徐 蕾，李可妤，郭嘉鈺，鐘 鳴

(南京師范大學 物理科學與技術(shù)學院物理系，江蘇 南京 210000)

散斑現(xiàn)象普遍存在于光學成像過程中，其攜帶了光束和光束所通過的物體的許多信息，因此被廣泛應用于光學領(lǐng)域[1-3].

當一束激光打到粗糙表面上時，反射光會干涉成像，形成明暗不同的斑點，這樣的圖案便是散斑.而即使保持所有的儀器靜止，我們依舊會發(fā)現(xiàn)，散斑在“漂移”.對于這一現(xiàn)象的研究有利于進一步認識散斑，從而提高散斑成像的精度，具有現(xiàn)實意義.

經(jīng)過我們的分析，激光束照射的位置總體不會發(fā)生改變，而散斑之所以看起來在漂移，實質(zhì)上是反射光干涉后的光強分布發(fā)生了動態(tài)變化，在視覺上就表現(xiàn)為“漂移”，類似于顯示屏通過交替點亮LED產(chǎn)生滾動字幕的效果.為了進一步研究這種現(xiàn)象，本文將通過多項實驗來尋找散斑漂移的主要因素，并且會根據(jù)這些因素進行仿真模擬來重現(xiàn)散斑的動態(tài)變化.

1 分析方法與實驗內(nèi)容

1.1 分析方法

我們通過相機拍攝記錄下散斑從產(chǎn)生到漂移穩(wěn)定的過程，將其導入軟件中進行分析.分析過程涉及以下兩個概念.

相關(guān)系數(shù)γ可以有效比較兩幅散斑圖像間的相關(guān)性，其表達式為[4,5]

(1)

其中，pj=Ij(xi,yi)-〈Ij(xi,yi)〉，I1(xi,yi)為t=0時刻的散斑圖案位于(x,y)坐標上的光強，I2(xi,yi)為t>0時刻的散斑圖案位于坐標(x,y)上的光強.

為了比較不同時刻一個散斑漂移的快慢，我們定義了相關(guān)系數(shù)的變化率，其表達式為

(2)

為了減小時間間隔帶來的影響，我們將每20個時間間隔，取一次變化率的平均值，v的平均值越大，表示散斑變化得越快，即“漂移”得越快.而當v的標準差趨于0時，說明變化率維持穩(wěn)定，即散斑的“漂移”維持穩(wěn)定.

1.2 實驗裝置

實驗裝置如圖1所示.攝像機幀率為30 fps,選取波長為635 nm的紅色激光筆，粗糙表面為卡紙與磨砂紙(較薄).另外，使用焦距為10 cm的凸透鏡以放大光路，方便拍攝.攝像機、激光筆、凸透鏡、粗糙表面四者皆固定于光具座上，調(diào)節(jié)至一條直線.在黑暗的實驗條件下進行拍攝，確保激光筆是唯一的光源.我們在實驗中調(diào)節(jié)各儀器間的距離，使得在表面上成像的散斑大小直徑為6 mm左右.

圖1 實驗裝置示意圖

1.3 實驗內(nèi)容與數(shù)據(jù)分析

激光具有能量，由于激光加熱而產(chǎn)生的一系列熱效應很可能會造成干涉結(jié)果的變化，使肉眼看到“漂移”的現(xiàn)象.以下設(shè)想了2種可能：空氣受熱膨脹，導致折射率變化；粗糙表面受熱膨脹.兩者在不同程度上都將造成光程差的變化.下面將通過實驗來驗證上述猜想.

1.3.1 散斑漂移的特征

對一個散斑進行600 s的拍攝，在500 s處使用小風扇在遠離表面處吹風，使得激光經(jīng)過的空氣產(chǎn)生流動，而表面不受到這一流動的干擾，其相關(guān)系數(shù)以及相關(guān)系數(shù)的變化率隨時間的變化關(guān)系如圖2所示.圖2(a)描述的是相關(guān)系數(shù)隨時間的變化，黑點是實驗中實際采集到的數(shù)據(jù)，黑線則是對數(shù)據(jù)進行平滑處理后得到的連續(xù)曲線(后面的分析如果沒有特殊聲明，其實驗結(jié)果都經(jīng)過了平滑處理).圖2(b)描述的是漂移速率以及漂移的穩(wěn)定性(漂移速率的標準差)隨時間的變化.

相關(guān)系數(shù)隨時間的變化

從圖2(a)不難發(fā)現(xiàn)，在最初的10 s內(nèi)，散斑的相關(guān)系數(shù)不斷下降(至0.93左右)，而后開始呈現(xiàn)上下震蕩，震蕩幅度逐漸減小.600 s后，相關(guān)系數(shù)仍保持一定微小的震蕩.圖2(b)顯示漂移速率與漂移的穩(wěn)定性先下降(大約持續(xù)10 s)后震蕩，隨著時間推移，漂移速率維持在一個較為穩(wěn)定的值(0.002 7左右)，漂移速率的標準差基本為0，也就是說散斑的漂移由快至慢，由不穩(wěn)定至穩(wěn)定，最終散斑處于動態(tài)平衡.實際上，在大約180 s后，肉眼很難再觀察到散斑的漂移，但通過軟件分析，散斑依舊處于漂移狀態(tài).

