山東 尹承利

(作者單位：山東省泰安英雄山中學(xué))

由人教社依據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》編寫的《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》(以下簡(jiǎn)稱新教材)，率先使用的省份(如山東省)已進(jìn)入第3個(gè)年份，對(duì)于這些省份而言，2022年的全國(guó)數(shù)學(xué)新高考可謂是真正意義上新教材與新高考“同步”的首次高考.相比于《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》(以下簡(jiǎn)稱舊教材)，新教材在編寫理念、順序結(jié)構(gòu)、內(nèi)容編排等方面都有許多變化，有內(nèi)容增加與刪減、有順序調(diào)整、有知識(shí)重構(gòu)、有強(qiáng)調(diào)有淡化，對(duì)比研究、厘清新、舊教材的變化特點(diǎn)，對(duì)于使用新教材的新高考地區(qū)高三師生的臨考復(fù)習(xí)備考有著十分重要的意義.本文以人教A版高中數(shù)學(xué)新舊教材為例，對(duì)“立體幾何”教材內(nèi)容的變化情況進(jìn)行對(duì)比研究，并就臨考復(fù)習(xí)備考中如何對(duì)待這些內(nèi)容提出建議.

一、新舊教材對(duì)比

為了對(duì)“立體幾何”新舊教材的變化情況有一個(gè)清晰的認(rèn)識(shí)，首先對(duì)新舊教材“立體幾何”在內(nèi)容編排上做以下對(duì)比，內(nèi)容變化由此便可窺見一斑.

內(nèi)容編排對(duì)比

表1 新舊教材內(nèi)容編排對(duì)比與新教材主要變化內(nèi)容

續(xù)表

由表可以看出，新舊教材對(duì)于“立體幾何”的整體框架和主干知識(shí)沒有本質(zhì)的變化，新教材相比于舊教材，在內(nèi)容的編排上更趨于條理、更合乎規(guī)范.

二、新舊教材“立體幾何”變化內(nèi)容的分析研究

1.新教材沒有出現(xiàn)“立體圖形的三視圖”的內(nèi)容，但筆者理解這是一種“偽刪除”.其一，立體圖形的三視圖是初中學(xué)過的，這次新教材中將其刪除其實(shí)是和初中內(nèi)容相銜接，避免重復(fù)，不算真正意義上的“刪除”；其二，在課后練習(xí)題和習(xí)題中，仍有“三視圖”的題目出現(xiàn).因此，教學(xué)中要適度把握，既不能置之不理，也不能過于拔高，就像對(duì)待其他初中學(xué)習(xí)過的內(nèi)容一樣來對(duì)待“三視圖”.

2.新舊教材“立體幾何”的部分知識(shí)重構(gòu)的內(nèi)容受限于表格，在表中沒有呈現(xiàn)，在這里列出，供教師在教學(xué)時(shí)予以關(guān)注.

(1)新教材必修第二冊(cè)8.1中補(bǔ)充了直棱柱、正棱柱、正棱錐等概念，這樣使得概念體系更完整了.

(2)新教材必修第二冊(cè)8.5將基本事實(shí)4(平行公理)和(等角)定理納入進(jìn)來.

(3)新教材必修第二冊(cè)8.5是先研究直線與平面平行的判定和性質(zhì)，后研究平面與平面平行的判定和性質(zhì)；舊教材是先研究直線與平面平行、平面與平面平行的判定，后研究直線與平面平行、平面與平面平行的性質(zhì).新教材的編排更為合理，這樣可以避免學(xué)生在位置關(guān)系學(xué)習(xí)上的混淆.

(4)新教材必修第二冊(cè)8.6也是先研究直線與平面垂直的判定和性質(zhì)，后研究平面與平面垂直的判定和性質(zhì)；舊教材是先研究直線與平面垂直、平面與平面垂直的判定，后研究直線與平面垂直、平面與平面垂直的性質(zhì).同樣，新教材的編排更為合理，這樣可以避免在位置關(guān)系學(xué)習(xí)上的混淆.

(5)新教材選擇性必修第一冊(cè)1.1-1.3將舊教材選修2-1的3.1分為三節(jié)內(nèi)容編排，這樣的編排使內(nèi)容更清晰、條理，也更有梯度性.

3.新教材在一些概念的表述上更規(guī)范、清晰和明確.比如，必修第二冊(cè)8.4-8.5將舊教材“公理”改為“基本事實(shí)”，并有順序上的微調(diào).選擇性必修第一冊(cè)1.4定義了“平面α與平面β的夾角”的概念，對(duì)于建立空間直角坐標(biāo)系的表達(dá)，例題中有了清楚的“模板”；對(duì)于設(shè)平面法向量的表達(dá)形式比如：設(shè)平面α的法向量為n=(x，y，z)，而經(jīng)過運(yùn)算求出具體的法向量的表達(dá)形式，比如：(-2，0，1)為平面α的一個(gè)法向量，也有例題“范本”可以參照.

