李 娃
(金華市永康中學(xué) 浙江 金華 321300)
“專題教學(xué)”一般指的是以某一類知識或思想、方法等為內(nèi)容載體,以梳理數(shù)學(xué)知識、探索解題策略、掌握思想方法等為目標,而開展的一系列教學(xué)。其特點是,數(shù)學(xué)問題的系列性、數(shù)學(xué)知識的綜合性、思想方法的收斂性。“變式教學(xué)”是基于數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)問題的相似性、聯(lián)系性與結(jié)構(gòu)性,從已經(jīng)提出和解決的數(shù)學(xué)問題出發(fā),通過改變問題的情境、條件、障礙或目標,提出蘊含著新的數(shù)學(xué)概念、原理、方法或結(jié)論的新問題的教學(xué)。 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準2022版》指出,初中階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)為:抽象能力、運算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、數(shù)據(jù)觀念、模型觀念、應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識。 中考前的最后復(fù)習(xí)階段是進一步促進數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的關(guān)鍵時期,而專題復(fù)習(xí)課中恰當?shù)淖兪浇虒W(xué)的建構(gòu)為核心素養(yǎng)的發(fā)展搭建了很好的平臺,下面就以專題課“隱圓”為例,談?wù)勛兪浇虒W(xué)如何建構(gòu)。
1.1 分析題目已知和未知條件,經(jīng)歷如何想到構(gòu)造圓、如何構(gòu)造圓的過程,從圓的定義著手實現(xiàn)隱圓的構(gòu)造。
1.2 在隱圓構(gòu)造的過程中,如旋轉(zhuǎn)構(gòu)圓、滑動構(gòu)圓、折疊構(gòu)圓、對稱構(gòu)圓……它們的本質(zhì)都是定點定長,體會變中不變的化歸思想。
1.3 通過以上的過程,體會到從確定圓的方法著手,變幻出破解圓的隱身術(shù)的不同方法。
1.4 體會到模型的獲得首先需要對模型本身的特點、功能等掌握的基礎(chǔ)上,才能構(gòu)造出相應(yīng)的模型,體會模型思想在解決問題中的重要性。
1.5 促進學(xué)生的抽象能力、模型觀念、創(chuàng)新意識等核心素養(yǎng)的發(fā)展
2.1 解決問題與提出問題相結(jié)合。如在教師提出變式并解決之后,可以放手讓學(xué)生自行編擬變式題。
2.2 運用數(shù)學(xué)知識與建構(gòu)數(shù)學(xué)模型相結(jié)合。如可以一邊利用圓的定義和性質(zhì)解決問題,一邊建構(gòu)出三種隱圓模型:定點定長型、定邊對定角型、四點共圓型。
2.3 掌握數(shù)學(xué)知識技能與發(fā)展數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力相結(jié)合。如通過不斷的變式使學(xué)生掌握隱圓的三種模型,進而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力、數(shù)學(xué)建模能力、化歸能力。
如給出引題之后,讓學(xué)生自主思考,看誰的方法最多、最快。這樣學(xué)生就不會僅滿足于求出∠BDC的度數(shù)這個任務(wù)驅(qū)動,而會更深入地思考,找到一種既簡便又全面的方法,做出隱圓,從而把學(xué)生的思維導(dǎo)向這節(jié)課的主題——隱圓。
(1)引題——引出模型
例 1.如圖 1,在 ΔABC中,AB=AC,∠A=60°,點D在ΔABC的外部,且在BC的上方,如果AD=AB,那么∠BDC=____°.
圖1
圖2
圖3
圖4
圖5
圖6
設(shè)置此例為引題的目的是因為此題方法眾多,但有的方法很繁瑣,如生1的方法,而且還得對D點的位置進行分類,生2~生4的方法雖然簡便,但取的都是特殊位置,不全面,唯有生5的方法,既簡便、全面,又邏輯嚴密。學(xué)生從比較這幾種方法中,充分體會到作出隱圓后,可以利用圓的相關(guān)知識,如圓心角、圓周角,弦,弧等的關(guān)系來使解題過程優(yōu)化簡便,從而深刻認識到學(xué)習(xí)隱圓的必要性。
變式.如圖7,在四邊形ABCD中,DC∥AB,BC=1,AB=AC=AD=2,則BD的長為____.
圖7
在變式之后由學(xué)生及時提煉出第一種隱圓的模型:定點定長型。
(2)源題
例2.如圖8,正方形ABCD的邊長為2,將長為2的線段EF的兩端放在正方形的相鄰的兩邊上同時滑動,如果點E從點A出發(fā),按A→B滑動到B止,同時點F從點B出發(fā),按B→C滑動到C止,則線段EF的中點M經(jīng)過的路徑長是____.