值得注意的是，當我們在500 s時給空氣一個擾動后，接下來的100 s內(nèi)，散斑并沒有出現(xiàn)劇烈的變化.從而認為空氣的熱效應并非是散斑漂移的主要因素.我們在同樣的實驗條件下，重復上述實驗，其相關(guān)系數(shù)的變化，漂移速率的變化在宏觀上是一致的(主要表現(xiàn)為變化的趨勢，達到相對穩(wěn)定所需的大致時間，達到相對穩(wěn)定時的相關(guān)系數(shù)以及漂移速率的大小等)，下面重點關(guān)注的便是散斑漂移時的宏觀性質(zhì).

1.3.2 研究粗糙表面的顏色的影響

我們分別選取了同一款品牌的黑色和紅色卡紙作為粗糙表面進行實驗.實驗結(jié)果如圖3所示.

圖3 不同顏色粗糙表面產(chǎn)生的散斑相關(guān)系數(shù)隨時間的變化

圖3顯示黑色卡紙產(chǎn)生的散斑漂移得更快，達到穩(wěn)定需要的時間也更長.這是因為對于相同功率的激光，黑色卡紙相較于紅色卡紙而言，對光的吸收率明顯更大，因此黑色卡紙接收到的能量更多，表面膨脹更快，光線的相位差變化更快，最終造成干涉的結(jié)果——明暗變化更快[6,7].同時，由于黑色卡紙吸收更多熱量，黑色卡紙最后溫度變化更大，其形變程度更大，導致散斑基本穩(wěn)定的時候，相關(guān)系數(shù)變化更大.而黑色卡紙吸熱膨脹的過程持續(xù)更久，因此散斑達到穩(wěn)定需要的時間也更長.

這就使得我們確認了導致散斑變化的一個主要因素——粗糙表面的熱效應.

1.3.3 研究表面粗糙程度的影響

選擇粗糙程度不同，材質(zhì)相同的磨砂紙進行實驗.以cw(國產(chǎn)砂紙的粒度，粒度是指顆粒的大小)來描述粗糙程度的大小.

圖4描述了不同粗糙程度磨砂紙產(chǎn)生的散斑的相關(guān)系數(shù)隨時間的變化關(guān)系.顯而易見的，這些相關(guān)系數(shù)的變化沒有很大差別.回顧實驗條件，被選取的表面磨砂紙與卡紙較為薄大，而激光只照射到非常小的一塊區(qū)域，表面切向膨脹不易，因此法向膨脹占據(jù)了主導地位.由于散斑是無數(shù)光波的疊加，理論上通過大量統(tǒng)計后，不論粗糙程度的大小如何，其最終造成的干涉條件的變化是等效的.這樣就能很好解釋我們圖4中呈現(xiàn)的實驗結(jié)果.由此可見，在我們的實驗條件下，粗糙程度只是漂移的一個次要因素.

圖4 不同粗糙程度下散斑相關(guān)系數(shù)隨時間的變化關(guān)系

1.3.4 激光筆功率的影響

使用兩片偏振片來改變激光筆的功率.偏振片平面與激光光束垂直，θ為兩片偏振片的夾角，當θ=0時，激光筆的功率是最大的.結(jié)果如圖5所示.

圖5 不同激光筆功率產(chǎn)生的散斑相關(guān)系數(shù)隨時間的變化

從圖5中明顯可見功率大的激光產(chǎn)生的散斑漂移更快，需要更長時間達到穩(wěn)定.這樣的結(jié)果不難理解，功率大的激光能讓粗糙表面更快發(fā)生形變，這里就不做過多贅述.

值得一提的是，在經(jīng)過上述實驗條件的變換后，散斑漂移的特征基本不變，都是由快至慢，由不穩(wěn)定至穩(wěn)定.因此實驗1.3.1中對散斑漂移特征的描述具有普適性.

2 數(shù)值模擬

經(jīng)過上面一系列實驗，我們得出散斑漂移的主要原因為：激光加熱→表面受熱膨脹→相位改變→干涉結(jié)果改變(明暗變化)→宏觀“漂移”.

為了再現(xiàn)這一現(xiàn)象，下面將通過數(shù)值計算來模擬這個動態(tài)過程.

2.1 散斑的形成

散斑是無規(guī)則散射體的相互疊加.為了模擬一個散斑，首先需要隨機生成一個粗糙表面矩陣s(即隨機生成數(shù)的矩陣).

其次，通過式(3)、式(4)得到散斑振幅大小.其中o(x0,y0)是由于粗糙表面反射造成的相位差，由式(5)表示.像平面任意一個點A(x,y)的振幅是激光束經(jīng)過表面發(fā)射后振幅A0(x0,y0)不同比重的疊加，這一比重通過h(x,y)描述，h(x,y)的形式由式(6)表示.

