許春玲，孫穎異

(1.長春人文學院公共計算機教研部，吉林 長春 130117；2.吉林農(nóng)業(yè)大學經(jīng)濟管理學院，吉林 長春 130118)

0 引言

近年來，移動機械臂在工業(yè)、農(nóng)業(yè)、醫(yī)療服務、地質(zhì)調(diào)查、災害救援等領域得到了廣泛應用[1-3].根據(jù)移動機械臂運行模式，可以將其劃分為4種類型：輪式移動機械臂、履帶式移動機械臂、腿式移動機械臂和混合式移動機械臂.結合任務實際需求和運行工況，上述4種移動機械臂均能在各自領域發(fā)揮自己長處，順利完成分配任務.由于輪式移動機械臂具有結構靈活、工作空間范圍廣、便于控制等優(yōu)點，受到了學者們的廣泛關注[4-5]，其中，輪式移動機械臂的軌跡跟蹤控制問題始終是移動機械臂研究的熱點和難點問題.

從數(shù)學角度出發(fā)，輪式移動機械臂的軌跡跟蹤控制問題可以通過適當逼近技術轉化為時變逆運動求解問題，即求解一類非線性時變問題[6-7].針對非線性時變問題，學者們提出了許多算法進行數(shù)值求解，例如：靜態(tài)優(yōu)化算法[8-9]和神經(jīng)網(wǎng)絡算法[10-11].針對靜態(tài)優(yōu)化算法，由于算法設計過程中沒有考慮時間信息，因此這類算法適合時不變非線性問題求解，對于時變非線性問題求解存在誤差大、效率低等缺陷，不符合實際工程求解要求，因此該算法泛化能力較差.一般地，神經(jīng)網(wǎng)絡算法具有并行處理問題能力，極大地提高了算法的計算效率，得到了學者們的青睞[12-13].以負梯度信息構建的梯度神經(jīng)網(wǎng)絡具有較好的收斂性能，在許多實際問題求解過程中發(fā)揮著重要作用.Zhang等[14]基于梯度下降思想設計了常數(shù)矩陣求解算法，而對于時變矩陣問題求解則是構建了梯度神經(jīng)網(wǎng)絡，通過嚴格的理論分析，證明了該類網(wǎng)絡具有漸近收斂性.

針對移動機械臂軌跡跟蹤控制問題，Dong等[15]利用徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡對外部干擾進行補償，基于滑?？刂品椒ㄔO計控制器解決了軌跡跟蹤問題.針對具有參數(shù)和非參數(shù)不確定性的動態(tài)系統(tǒng)問題，Li等[16]提出一種魯棒自適應控制器，利用自適應控制技術補償參數(shù)不確定性，并采用滑?？刂埔种朴薪绺蓴_.針對系統(tǒng)存在的不確定性和擾動，Zhao等[17]提出一種魯棒控制策略解決軌跡跟蹤問題.但是該算法在實際應用中不能保證實時性.對具有非線性、非完整約束和不確定性的移動機械臂，Qiu等[18]在控制器設計過程中引入了集成反饋技術，以減小系統(tǒng)的軌跡跟蹤誤差.傳統(tǒng)控制算法需要建立動力學模型，在模型建立上比運動學模型復雜.

針對輪式移動機械臂軌跡跟蹤控制問題，本文構建了輪式移動機械臂運動學數(shù)學模型，設計了一類梯度神經(jīng)網(wǎng)絡控制器，考慮了無噪聲和有噪聲兩種工況，仿真結果驗證了算法的可行性、有效性和優(yōu)越性，為輪式移動機械臂實際應用奠定算法框架.

1 輪式移動機械臂運動學模型構建

輪式移動機械臂是由移動平臺和機械臂兩個主要部件構成，其中機械臂是一類四自由度的開鏈結構，4個關節(jié)均為轉動關節(jié)；移動平臺為四輪獨立驅(qū)動的移動平臺，如圖1所示.為了描述輪式移動機械臂運動學數(shù)學模型，需要確定機械臂各個連桿間的相對位置和方向以及機械臂與移動平臺相對位置和方向，建立的坐標系如圖2所示.