4.新教材選擇性必修第一冊(cè)1.3增加了“投影向量”的概念；1.4增加了直線與平面所成的角、平面與平面的夾角、點(diǎn)到平面的距離等向量公式，尤其對(duì)于增加的點(diǎn)到平面的距離的向量公式，復(fù)習(xí)備考中需引起特別重視，進(jìn)行一些必要的訓(xùn)練是必要的.

三、需重點(diǎn)關(guān)注的幾個(gè)內(nèi)容

前面提到的新舊教材“立體幾何”概念表述不同和新教材增加的內(nèi)容中，有幾個(gè)內(nèi)容需要特別關(guān)注，在此對(duì)這些內(nèi)容在新舊教材的說法進(jìn)行對(duì)比分析，并探討命題時(shí)說法上的不同.

1.投影向量

這一定義不僅告訴我們投影向量的概念，同時(shí)也告訴我們求投影向量的公式.

故|c|=3，即向量c的模為3.

2.二面角

無論是新教材還是舊教材，二面角是跨越必修模塊到選擇性必修(選修)模塊的一個(gè)重要概念，而這一概念恰恰又是高考考查的重點(diǎn)，特別是新教材選擇性必修第一冊(cè)1.4對(duì)求二面角的說法上與舊教材相比有了很大的變化，這也是教師教學(xué)中一個(gè)需要特別關(guān)注的“點(diǎn)”.

表2 新舊教材“二面角”內(nèi)容變化對(duì)比

通過表2可以看出，關(guān)于“二面角”新舊教材最大的變化就是新教材選擇性必修第一冊(cè)1.4中給出了“平面與平面的夾角”的概念，這樣應(yīng)用向量法求“二面角”的有關(guān)命題時(shí)，只要將平面與平面的夾角轉(zhuǎn)化為它們法向量的夾角，利用公式求解即可.而按舊教材求二面角，首先求出這兩個(gè)面法向量的夾角，然后通過分析圖形或推理確定是銳二面角還是鈍二面角后得解.新教材這樣的處理，不僅使得問題有明確的指向性，而且可以避免按舊教材求二面角時(shí)需要判斷是銳二面角還是鈍二面角的麻煩，避免歧義的出現(xiàn).

我們先來看一道按舊教材命制的題目：

(1)求證:BE∥平面PDF；

(2)求二面角P-DF-C的余弦值.

第(2)小題通過建立空間直角坐標(biāo)系，并分別求出兩個(gè)平面的一個(gè)法向量及這兩個(gè)法向量所成的角后，需要判斷二面角P-DF-C是銳二面角還是鈍二面角，才能確定二面角的余弦值.

若按新教材命制題目：

(1)求證：BE∥平面PDF；

(2)求平面PDF與平面ABCD夾角的余弦值.

這樣無需判斷角的范圍，直接按照平面與平面夾角的向量公式求得結(jié)論即可.

3.點(diǎn)到平面的距離

對(duì)于“點(diǎn)到平面的距離”問題，也是教學(xué)中需要特別關(guān)注的“點(diǎn)”.舊教材選修2-1只是在3.2的課后習(xí)題中出現(xiàn)了“求點(diǎn)到平面的距離”的問題，如第112頁第5題(2)：求點(diǎn)O到平面ABC的距離.既沒有前期的概念鋪墊，也沒有現(xiàn)成的公式應(yīng)用，著實(shí)令人感到突兀.而新教材的處理就非常完備，新教材在必修第二冊(cè)第150頁給出了概念：“過一點(diǎn)作垂直于已知平面的直線，則該點(diǎn)與垂足間的線段，叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的垂線段，垂線段的長(zhǎng)度叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的距離.”并在選擇性必修第一冊(cè)第33-34頁給出了“點(diǎn)到平面的距離”的向量求法公式.可以說求“點(diǎn)到平面的距離”是新高考卷的又一新的命題點(diǎn)，教學(xué)中需加以重視.

四、復(fù)習(xí)備考建議

“新高考”伴隨著新教材，對(duì)“立體幾何”臨考的復(fù)習(xí)備考何去何從？筆者認(rèn)為，以往指導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)備考好的、有效的做法(這里不再贅述)在必須堅(jiān)持的同時(shí)，也應(yīng)改變教學(xué)觀念，在著眼于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)方面多做文章.

1.重視教材內(nèi)容的變化

上面對(duì)新舊教材“立體幾何”內(nèi)容的變化進(jìn)行了一些對(duì)比，臨考復(fù)習(xí)中務(wù)必吃透這些變化，嚴(yán)格按新教材的新概念、新公式、新表達(dá)等進(jìn)行復(fù)習(xí)備考，重視規(guī)范書寫，防止“穿新鞋走老路”的情況發(fā)生.

