萬 凱，沈一騎

(1. 南京大學(xué) 商學(xué)院，江蘇 南京 210093；2. 南京大學(xué) 電子科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 南京 210023；3. 南京大學(xué) 金陵學(xué)院，江蘇 南京 210089 )

電源等效變換分析法是電路分析的重要方法之一，也是電路分析基礎(chǔ)教學(xué)的一個重要環(huán)節(jié). 電源等效變換分析法特別適用于多電源的串并聯(lián)電阻電路，可以通過電源變換使電源滿足合并要求，從而將多電源電路簡化為單電源電路以便于分析. 但對多電源的Y-△聯(lián)結(jié)電阻電路就難以處理了，而且眾多理論教材[1,2]均不涉及這一問題，這就造成了電源等效變換分析法應(yīng)用的局限性，也給學(xué)生學(xué)習(xí)帶來了困惑. 對此，我們在多年電路教學(xué)和研究[3],[4]的基礎(chǔ)上，提出了有伴電源Y-△聯(lián)結(jié)電路等效變換理論推導(dǎo)，以供參考和指正.

1 有伴電壓源Y-△聯(lián)結(jié)等效變換理論推導(dǎo)

1.1 有伴電壓源△形電路等效變換

有伴電壓源△形電路如圖1(a)所示. 等效變換是對外等效，如果對節(jié)點1、2、3內(nèi)的電路進行等效變換，就可保持節(jié)點外電路的狀態(tài)不變. 由于各支路為有伴電壓源，各電阻并不構(gòu)成△形聯(lián)結(jié)，可將各支路等效為有伴電流源(圖1(b))，其中IS12=US12/R12、IS23=US23/R23、IS31=US31/R31. 為滿足Y-△形電阻等效變換的要求，已將節(jié)點拆分為2個相連的節(jié)點，節(jié)點1′、2′、3′構(gòu)成的△形電路，可參照教材的變換公式[1]對外等效為Y形電路(圖1(c)). 合并拆分的節(jié)點并采用電源轉(zhuǎn)移方法[2]，將圖1(c)中的電流源轉(zhuǎn)移至相鄰支路(圖1(d))，再合并電流源(圖1(e))，其中IS1=IS12-IS31、IS2=IS23-IS12、IS3=IS31-IS23，最后等效為有伴電壓源的Y形電路，如圖1(f)所示.

圖1 有伴電壓源△形電路等效變換

其中

(1)

(2)

1.2 有伴電壓源Y形電路等效變換

對于圖1(f)所示的有伴電壓源Y形電路，可先將其內(nèi)部Y形電阻電路等效為△形電路(圖2(a))，再利用電源轉(zhuǎn)移法[2]，將圖2(a)中各電壓源轉(zhuǎn)移到相鄰支路中去,即圖2(b)，最后合并各支路的電壓源，得到圖1(a)所示的有伴電壓源△形電路.

圖2 有伴電壓源Y形電路等效變換

其中

(3)

(4)

2 無伴電源Y-△聯(lián)結(jié)等效變換理論推導(dǎo)

由于有伴電流源可等效為有伴電壓源，電流源串聯(lián)電阻對外等效可舍去其串聯(lián)電阻，Y-△聯(lián)結(jié)電路的含源支路除了有伴電壓源外，還有無伴電壓源和無伴電流源兩種形式. 采用適當(dāng)方法可從有伴電壓源Y-△等效變換公式直接推出各種情況的變換算式. 因為無伴電壓源的串聯(lián)電阻為0、無伴電流源的并聯(lián)電阻為∞，在計算中可將0值電阻設(shè)為極小電阻R0、∞值電阻設(shè)為極大電阻R∞，計算后再令R0=0和R∞=∞. 此外，若電壓源US=0，則電壓源為短路；電流源IS=0，則電流源為開路. 以含無伴電壓源和無伴電流源的Y形電路為例，如圖3(a)所示：設(shè)R1=R1∞=∞、R2=R20=0，則由式(3)可得R12=R1∞(1+R20/R3)=R1∞、R23=R3(1+R20/R1∞)=R3、R31=R1∞(1+R3/R20)=R1∞R3/R20；由式(4)可得：US12=R1∞IS1、US23=US2-US3、US31= -R1∞IS1. 由于變換所得為有伴電壓源△形電路，故須對變換后有阻值為∞的支路再變換為有伴電流源，故IS12=US12/R12=R1∞IS1/R1∞=IS1，并聯(lián)電阻為R12=∞；IS31=US31/R31=-R1∞R20IS1/R1∞R3=-R20IS1/R3=0，并聯(lián)電阻為R31=∞，顯然支路31為開路. 最后所得的△形等效電路如圖3(b)所示.

圖3 含無伴電源Y形電路等效變換

3 有伴電源Y-△聯(lián)結(jié)等效變換一覽表

為方便應(yīng)用，表1給出了常見有伴電源Y-△聯(lián)結(jié)的等效變換，從中也可以推出含無伴電壓源的變換電路和算式. 需要說明的是，表1“有伴電壓源的Y形和△形電路”由Y→△(或△→Y)的變換是單向的，即先作Y→△，再由△→Y變換到Y(jié)(記為Y′)，Y和Y′形電路中的電源參數(shù)是不同的，這是因為Y→△變換中用到了無伴電壓源轉(zhuǎn)移變換，△→Y變換中用到無伴電流源轉(zhuǎn)移變換，而這兩種電源轉(zhuǎn)移變換之間并不是等效變換. 但Y→△和△→Y都是對外等效的，若將Y、△和Y′接入相同的外電路，外電路的響應(yīng)將保持不變. 此外，Y和Y′形電路中的電阻參數(shù)保持不變，是因為在變換中電阻本身只作了運算，沒有變換. 同理，表1中的其他變換亦是單向的, 示例如圖4所示.

表1 有伴電源Y-△聯(lián)結(jié)等效變換

Y形

計算表明圖4中各電路均有

4 結(jié)束語

為將電源等效變換分析法的應(yīng)用從含源串并聯(lián)電阻電路拓展為含源Y-△聯(lián)結(jié)電路，以便于學(xué)生學(xué)習(xí)和分析電路，我們研究了有伴電源Y-△聯(lián)結(jié)的等效變換，包括有伴電壓源Y-△聯(lián)結(jié)等效變換和各支路含無伴電壓源和無伴電流源的等效變換. 這一變換還可用于含內(nèi)阻三相電源的等效和含源二端口網(wǎng)絡(luò)的分析.