圖1 輪式移動機械臂模型

圖2 移動平臺俯視圖及相關參數(shù)

輪式移動機械臂4個連桿采用4個運動學參數(shù)變量描述，其中2個參數(shù)變量代表連桿本身，2個參數(shù)變量代表連桿之間連接關系.根據(jù)Denavit-Hartenberg(D-H)方法建立輪式移動機械臂運動學模型，這里θi(i=1，2，3，4)代表機械臂關節(jié)角位移；ψi(i=1，2，3，4)代表移動平臺的4個輪子旋轉角度.機械臂各個構件單元具體參數(shù)變量如表1所示.根據(jù)D-H法可以得出機械臂各個關節(jié)角的角位移和連桿之間旋轉關系，從而得出機械臂整體姿態(tài)與位置[19]，表達式

f(?)=rb.

(1)

其中：?為機械臂各個關節(jié)末端位置，rb為矢量方向，f(·)為非線性映射算子.

表1 各個變量取值范圍

考慮移動平臺為非完整約束情況，從而輪式移動機械臂的兩個子系統(tǒng)均屬于剛性系統(tǒng)，其僅在XOY平面內(nèi)運動.此外，為了簡化問題復雜程度，不考慮移動平臺側滑情況，同時要求移動平臺4個輪子的速度嚴格垂直于傳動軸，移動平臺各個構件單元參數(shù)變量如表2所示.

表2 移動平臺的參數(shù)

根據(jù)上述假設條件，結合移動平臺各個構件單元間的幾何關系，建立運動學表達式

(2)

進一步有:

利用變換矩陣將運動方程從基坐標系轉化為世界坐標系，并將機械臂末端執(zhí)行器的位置方程與世界坐標系聯(lián)立，輪式移動機械臂的機械臂部分的全局運動學方程即為機器臂在世界坐標系中末端位置的運動學方程.通過對時間t進行求導計算，得到移動機器臂在世界坐標系下運動學方程

(3)

其中

將上式關于時間t求導，可以得到全局坐標系下輪式移動機械臂的運動學方程

(4)

其中

經(jīng)簡化后得到輪式移動機械臂的運動學方程

(5)

其中:

令q=[ψ，?T]T代表輪式移動機械臂的角度向量，其中包括移動平臺的輪子轉動角度和機械臂各關節(jié)的轉動角度，從而得到等式：

(6)

其中I為單位矩陣.系數(shù)矩陣G定義為

為了方便，輪式移動機械臂的全局運動學模型轉化為

zd=δ(q，t).

(7)

因此，輪式移動機械臂軌跡跟蹤問題可以轉化為時變矩陣方程求解問題，可以通過設計求解矩陣方程的算法設計輪式移動機械臂軌跡跟蹤控制器.

2 梯度神經(jīng)網(wǎng)絡控制器設計

時變矩陣方程組求解問題是在實際工程中普遍存在的問題.許多實際問題都可以通過適當逼近技術轉化為時變矩陣方程組問題，因此時變矩陣方程組求解變得尤為重要.一般地，矩陣方程組求解方法可以劃分為兩類：時不變矩陣方程組求解方法；時變矩陣方程組求解方法.求解時不變矩陣方程組問題可以通過數(shù)字計算機進行串行算法計算，這種方法對于時不變矩陣方程組求解非常有效.對于時變矩陣方程組求解問題，提出了并行計算算法，例如，神經(jīng)網(wǎng)絡方法.從理論角度分析，它可以高效地求解時變矩陣方程組問題.因此，本文提出了一種梯度神經(jīng)網(wǎng)絡方法求解輪式移動機械臂軌跡跟蹤控制問題，其本質(zhì)上是求解時變矩陣方程組問題.

輪式移動機械臂軌跡跟蹤控制問題可以轉化為時變矩陣方程組求解問題.定義時變誤差函數(shù)

(8)

當t→∞時，ε(t)→0，從而zd→δ(q，t).實際上，上述誤差函數(shù)可用適當逼近技術轉化為時變矩陣方程組

A(t)X(t)-I=0.

