李 娃
(金華市永康中學 浙江 金華 321300)
“專題教學”一般指的是以某一類知識或思想、方法等為內容載體,以梳理數學知識、探索解題策略、掌握思想方法等為目標,而開展的一系列教學。其特點是,數學問題的系列性、數學知識的綜合性、思想方法的收斂性?!白兪浇虒W”是基于數學知識和數學問題的相似性、聯(lián)系性與結構性,從已經提出和解決的數學問題出發(fā),通過改變問題的情境、條件、障礙或目標,提出蘊含著新的數學概念、原理、方法或結論的新問題的教學。 《義務教育數學課程標準2022版》指出,初中階段數學核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)為:抽象能力、運算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、數據觀念、模型觀念、應用意識、創(chuàng)新意識。 中考前的最后復習階段是進一步促進數學核心素養(yǎng)發(fā)展的關鍵時期,而專題復習課中恰當的變式教學的建構為核心素養(yǎng)的發(fā)展搭建了很好的平臺,下面就以專題課“隱圓”為例,談談變式教學如何建構。
1.1 分析題目已知和未知條件,經歷如何想到構造圓、如何構造圓的過程,從圓的定義著手實現(xiàn)隱圓的構造。
1.2 在隱圓構造的過程中,如旋轉構圓、滑動構圓、折疊構圓、對稱構圓……它們的本質都是定點定長,體會變中不變的化歸思想。
1.3 通過以上的過程,體會到從確定圓的方法著手,變幻出破解圓的隱身術的不同方法。
1.4 體會到模型的獲得首先需要對模型本身的特點、功能等掌握的基礎上,才能構造出相應的模型,體會模型思想在解決問題中的重要性。
1.5 促進學生的抽象能力、模型觀念、創(chuàng)新意識等核心素養(yǎng)的發(fā)展
2.1 解決問題與提出問題相結合。如在教師提出變式并解決之后,可以放手讓學生自行編擬變式題。
2.2 運用數學知識與建構數學模型相結合。如可以一邊利用圓的定義和性質解決問題,一邊建構出三種隱圓模型:定點定長型、定邊對定角型、四點共圓型。
2.3 掌握數學知識技能與發(fā)展數學關鍵能力相結合。如通過不斷的變式使學生掌握隱圓的三種模型,進而發(fā)展學生的數學抽象能力、數學建模能力、化歸能力。
如給出引題之后,讓學生自主思考,看誰的方法最多、最快。這樣學生就不會僅滿足于求出∠BDC的度數這個任務驅動,而會更深入地思考,找到一種既簡便又全面的方法,做出隱圓,從而把學生的思維導向這節(jié)課的主題——隱圓。
(1)引題——引出模型
例 1.如圖 1,在 ΔABC中,AB=AC,∠A=60°,點D在ΔABC的外部,且在BC的上方,如果AD=AB,那么∠BDC=____°.
圖1
圖2
圖3
圖4
圖5
圖6
設置此例為引題的目的是因為此題方法眾多,但有的方法很繁瑣,如生1的方法,而且還得對D點的位置進行分類,生2~生4的方法雖然簡便,但取的都是特殊位置,不全面,唯有生5的方法,既簡便、全面,又邏輯嚴密。學生從比較這幾種方法中,充分體會到作出隱圓后,可以利用圓的相關知識,如圓心角、圓周角,弦,弧等的關系來使解題過程優(yōu)化簡便,從而深刻認識到學習隱圓的必要性。
變式.如圖7,在四邊形ABCD中,DC∥AB,BC=1,AB=AC=AD=2,則BD的長為____.
圖7
在變式之后由學生及時提煉出第一種隱圓的模型:定點定長型。
(2)源題
例2.如圖8,正方形ABCD的邊長為2,將長為2的線段EF的兩端放在正方形的相鄰的兩邊上同時滑動,如果點E從點A出發(fā),按A→B滑動到B止,同時點F從點B出發(fā),按B→C滑動到C止,則線段EF的中點M經過的路徑長是____.
圖8
(3)漸變
可以通過改變載體如把正方形變成矩形、菱形等,也可以改變點的位置,或者加入動點,還可以改變運動的方式,如變旋轉為滑動、折疊、對稱等,或者改變問題的結論等,但不管怎么變,都是要形成定點、定長。在原題的基礎上,繼續(xù)變式:
變式1.如圖9,在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,點E、F分別是AB、BC邊上的兩動點,且EF=2,點M為EF的中點.連結DM,則DM的最小值是____.
