浙江

(作者單位：浙江省柯橋中學(xué))

立體幾何中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題，其核心考點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)直線所構(gòu)成的靜態(tài)平面，難點(diǎn)是考查學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和創(chuàng)新思維能力，已成為新高考命題的一大熱點(diǎn).深挖其問(wèn)題背景，總結(jié)其求解方法，掌握其證明技巧，透析其變化規(guī)律，對(duì)提升考生的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)效益將大有裨益.

一、真題研學(xué)

A.γ<α<βB.α<γ<β

C.α<β<γD.β<γ<α

根據(jù)題意，過(guò)D作平面ABC的高DH，過(guò)H分別作PR,PQ,QR的高HE,HF,HG，如圖，易得α=∠DEH，β=∠DFH，γ=∠DGH，可以看出它們的對(duì)邊都是一樣的，所以只需要比較EH,FH,GH三邊的大小即可，即把立體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為底面平面幾何問(wèn)題.

然后我們細(xì)究命題思路，該題是在取底面正三角形三邊中點(diǎn)的基本模型下，改為其中兩邊的近、遠(yuǎn)三等分點(diǎn)，從而命制出一個(gè)立足課本基本模型的立體幾何好題，我們就以該真題為研究對(duì)象，將中點(diǎn)、三等分點(diǎn)改成任意棱上一點(diǎn)，編制出一道一模題如下.

二、好題細(xì)品

母題：如圖，三棱錐V-ABC的底面ABC是正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)均相等，P是棱VA上的點(diǎn)(不含端點(diǎn))，記直線PB與直線AC所成角為α，二面角P-AC-B的平面角為β，則α+β不可能是( )

點(diǎn)評(píng)：該題是將極限思想運(yùn)用到立體幾何中，將三棱錐趨向于無(wú)窮小及無(wú)窮大，則角的范圍迎刃而解.

A.β>γ>αB.α>β>γ

C.α>γ>βD.β>α>γ

繼2017年之后，浙江卷2018，2019兩年連續(xù)考到了動(dòng)態(tài)空間三角的大小比較關(guān)系，通法是通過(guò)線面垂直關(guān)系先做出線線、線面、二面角，把立體幾何問(wèn)題最終轉(zhuǎn)化為一個(gè)簡(jiǎn)單平面問(wèn)題，再比較線段長(zhǎng)大小.當(dāng)然空間三角大小關(guān)系也隱含著最小角，最大角定理的運(yùn)用.

(2018·浙江卷·8)已知四棱錐S-ABCD的底面是正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均相等，E是線段AB上的點(diǎn)(不含端點(diǎn)),設(shè)SE與BC所成的角為θ1，SE與平面ABCD所成的角為θ2，二面角S-AB-C的平面角為θ3，則( )

A.θ1≤θ2≤θ3B.θ3≤θ2≤θ1

C.θ1≤θ3≤θ2D.θ2≤θ3≤θ1

(2019·浙江卷·8)設(shè)三棱錐V-ABC的底面是正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)均相等，P是棱VA上的點(diǎn)(不含端點(diǎn)).記直線PB與直線AC所成的角為α，直線PB與平面ABC所成的角為β，二面角P-AC-B的平面角為γ，則( )

A.β<γ，α<γB.β<α，β<γ

C.β<α，γ<αD.α<β，γ<β

2019年高考的動(dòng)態(tài)立體幾何仍延續(xù)2018年的最小角、最大角定理，故易選B.

然后我們將模型由三棱錐換成標(biāo)準(zhǔn)正交勻稱圖形正方體，設(shè)置一個(gè)由動(dòng)點(diǎn)連接定點(diǎn)的隱平面，即得到以下題目.

【變式2】(2021·寧波一?！?6)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為線段AB上任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn))，F(xiàn)為CC1的中點(diǎn)，G為C1D1的四等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)C1)，直線AA1交平面EFG于點(diǎn)H，則直線EH與直線BD1所成角的余弦值是________.

該題雖E為動(dòng)態(tài)點(diǎn)，而事實(shí)上平面ABB1A1∥平面DCC1D1，平面EFG為截面，過(guò)E作EH∥FG交AA1于點(diǎn)H，平面EFG與平面ABB1A1和平面DCC1D1截得的兩直線EH∥FG，從而直線EH與直線BD1所成角等于直線FG與直線BD1所成角.以下可使用向量的對(duì)角線定理

關(guān)于平面的延拓性是共面的難點(diǎn)，該知識(shí)點(diǎn)在2021年浙江卷第6題進(jìn)行了考查.

