張會(huì)平

(中國(guó)人民大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，北京 100872)

矩陣的秩是線性代數(shù)教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)與難點(diǎn)，是線性方程組、矩陣、向量三個(gè)重要研究對(duì)象的交叉點(diǎn)，地位十分重要。矩陣的秩的行列式定義與矩陣的行秩和列秩的關(guān)系是教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)[1-6]，本研究總結(jié)出了一個(gè)較為簡(jiǎn)潔的講授方式。

1 給出矩陣的列秩、行秩、秩的概念

定義1：矩陣的列向量組的秩稱為矩陣的列秩；矩陣的行向量組的秩稱為矩陣的行秩。

定義2：設(shè)A為m×n矩陣，在A中任選k行k列，位于這些選定的行和列的交點(diǎn)上的k2個(gè)元素按照原來的次序所組成的k階行列式被稱為矩陣A的k階子式。

定義3：矩陣A中最高階非零子式的階數(shù)被稱為矩陣A的秩，當(dāng)A為零矩陣時(shí)，稱A的秩為零。

注：這幾個(gè)概念都比較簡(jiǎn)單，先給出概念，使學(xué)生能夠盡早理清并記住概念，這有助于后面理論內(nèi)容的學(xué)習(xí)。

2 證明初等變換不改變矩陣的列秩與行秩

在這一部分詳細(xì)證明幾個(gè)命題，使學(xué)生能夠清晰理解初等變換不改變矩陣的列秩與行秩。同時(shí)，命題1的證明過程也是向量組的極大線性無關(guān)組和秩的求法的理論保證，這為后續(xù)求極大無關(guān)組和秩做好了鋪墊。

命題1：初等行變換不改變矩陣的列向量組的線性關(guān)系，從而不改變矩陣的列秩且保持極大無關(guān)組的位置不變。

證明(如圖1可得結(jié)論)：

圖1 證明過程Fig.1 Process of proof

同理可以證明下面的對(duì)稱結(jié)果命題2。

命題2：初等列變換不改變矩陣的行向量組的線性關(guān)系，從而不改變矩陣的行秩。

下面來證明命題3與它的對(duì)稱結(jié)果命題4。

命題3：初等行變換保持矩陣的行向量組等價(jià)，從而不改變矩陣的行秩。

證明(如圖2所示)：

圖2 證明過程Fig.2 Process of proof

由圖2可知，左右兩個(gè)向量組等價(jià)，從而它們的秩相等，同理可以證明下面的對(duì)稱結(jié)果命題4。

命題4：初等列變換保持矩陣的列向量組等價(jià)，從而不改變矩陣的列秩。

綜合命題1至命題4的結(jié)果，可以得到矩陣的初等行列變換不改變矩陣的行秩與列秩。

注：命題1和命題3的證明采用圖表，避免繁瑣的敘述，使學(xué)生能夠抓住問題的核心，領(lǐng)悟證明的主要思想。教學(xué)過程中，語言講解配合這兩個(gè)圖即可順利完成這一難點(diǎn)的證明。

3 證明矩陣的行秩=矩陣的列秩

3.1 復(fù)習(xí)矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形

命題5：任何矩陣都可以經(jīng)過初等行變換化為階梯形矩陣，進(jìn)而通過初等行變換化為簡(jiǎn)化階梯形矩陣，再經(jīng)過初等列變換可化為標(biāo)準(zhǔn)形。

3.2 證明過程

定理1：矩陣的行秩=矩陣的列秩

證明：設(shè)矩陣A為m×n矩陣，由命題5可知A經(jīng)過一系列初等行變換與初等列變換可以化為標(biāo)準(zhǔn)形B。

4 證明矩陣的秩=矩陣的列秩

在這一部分，用以秩為2的4×4矩陣A為例來證明A的秩與A的列秩相等。這樣的處理不僅可以使學(xué)生理解該證明方法的核心思想，而且避免了證明這個(gè)結(jié)果的一般形式時(shí)的繁瑣表達(dá)。在教學(xué)實(shí)踐中，很多學(xué)生對(duì)該結(jié)果的一般情況的證明理解不透，而以低階矩陣的證明為例，學(xué)生以此為參照就可以自學(xué)教材中的一般情況的證明，這樣既達(dá)到了教學(xué)目標(biāo)，又同步培養(yǎng)了學(xué)生的自學(xué)能力。

定理2：矩陣的秩=矩陣的列秩

證明：以秩為2的4×4矩陣為例來證明該結(jié)果，一般情形的證明類似。

注：若其他二階子式不為零，證明方法類似。

下面證明矩陣A的列秩為2，從而定理得證。

(1)證明的A的列向量組{α1,α2,α3,α4}含有兩個(gè)線性無關(guān)的向量。

(2)證明的A的列向量組{α1,α2,α3,α4}中的所有向量都可以由α1,α2線性表出。

綜合(1)和(2)的結(jié)果，可知矩陣A的列秩為2，從而可得矩陣A的列秩等于矩陣A的秩。

推論：矩陣的秩=矩陣的行秩

5 給出極大無關(guān)組與秩的求法

由命題1可知，求矩陣的列向量組的極大無關(guān)組和秩，只需對(duì)該矩陣作初等行變換化為階梯陣即可觀察得出。

例：

一般情況下，在B中很容易找到一個(gè)不為零的最高階子式，這是因?yàn)榫仃嘊是階梯形矩陣，只需選取矩陣B的全部非零行，再選取每一行的首非零元所在的列，這些行和列的交叉位置上的元素一定構(gòu)成B的一個(gè)非零子式，且B不可能有更高階的非零子式(這是因?yàn)橐呀?jīng)選取了B的所有非零行)，這樣B的秩就是這些列的列數(shù)，當(dāng)然也是這些行的行數(shù)(即階梯陣B的非零行的行數(shù))；B的這些列就一定是B的列向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組，進(jìn)而由命題1可知矩陣A的秩和矩陣A的列向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組。