圖8
(3)漸變
可以通過改變載體如把正方形變成矩形、菱形等,也可以改變點的位置,或者加入動點,還可以改變運動的方式,如變旋轉(zhuǎn)為滑動、折疊、對稱等,或者改變問題的結(jié)論等,但不管怎么變,都是要形成定點、定長。在原題的基礎(chǔ)上,繼續(xù)變式:
變式1.如圖9,在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,點E、F分別是AB、BC邊上的兩動點,且EF=2,點M為EF的中點.連結(jié)DM,則DM的最小值是____.
圖9
圖10
變式2.在變式1的基礎(chǔ)上,取點N為AD邊上一動點,連結(jié)CN、MN,則CN+MN的最小值是____.
變式3.如圖11,在矩形ABCD中,AB=,AD=3,點P是AD邊上的一個動點,連結(jié)BP,將ΔABP沿BP折疊,A落在A'.
圖11
(1)連結(jié)A'D,則A'D的最小值是____.
(2)連結(jié)A'C,設(shè)A'C的中點為Q,當點P從點A出發(fā),沿邊AD運動到點D時停止運動,則點Q運動的路徑長是____.
(4)遞變
除了定點定長型還有什么情況下可以構(gòu)圓?變式4~變式6設(shè)置的目的就是讓構(gòu)圓模型的方法進一步延伸,提煉出定邊對定角型、四點共圓型。
變式4.如圖12,正方形ABCD中,AB=4,動點E從點A出發(fā)向點D運動,同時動點F從點D出發(fā)向點C運動,點E,F(xiàn)運動的速度相同,當它們到達各自終點時停止運動,運動過程中線段AF,BE相交于點P,則點P運動的路徑長是____.
圖12
變式5.如圖13,等邊三角形ABC的邊長為4,E、F分別是AC、BC邊上的兩個動點,且CE=BF,連結(jié)AF、BE,交點為P,則CP的最小值是____.
圖13
變式6.如圖14,等邊三角形ABC的邊長為4,P為AB邊上一動點,PD⊥BC,PE⊥AC,垂足分別為D、E,則DE的最小值為____.
圖14
(5)總結(jié)
由學(xué)生總結(jié)如何構(gòu)圓,哪些情況可以構(gòu)圓?圓可以解決哪些問題?怎么解決?
有了整體的教學(xué)設(shè)計后,教學(xué)中恰當?shù)恼n堂提問能起到穿針引線的作用,有助于學(xué)生形成良好的知識和認知結(jié)構(gòu)。在引題部分,教師可以追問生5為什么想到畫圓?由學(xué)生概括出這3條線段的特征:共端點等線段,然后聯(lián)系圓的定義抽象概括出第一種隱圓模型:定點定長型,培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力。
教師繼續(xù)追問:哪些運動會出現(xiàn)這種情況?生:旋轉(zhuǎn)、滑動、折疊、對稱……
師:為什么這幾種運動可以構(gòu)圓?
生:因為它們的本質(zhì)都是定點定長。通過這些運動的變式,目的是讓學(xué)生體會變中不變的思想,進而培養(yǎng)學(xué)生的化歸能力。
變式4~變式6之后繼續(xù)讓學(xué)生抽象概括出隱圓的另兩種模型:定邊對定角型和四點共圓型,培養(yǎng)學(xué)生的模型觀念。
教師在變式時,要揭示變式產(chǎn)生的思維過程,然后可以放手讓學(xué)生自己提出變式,這樣做的目的是加強學(xué)生對這類問題的理解,逐漸把知識、方法內(nèi)化,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識。如在源題之后、漸變題之后讓學(xué)生接著變式。
生1:線段EF的中點M經(jīng)過的路徑與正方形邊長圍成的面積是____.
生2:EF的兩個端點始終落在正方形的邊上,按逆時針方向滑動一周,線段EF的中點M經(jīng)過的路徑長是____.線段EF的中點M經(jīng)過的路徑與正方形邊長圍成的面積是____.
生3:如圖15,在矩形ABCD中,已知AB=2,AD=3,長為2的木棒EF緊貼著矩形的邊逆時針方向滑動一周,木棒的中點M經(jīng)過的路徑長是____.中點M在運動過程中所圍成的圖形的面積是____.
圖15
生4:如圖16,矩形ABCD中,AB=2,AD=3,點F、N分別是AB、BC邊上的兩動點,點E在AD邊上且AE=2,將ΔAEF沿EF折疊形成ΔMEF,連結(jié)MN,DN,則DN+MN的最小值是____.
圖16
生5:如圖17,在邊長為2的菱形ABCD中,∠A=60°,M是AD邊的中點,N是AB邊上的一動點,將ΔAMN沿MN所在直線折疊得到ΔA'MN,連結(jié)A'C,則A'C長度的最小值是____.
圖17
本課中,利用變式教學(xué)把隱圓的問題串成串,教師幫助學(xué)生在復(fù)雜的問題中學(xué)會抽絲剝繭,運用數(shù)學(xué)思想,多題化歸,抽象概括出此類問題的三種基本模型,最終達到促進數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的目的。