如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1，M，N分別是A1D，D1B的中點(diǎn)，則( )

A.直線A1D與直線D1B垂直，直線MN∥平面ABCD

B.直線A1D與直線D1B平行，直線MN⊥平面BDD1B1

C.直線A1D與直線D1B相交，直線MN∥平面ABCD

D.直線A1D與直線D1B異面，直線MN⊥平面BDD1B1

需要將D1B固定到平面ABD1，連接AD1，由正方體可知A1D⊥AD1，A1D⊥AB，所以A1D⊥平面ABD1，A1D⊥D1B，易得MN∥AB，MN∥平面ABCD.所以A選項(xiàng)正確；由正方體可知A1D與平面BDD1相交于點(diǎn)D，D1B?平面BDD1，D?D1B，直線A1D與直線D1B是異面直線，B，C錯(cuò)；因?yàn)镸N∥AB，AB不與平面BDD1B1垂直，所以MN不與平面BDD1B1垂直，故D錯(cuò)，故選A.

通過(guò)以上三例我們闡述的是立體圖形中的動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律，而在新普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)中，明確告訴我們什么是立體幾何，立體幾何是在平面幾何的基礎(chǔ)上構(gòu)成的正交或是仿射維度圖形，其本質(zhì)是基于點(diǎn)射影的解析幾何.鑒于此，2022年高考動(dòng)態(tài)立體幾何試題命制將青睞于平面幾何的折疊，依照母題的三棱錐，改編成平面圖形為三角形的翻折問(wèn)題，得到變式3.

三、2022年真題預(yù)測(cè)

【變式3】如圖，已知△ABC中，AC>AB,AD是∠BAC的平分線，將△ABD沿直線AD翻折成△ADB1,在翻折過(guò)程中，設(shè)所成二面角的平面角B1-AD-C為α，∠B1AC=β,∠B1DC=γ,則下列結(jié)論中成立的是( )

A.α≥β,α≥γB.α≥β,α≤γ

C.α≤β,α≥γD.α≤β,α≤γ

點(diǎn)評(píng)：立體幾何翻折問(wèn)題常先考慮折疊前圖形與折疊過(guò)程中的圖形的變量與不變量，也是極端法的緣由，其次該題解法的紐帶是投影點(diǎn)B′一定落在AD的高線上.

當(dāng)然在考場(chǎng)上，我們可以再次引入點(diǎn)的極限逼近思想，考慮兩個(gè)極端位置，在初始位置，易知α=π,α>β,α=γ,其次在點(diǎn)B經(jīng)過(guò)180°折平時(shí)易知α=β=0,α<γ，易得準(zhǔn)確答案B，讓我們?cè)俅胃袊@動(dòng)態(tài)逼近思想的精妙絕倫.

此外我們也可以把基本圖形改為直角三角形，在折疊過(guò)程中構(gòu)成標(biāo)準(zhǔn)垂直的立體點(diǎn)正投影，得到試題變式4.

【變式4】在△ABC中，∠ACB=90°,BC=2,AC=3，點(diǎn)D在斜邊AB上，以CD為棱把它折成直二面角A-CD-B，折疊后AB的最小值為( )

因?yàn)檎鄢芍倍娼茿-CD-B，為標(biāo)準(zhǔn)正投影，故點(diǎn)A的投影必在直線CF上，該題本質(zhì)是兩個(gè)直角三角形的標(biāo)準(zhǔn)墻角模型.簡(jiǎn)單計(jì)算下可設(shè)∠ACE=θ,AE=3sinθ,CE=3cosθ,CF=2sinθ,BF=2cosθ，所以AB2=13-6sin2θ≥7，故選B.變式3與變式4是筆者對(duì)2022年高考動(dòng)態(tài)立體幾何的預(yù)測(cè).

四、結(jié)束語(yǔ)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版2020年修訂)》指出“高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)”.本文闡述的立體幾何動(dòng)態(tài)問(wèn)題研究正是落實(shí)這一理念的良好載體.在解決此類題型時(shí)，教師要以高考真題為核心，從學(xué)生的角度去思考問(wèn)題，從條件或是結(jié)論或是模型的演變?yōu)閷?dǎo)向得到變式題型，由淺入深，由易到難，由特殊到一般，層層深入，步步啟發(fā).精心設(shè)計(jì)的變式題組在教學(xué)中發(fā)揮著不可替代的作用，對(duì)于提高教學(xué)效率、培養(yǎng)尖子生的能力、提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)起著重要作用，筆者鑒于此與各位讀者共勉，希望能不斷優(yōu)化課堂教學(xué)，研討出更多值得品味的優(yōu)質(zhì)試題.