華加婷

(江蘇省揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 225009)

1 問(wèn)題的提出

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，解題的方法多種多樣，但一般來(lái)說(shuō)，最常見(jiàn)的方法是“前推后”，即通過(guò)已知條件向后推算出結(jié)果.而實(shí)際操作過(guò)程中很多問(wèn)題是需要“逆推”的，例如導(dǎo)數(shù)中的一類問(wèn)題，需要將導(dǎo)數(shù)還原，這需要學(xué)生具備一定的邏輯推理能力.而多數(shù)學(xué)生因不知道從哪里下手，所以找不到解題的切入點(diǎn)，這時(shí)就需要運(yùn)用多種解題方法.還原法是眾多方法之一，是依據(jù)數(shù)學(xué)規(guī)則和方法，來(lái)實(shí)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的還原.對(duì)于絕大多數(shù)高中生來(lái)說(shuō)，能記憶某些導(dǎo)數(shù)的原函數(shù)，卻不知道還原原函數(shù)的方法.

為了幫助學(xué)生解決此類問(wèn)題，本文介紹一種構(gòu)造函數(shù)的方法：“對(duì)數(shù)還原法”，它是為了證明中值定理而采用的一種方法，其原理是將目標(biāo)條件構(gòu)造成兩個(gè)以e為底對(duì)數(shù)函數(shù)的形式，最終所構(gòu)造的輔助函數(shù)是利用導(dǎo)數(shù)加減法則和對(duì)數(shù)運(yùn)算法則而得.順著這個(gè)思路，將其應(yīng)用在抽象函數(shù)導(dǎo)數(shù)的一類問(wèn)題中，去探求從特殊到一般、抽象到具體的解題方法.

2 步驟初探索

一般情況下，在高考數(shù)學(xué)試題中，抽象函數(shù)和導(dǎo)數(shù)結(jié)合常以綜合題的形式出現(xiàn).下面將以xf′(x)-f(x)=0為源頭，探索在題目給出不同條件的情況下，如何不靠“死記硬背”而靈巧地構(gòu)造相應(yīng)的“關(guān)鍵性”函數(shù)，從而為解決這一類問(wèn)題提供切實(shí)可行的解題步驟.

在高中有兩種構(gòu)造抽象函數(shù)的方法，一是利用和差函數(shù)求導(dǎo)法則構(gòu)造；二是利用積商函數(shù)求導(dǎo)法則構(gòu)造，其本質(zhì)上是組合還原，其關(guān)鍵點(diǎn)是根據(jù)已知條件的特點(diǎn)去還原、構(gòu)造.例如，當(dāng)題目中出現(xiàn)f′(x)+g′(x)=0時(shí)，可構(gòu)造F(x)=f(x)+g(x)……當(dāng)然，有一部分學(xué)生能夠記住非常多的函數(shù)構(gòu)造公式.雖然說(shuō)這在一定程度上對(duì)解題有所幫助，但是在遇到一些更有深意、陌生的題目時(shí)，這些公式很有可能是“一把破刀”而非“利劍”.因此，為了更高效地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，需探索同類題型的通法，而非是記住所有的公式.

2.1 直接構(gòu)造

例1設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(1)=0，當(dāng)x<0時(shí)，有xf′(x)-f(x)>0恒成立，則不等式f(x)>0的解集是什么？

答案(-∞,-1)∪(1,+∞).

若題目中出現(xiàn)“xf′(x)+f(x)=0”這樣的條件，憑借經(jīng)驗(yàn)，自然地聯(lián)想到導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則中的乘法法則，構(gòu)造函數(shù)F(x)=xf(x).若將條件xf′(x)-f(x)=0換成含系數(shù)不等于1的式子，那么該如何解決呢？

2.2 間接構(gòu)造

變式1設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(1)=0，當(dāng)x<0時(shí)，有xf′(x)-2f(x)>0恒成立，則不等式f(x)>0的解集是什么？

答案(-1,1).

若題目中出現(xiàn)的條件為“xf′(x)+2f(x)>0”，可模仿上述構(gòu)造函數(shù)的過(guò)程，構(gòu)造函數(shù)F(x)=x2f(x).

水利部門，水管部門，以及村民協(xié)會(huì)，水務(wù)集團(tuán)，搭建層層的實(shí)際的交易平臺(tái)，來(lái)處理所管理區(qū)域的水權(quán)交易手續(xù)，并發(fā)放水權(quán)交易價(jià)格指導(dǎo)，建立水權(quán)交易賬戶，引導(dǎo)當(dāng)事人進(jìn)行合理的合法的水權(quán)交易規(guī)定，各個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)應(yīng)當(dāng)按照已制定的水權(quán)市場(chǎng)建設(shè)實(shí)施方案中的具體要求來(lái)進(jìn)行交易，實(shí)時(shí)調(diào)整水權(quán)適用水量指標(biāo)，建立水權(quán)交易登記制度。

變式2 設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(1)=0，當(dāng)x<0時(shí)，有f′(x)-2f(x)>0恒成立，則不等式f(x)>0的解集是什么？

答案(-1,1).

變式3設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(1)=0，當(dāng)x<0時(shí)，有xf′(x)-2exf(x)>0恒成立，則不等式f(x)>0的解集是什么？

3 步驟應(yīng)用

例2 (2007年陜西理改編)f(x)是定義在(0,+∞)上非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足f′(x)+f(x)≤0，則對(duì)于任意的正數(shù)a，b，若a

A.eaf(b)≤ebf(a)B.eaf(b)≥ebf(a)

C.eaf(a)≤ebf(b)D.eaf(a)≥ebf(b)

解析構(gòu)造函數(shù)g(x)=ex·f(x)，對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)得g′(x)=ex·[f′(x)+f(x)]，易知g′(x)≤0，故函數(shù)g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.

當(dāng)a

從上面可以看出利用換元法來(lái)構(gòu)造函數(shù)解題的優(yōu)越性，為后續(xù)解決類似問(wèn)題提供了一種簡(jiǎn)便、可行的方法.當(dāng)然，有絕大部分學(xué)生會(huì)有這樣一個(gè)困惑——“憑借經(jīng)驗(yàn)直接構(gòu)造函數(shù)或者看選項(xiàng)構(gòu)造函數(shù)，這樣的解法更快.為什么非要采用這個(gè)方法呢？”學(xué)生的想法固然是正確的，但是這些解法是有局限性的.

綜上，從上面的例題可以看出，作商還原的解題步驟為構(gòu)造一類非常規(guī)、非常見(jiàn)的函數(shù)提供一定的構(gòu)造思路.當(dāng)然，解決問(wèn)題的方法多種多樣，并非一定按照上述步驟去解題.在解題時(shí)，面對(duì)新穎的、更有深意的題目，可靈活運(yùn)用解題技巧，多角度思考問(wèn)題、分析問(wèn)題.