2.關(guān)注“立體幾何”新題型

新教材是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)導(dǎo)向下編排的，新高考定會(huì)重視“立體幾何”命題的創(chuàng)新，尤其近期官方透露2022年高考命題指向，高考試題要優(yōu)化情境設(shè)計(jì)，體現(xiàn)創(chuàng)新性.“立體幾何”是創(chuàng)新命題的良好載體，臨考復(fù)習(xí)備考要特別關(guān)注和研究“立體幾何”新題型，在這里列舉幾例，以期拋磚引玉.

示例3：(2022·福州一中第一學(xué)期第一學(xué)段考·21)如圖所示，在底半徑為R，高為H(H，R為定值，且H≤R)的圓錐內(nèi)部?jī)?nèi)接一個(gè)底半徑為r、高為h的圓柱，甲、乙兩位同學(xué)采用兩種不同的方法來解決.甲采用圓柱底面與圓錐底面重合的“豎放”方式(圖1)，乙采用圓柱母線與圓錐底面直徑重合的“橫放”方式(圖2).

(1)設(shè)V1，V2分別“豎放”“橫放”時(shí)內(nèi)接圓柱的體積，用內(nèi)接圓柱的底半徑r為自變量分別表示V1，V2；

(2)試分別求V1，V2的最大值(V1)max，(V2)max，并比較(V1)max，(V2)max的大小.

簡(jiǎn)析：本題給出“豎放”和“橫放”內(nèi)接圓柱的兩種不同的放置方法，利用軸截面圖中的三角形相似，將內(nèi)接圓柱的體積分別建立函數(shù)模型，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求得體積的最大值，最后作差比較兩種方法的體積最大值的大小得到結(jié)論.本題從圖形到設(shè)問方式都十分新穎.

(V1)max>(V2)max

(1)求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)如圖，將平面xOy沿x軸折疊，使y軸正半軸和x軸所確定的半平面(平面AF1F2)與y軸負(fù)半軸和x軸所確定的半平面(平面BF1F2)互相垂直.

簡(jiǎn)析：本題以平面直角坐標(biāo)系中橢圓的翻折為背景，通過分析翻折前后的關(guān)系，綜合考查了橢圓的定義、直線與橢圓的位置關(guān)系等知識(shí)的應(yīng)用及空間向量在求空間角中的應(yīng)用，充分體現(xiàn)了解析幾何和立體幾何知識(shí)的創(chuàng)新交匯，是一道知識(shí)間創(chuàng)新融合的經(jīng)典試題.

示例5：(2021·山東新高考質(zhì)量測(cè)評(píng)聯(lián)盟10月聯(lián)考·17)如圖，在四棱錐M-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，且AB=BC=1，MD=1，MD⊥平面ABCD，H是MB中點(diǎn)，在下面兩個(gè)條件中任選一個(gè)，并作答：

若________，求CH與平面MCD所成角的正弦值.

注：如果選擇兩個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

簡(jiǎn)析：本題以三棱錐為載體，考查了空間線、面關(guān)系的推理判斷和空間向量坐標(biāo)法在空間線、面角度量中的應(yīng)用.由于選擇條件的不同，推理判斷、建系和所得結(jié)論不盡相同.本題是結(jié)構(gòu)不良試題從知識(shí)層面向立體幾何知識(shí)模塊進(jìn)行擴(kuò)展的一次實(shí)踐，從知識(shí)層面上來說，給出了一種重要的命題導(dǎo)向.這就提醒新高考地區(qū)的廣大師生，在復(fù)習(xí)備考中要有針對(duì)性訓(xùn)練的措施.

五、結(jié)束語

通過以上對(duì)新舊教材“立體幾何”內(nèi)容變化的對(duì)比，教師在教學(xué)的把握上會(huì)有一個(gè)更清晰的認(rèn)識(shí)，在指導(dǎo)復(fù)習(xí)備考時(shí)也會(huì)更到位、更有的放矢.在這里我們對(duì)即將到來的2022年新高考做一下大膽預(yù)測(cè)：2022年新高考數(shù)學(xué)卷有可能命制3套，一套供新高考與新教材同步地區(qū)的考生使用(比如山東省)，其次一套供2021年使用新高考Ⅰ卷地區(qū)的考生使用，最后一套供2021年使用新高考Ⅱ卷地區(qū)的考生使用，最終結(jié)果是怎樣的，讓我們拭目以待！如果這一預(yù)測(cè)如愿的話，那么新高考與新教材同步地區(qū)的師生在復(fù)習(xí)備考中要特別重視上述所說的新舊教材“立體幾何”內(nèi)容的變化，尤其是“三、需重點(diǎn)關(guān)注的幾個(gè)內(nèi)容”提到的幾條，可能會(huì)成為新高考與新教材同步的新高考命題的著力點(diǎn)，這就要求我們精心準(zhǔn)備、積極應(yīng)對(duì).