A(x,y)=?A0(x0,y0)h(x0,y0,x,y)dx0dy0

(3)

A0(x0,y0)=E0(x0,y0)exp(o(x0,y0)i)

(4)

(5)

(6)

其中，a為有效光斑的半徑大小.z為像屏與光斑的距離，λ為激光束的波長.而E(x,y)為激光的復振幅，我們將激光看成高斯光束，那么，E(x,y)的振幅呈高斯分布.J1為一階貝塞爾函數(shù)[8-10]最終，模擬散斑的相對光強為振幅的模.

在對實驗中拍攝的視頻進行圖像處理時，灰度值即為光強，而設(shè)備對灰度值的存儲范圍有限(0～255)，因此我們在模擬散斑時，對散斑光強大小進行了上限處理，當光強大于x(某一值)時，光強取為x.

生成散斑后，我們將模擬的散斑與實驗中的散斑進行光強的對比，結(jié)果如圖6所示.

實驗中拍攝到的散斑

實驗與模擬的散斑存在著一些差別.主要來源于以下幾點:在實驗中，表面有7～9本底灰度值，這是無法避免的.而在數(shù)值模擬中，表面的本底灰度值為0.在拍攝過程中，由于攝像機分辨率原因，采集到的散斑相對于模擬的散斑模糊.但模擬總體上已經(jīng)再現(xiàn)了散斑.

2.2 散斑的動態(tài)變化

由于激光束照射表面，導致表面的溫度變化.在這一步中，考慮模型理想化的幾個點：1) 只考慮激光對表面的加熱，表面厚度非常小，膨脹時，以法向膨脹為主；2) 表面的吸光率是恒定的；3) 激光功率是恒定的；4) 光斑邊緣的溫度是恒定的室溫.

列出熱導公式

(7)

其中，k為熱導率，C為表面的比熱容，ρ為表面的密度，q為激光對表面的加熱功率，有

(8)

r為傳播軸線相交于z的的高斯光束等相面上的光斑半徑，α為表面的吸光率，ω為高斯光束等相面上的光斑半徑，E0為光心處的振幅.

由于熱膨脹導致的相位改變?yōu)?/p>

(9)

β為表面的線性熱膨脹系數(shù),d為表面的厚度.這樣的相位變化最終導致散斑形成過程中式(5)的變化.將式(5)與式(9)疊加，便形成新的表面.合成新的散斑.

得到表面隨時間的變化后，用不同時刻的表面生成散斑，計算這些散斑的相關(guān)系數(shù)，實現(xiàn)對漂移這一動態(tài)的模擬.由于相關(guān)參數(shù)的精確測量是難以實現(xiàn)的，因此本次模擬參數(shù)有著如下所述的參考范圍(僅適合本文中所描述的實驗情況)：表面的熱導率約為0.07～0.12 W/(m·K)，表面的比熱容約為1.7×103～2.1×103J/(kg·K)，表面的密度約為0.85×103～0.9×103kg/m3，激光筆的最大功率約為0.95～1.0 W，表面的吸光率約為0.8～0.85，表面的線性熱膨脹系數(shù)約為8×10-6～9×10-6K-1，室溫為283.1 K，激光直徑為6 mm，表面厚度為0.08 mm，激光波長為635 nm.通過不斷調(diào)整模擬的參數(shù)，雖然無法完全再現(xiàn)真實的散斑漂移，但是能在趨勢以及數(shù)量級上盡可能貼近實驗.圖7呈現(xiàn)了模擬結(jié)果與實驗的對比.

圖7 模擬與實驗中產(chǎn)生的散斑相關(guān)系數(shù)隨時間的變化關(guān)系

模擬與實驗得到的結(jié)果有一定的吻合度.不同的是，當模擬足夠時長時，表面會到達熱平衡，此時，散斑的相關(guān)系數(shù)不再會改變.但是實際實驗中，空氣的流動、浮塵、激光光強的衰減、表面的徑向膨脹等眾多因素，都將導致散斑無法達到絕對的平衡.因此，相關(guān)系數(shù)會震蕩.

3 總結(jié)

肉眼觀察到的散斑漂移現(xiàn)象的本質(zhì)是散斑定點光強的明暗變化，宏觀表現(xiàn)為漂移.我們通過實驗發(fā)現(xiàn)，造成散斑漂移的最主要因素是激光的能量導致了粗糙表面的膨脹，而表面升溫過程升高由快至慢，因此其相關(guān)系數(shù)的變化率(漂移速率)也是由快至慢，而后期，肉眼幾乎看不到散斑的變化，散斑達到一個相對穩(wěn)定.

考慮到表面膨脹為散斑漂移的主要因素，我們構(gòu)建了完善的模型，得到散斑動態(tài)變化的數(shù)值模擬.雖然這一模型忽略了很多次要因素，但是模擬下來的結(jié)果與實驗較為貼合.可以對此借鑒，進行進一步研究.