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        例析高中數(shù)學(xué)“齊次式”的處理策略

        2022-08-01 10:38:30李云錦
        數(shù)理化解題研究 2022年19期
        關(guān)鍵詞:分母直角三角形定值

        李云錦

        (福建省廈門市海滄中學(xué) 361000)

        1 齊次式

        2 典型例題分析

        2.1 三角中的齊次式

        解析分子分母同除以cosα,得

        所以tanα=-3.

        評(píng)析由于分子和分母都是齊1次式的,所以將分子分母同除以cosα,就能轉(zhuǎn)化為關(guān)于tanα的方程.本題是弦與切的轉(zhuǎn)化,當(dāng)分子分母是齊2次式時(shí),可以同除以cos2α,進(jìn)而得到關(guān)于tanα的方程.

        例2設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若bcosC+ccosB=asinA,則△ABC的形狀為( ).

        A.銳角三角形 B.直角三角形

        C.鈍角三角形 D.不確定

        解析因?yàn)閎cosC+ccosB=asinA,

        所以由正弦定理,得

        sinBcosC+sinCcosB=sin2A.

        所以sin(B+C)=sin2A.

        所以sinA=sin2A.

        所以△ABC是直角三角形.

        2.2 解析幾何中的齊次式

        解析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則

        所以kOA·kOB=-1.

        即OA⊥OB.

        (1)求C的方程;

        (2)設(shè)直線l不經(jīng)過點(diǎn)P2且與C相交于A,B兩點(diǎn).若直線l過定點(diǎn)(2,-1),求證:直線P2A與直線P2B的斜率的和為定值.

        設(shè)A′(x′1,y′1),B′(x′2,y′2),則

        設(shè)直線A′B′的方程為mx′+ny′=1,

        因?yàn)橹本€過點(diǎn)(2,-2),所以2m-2n=1.

        故直線P2A與直線P2B的斜率的和為定值.

        2.3 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的齊次式

        所以φ(t)在(1,+∞)上單調(diào)遞減.

        所以φ(t)<φ(1)=0.

        例6若0

        A.ex2-ex1>lnx2-lnx1

        B.ex2-ex1

        C.x2ex1>x1ex2

        D.x2ex1

        當(dāng)0

        當(dāng)00,

        所以0

        所以當(dāng)0

        所以y=ex2-ex1與y=lnx2-lnx1的大小關(guān)系沒辦法判斷,所以選項(xiàng)A,B不正確.

        所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減.

        當(dāng)0g(x2),

        所以x2ex1>x1ex2,故選項(xiàng)C正確.

        評(píng)析通過觀察不等式結(jié)構(gòu),可以將含有x1與x2的式子分開,利用齊次結(jié)構(gòu)構(gòu)造新的函數(shù),進(jìn)而解決問題.

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