其中:A(t)代表誤差函數(shù)時變系數(shù)矩陣，X(t)代表時變未知矩陣，I為單位矩陣.

(9)

其中γ為正常數(shù)，可以用來調(diào)節(jié)梯度神經(jīng)動力系統(tǒng)的收斂速率.將誤差函數(shù)ε(t)代入梯度神經(jīng)動力系統(tǒng)，從而得到梯度神經(jīng)網(wǎng)絡

(10)

定理2.1[20]考慮非奇異時變矩陣A(t)∈Rn×n，設定初始狀態(tài)X(0)=X0∈Rn×n，則梯度神經(jīng)網(wǎng)絡全局指數(shù)收斂到理論解X*(t)∈Rn×n.

3 數(shù)值仿真實驗

為了驗證本文提出的梯度神經(jīng)網(wǎng)絡控制算法的可行性和有效性，將程序代碼在Matlab 7.1環(huán)境下運行，選用CPU為奔騰(R)，2.19 GHz，1 GB內(nèi)存.在輪式移動機械臂可達空間范圍內(nèi)，設定移動平臺4個輪子的期望軌跡和機械臂的期望軌跡，通過仿真實驗驗證本文算法能否確保輪式移動機械臂末端執(zhí)行器跟蹤期望軌跡.輪式移動機械臂的末端執(zhí)行器跟隨期望軌跡變量的初始狀態(tài)：

α(0)=xd(0)=yd(0)=0，γ=1 000.

3.1 無噪聲干擾情況

在無噪聲干擾情況下，為了實現(xiàn)輪式移動機械臂軌跡跟蹤控制，根據(jù)梯度神經(jīng)網(wǎng)絡控制器設定梯度神經(jīng)網(wǎng)絡參數(shù)為γ=1 000，仿真時間為70 s，輪式移動機械臂跟蹤軌跡為類“8”字形運動軌跡，仿真結果如圖3—6所示.圖3為無噪聲情況下輪式移動機械臂跟蹤軌跡3維圖和俯視圖；圖4為無噪聲情況下輪式移動機械臂位置誤差及其誤差變化率.數(shù)值結果表明，本文提出的梯度神經(jīng)網(wǎng)絡控制器能夠較好地實現(xiàn)輪式移動機械臂的軌跡跟蹤控制.從圖3和圖4可知，梯度神經(jīng)網(wǎng)絡控制器迅速實現(xiàn)輪式移動機械臂位置跟蹤誤差趨近于0，實現(xiàn)了軌跡跟蹤控制，系統(tǒng)迅速達到穩(wěn)定狀態(tài).

圖3 在無噪聲情況下輪式移動機械臂跟蹤軌跡3維圖

圖4 在無噪聲情況下輪式移動機械臂位置誤差及誤差變化率

圖5 在無噪聲情況下的位置跟蹤誤差

圖6 在無噪聲情況下位置誤差變化率

在無噪聲情況下，由圖5可知，梯度神經(jīng)網(wǎng)絡控制器實現(xiàn)了輪式移動機械臂位置跟蹤誤差的快速收斂，驗證了控制器的可行性和有效性.圖6為輪式移動機械臂在x軸、y軸和z軸上速度誤差變化情況.根據(jù)曲線變化情況可知，梯度神經(jīng)網(wǎng)絡控制器能夠保證輪式移動機械臂在實際工況下良好運行，算法證明了梯度神經(jīng)網(wǎng)絡控制器能夠完成軌跡跟蹤任務.從圖6可知，梯度神經(jīng)網(wǎng)絡控制器對位置誤差變化率控制不是十分理想.通過對程序運行結果的圖像進行局部放大分析發(fā)現(xiàn)誤差變化率存在震蕩現(xiàn)象，導致這一現(xiàn)象發(fā)生的原因可能是末端執(zhí)行器位置誤差變化率由差分形式計算得到，從而造成差分過程中累積誤差出現(xiàn)，使得末端執(zhí)行器速率變化不能夠較好地實現(xiàn)穩(wěn)定控制.因此在后續(xù)控制器設計中，應充分考慮末端執(zhí)行器速率變化控制，避免震蕩現(xiàn)象的發(fā)生.另外，輪式移動機械臂在實際應用過程中，應重點考察位置誤差和誤差變化率兩個指標，因此高精度控制算法變得尤為重要.一方面，本文提出的梯度神經(jīng)網(wǎng)絡控制器實現(xiàn)了較高精度輪式移動機械臂位置誤差變化，誤差變化小于10-4；另一方面，從圖5可知誤差變化率小于10-2，說明了該算法可以應用于輪式移動機械臂實際平臺.

