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        淺談構(gòu)造法解圓錐曲線中離心率范圍問(wèn)題

        2022-08-01 10:38:58
        數(shù)理化解題研究 2022年19期
        關(guān)鍵詞:性質(zhì)定義利用

        沈 濤

        (陜西省寶雞市石油中學(xué) 721015)

        一般來(lái)說(shuō),求解范圍問(wèn)題多構(gòu)造不等式求解或者構(gòu)造函數(shù)求值域、離心率的范圍問(wèn)題,還要結(jié)合相應(yīng)的圓錐曲線的定義和性質(zhì),構(gòu)造基本量a,b,c的不等式湊出離心率從而求解,或者構(gòu)造離心率e關(guān)于某個(gè)變量的函數(shù)求值域,近年來(lái),離心率范圍問(wèn)題主要有以下幾種類型.

        1 構(gòu)造一元二次方程,利用韋達(dá)定理

        轉(zhuǎn)化為方程即(k-1)[b2k2+(b2-a2)k+b2]=0有三個(gè)不相等的正實(shí)根.

        解得3b2

        2 結(jié)合圓錐曲線定義及焦半徑性質(zhì)

        3 構(gòu)造不等式(組)求解

        利用題意結(jié)合圖形(如點(diǎn)在曲線內(nèi)等)列出所討論的基本量(a,b,c)適合的不等式(組),通過(guò)解不等式組得出離心率的變化范圍.

        分析由題意設(shè)B(x0,y0)(-a

        本題是最常見的求離心率范圍的問(wèn)題,其方法就是根據(jù)已知條件,直接列出關(guān)于a,b,c間的不等量關(guān)系,然后利用a,b,c間的平方關(guān)系化為關(guān)于a,c的齊次不等式,除以a2即為關(guān)于離心率e的一元二次不等式.

        4 構(gòu)造函數(shù)求值域求解

        把所討論的離心率作為一個(gè)函數(shù)的自變量來(lái)表示這個(gè)函數(shù),通過(guò)討論函數(shù)的值域來(lái)求離心率的變化范圍.

        分析由橢圓的定義及對(duì)稱性求得|AF|+|BF|=2a.

        在Rt△ABF中利用直角三角形的性質(zhì)求得

        |AF|=2csinα,|BF|=2ccosα.

        所以2csinα+2ccosα=2a.

        分析由已知a2=m2+4,b2=3,

        則c2=a2-b2=m2+4-3=m2+1.

        5 利用余弦定理構(gòu)造均值不等式

        分析設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n,根據(jù)余弦定理得出mn,則m+n=2a.

        由余弦定理,得

        6 利用三角函數(shù)的有界性構(gòu)造不等式

        所以a2cos2θ+b2(sinθ-1)2≤4b2.

        在求解圓錐曲線離心率取值范圍時(shí),一定要認(rèn)真分析題設(shè)條件,合理構(gòu)造a,b,c的不等關(guān)系或e關(guān)于某個(gè)變量的函數(shù),把握好圓錐曲線的相關(guān)性質(zhì),靈活運(yùn)用構(gòu)造法,從而達(dá)到快速解題的目的.

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