速度之間的關(guān)系和速度關(guān)系是相同的:1.繩子兩側(cè)的物體速度方向與連接的繩子平行,都做直線運(yùn)動(dòng),不存在繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的情況.2.物體做圓周運(yùn)動(dòng)存在繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),但速度為0的情況.