圖9
圖10
變式2.在變式1的基礎上,取點N為AD邊上一動點,連結CN、MN,則CN+MN的最小值是____.
變式3.如圖11,在矩形ABCD中,AB=,AD=3,點P是AD邊上的一個動點,連結BP,將ΔABP沿BP折疊,A落在A'.
圖11
(1)連結A'D,則A'D的最小值是____.
(2)連結A'C,設A'C的中點為Q,當點P從點A出發(fā),沿邊AD運動到點D時停止運動,則點Q運動的路徑長是____.
(4)遞變
除了定點定長型還有什么情況下可以構圓?變式4~變式6設置的目的就是讓構圓模型的方法進一步延伸,提煉出定邊對定角型、四點共圓型。
變式4.如圖12,正方形ABCD中,AB=4,動點E從點A出發(fā)向點D運動,同時動點F從點D出發(fā)向點C運動,點E,F(xiàn)運動的速度相同,當它們到達各自終點時停止運動,運動過程中線段AF,BE相交于點P,則點P運動的路徑長是____.
圖12
變式5.如圖13,等邊三角形ABC的邊長為4,E、F分別是AC、BC邊上的兩個動點,且CE=BF,連結AF、BE,交點為P,則CP的最小值是____.
圖13
變式6.如圖14,等邊三角形ABC的邊長為4,P為AB邊上一動點,PD⊥BC,PE⊥AC,垂足分別為D、E,則DE的最小值為____.
圖14
(5)總結
由學生總結如何構圓,哪些情況可以構圓?圓可以解決哪些問題?怎么解決?
有了整體的教學設計后,教學中恰當的課堂提問能起到穿針引線的作用,有助于學生形成良好的知識和認知結構。在引題部分,教師可以追問生5為什么想到畫圓?由學生概括出這3條線段的特征:共端點等線段,然后聯(lián)系圓的定義抽象概括出第一種隱圓模型:定點定長型,培養(yǎng)學生的抽象概括能力。
教師繼續(xù)追問:哪些運動會出現(xiàn)這種情況?生:旋轉、滑動、折疊、對稱……
師:為什么這幾種運動可以構圓?
生:因為它們的本質都是定點定長。通過這些運動的變式,目的是讓學生體會變中不變的思想,進而培養(yǎng)學生的化歸能力。
變式4~變式6之后繼續(xù)讓學生抽象概括出隱圓的另兩種模型:定邊對定角型和四點共圓型,培養(yǎng)學生的模型觀念。
教師在變式時,要揭示變式產生的思維過程,然后可以放手讓學生自己提出變式,這樣做的目的是加強學生對這類問題的理解,逐漸把知識、方法內化,培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識。如在源題之后、漸變題之后讓學生接著變式。
生1:線段EF的中點M經過的路徑與正方形邊長圍成的面積是____.
生2:EF的兩個端點始終落在正方形的邊上,按逆時針方向滑動一周,線段EF的中點M經過的路徑長是____.線段EF的中點M經過的路徑與正方形邊長圍成的面積是____.
生3:如圖15,在矩形ABCD中,已知AB=2,AD=3,長為2的木棒EF緊貼著矩形的邊逆時針方向滑動一周,木棒的中點M經過的路徑長是____.中點M在運動過程中所圍成的圖形的面積是____.
圖15
生4:如圖16,矩形ABCD中,AB=2,AD=3,點F、N分別是AB、BC邊上的兩動點,點E在AD邊上且AE=2,將ΔAEF沿EF折疊形成ΔMEF,連結MN,DN,則DN+MN的最小值是____.
圖16
生5:如圖17,在邊長為2的菱形ABCD中,∠A=60°,M是AD邊的中點,N是AB邊上的一動點,將ΔAMN沿MN所在直線折疊得到ΔA'MN,連結A'C,則A'C長度的最小值是____.
圖17
本課中,利用變式教學把隱圓的問題串成串,教師幫助學生在復雜的問題中學會抽絲剝繭,運用數學思想,多題化歸,抽象概括出此類問題的三種基本模型,最終達到促進數學核心素養(yǎng)發(fā)展的目的。