圖7—8為無噪聲情況下機械臂關節(jié)角度和角速度曲線圖，驗證了機械臂能夠?qū)崿F(xiàn)穩(wěn)定的軌跡跟蹤控制，即移動平臺和機械臂的各個關節(jié)角能保持協(xié)調(diào)運動，為后續(xù)機械臂抓取任務的順利完成奠定算法框架.從圖7可知，結合梯度神經(jīng)網(wǎng)絡控制器，機械臂4個關節(jié)角均能實現(xiàn)穩(wěn)定運動，由于機械臂是一個四自由度的連桿機構，在機械臂運動初期，機械臂末端關節(jié)需要擺動較大角度才能實現(xiàn)穩(wěn)定運動，符合連桿機構運動特性.由圖8知，在無噪聲干擾情況下，機械臂各關節(jié)角的角速度在較短時間內(nèi)實現(xiàn)了穩(wěn)定運動，機械臂末端關節(jié)角速度穩(wěn)定性最好.另外，從圖形可知機械臂各個關節(jié)角速度為零，證明了輪式移動機械臂實現(xiàn)了穩(wěn)定的軌跡跟蹤任務.

圖7 在無噪聲情況下關節(jié)角位移曲線

圖8 在無噪聲情況下關節(jié)角速度曲線

圖9—10為無噪聲情況下移動平臺角度和角速度曲線圖.從圖9可知:本文提出的梯度神經(jīng)網(wǎng)絡控制器能夠較好控制移動平臺實現(xiàn)穩(wěn)定運動；根據(jù)本文設計梯度神經(jīng)網(wǎng)絡控制器，移動平臺4個輪子的角位移均能實現(xiàn)穩(wěn)定運動；由于移動平臺由四轉動自由度的輪子構成，在建模過程中，假設后面2個輪子從動于前面2個輪子，因此，后面2個輪子的角度軌跡是重合的，符合從動假設條件.由圖10可知，在不考慮噪聲情況下，移動平臺各個輪子角速度在較短時間內(nèi)迅速實現(xiàn)了穩(wěn)定運動.因此，利用梯度神經(jīng)網(wǎng)絡控制模型求解輪式移動機械臂的時變逆運動問題可以實現(xiàn)精確控制的目的，再次證明了移動平臺和機械臂的各個關節(jié)角和輪子旋轉角度能保持協(xié)調(diào)運動.

圖9 在無噪聲情況下車輪角度跟蹤軌跡

圖10 在無噪聲情況下車輪角速度跟蹤軌跡

在無噪聲干擾情況下，輪式移動機械臂采用本文提出的梯度神經(jīng)網(wǎng)絡控制器進行軌跡跟蹤，結果證明跟蹤效果良好，誤差在接受范圍之內(nèi).輪式移動機械臂運動學模型中機械臂的關節(jié)角度和角速度、移動平臺車輪的角度和角速度均能迅速收斂到穩(wěn)定狀態(tài)，實現(xiàn)了輪式移動機械臂的穩(wěn)定控制.

3.2 噪聲干擾情況

在許多科學和工程研究領域中，噪聲經(jīng)常出現(xiàn)，尤其是在實際工況環(huán)境下，噪聲是不可避免的.例如：在科學與計算領域，舍入誤差、階段誤差、模型近似、數(shù)值逼近等都可以看作為噪聲；在實際工程應用領域，電磁干擾、誤差信號、環(huán)境因素、物理模型參數(shù)擾動等會產(chǎn)生不可控制的噪聲.當系統(tǒng)受到噪聲干擾時，容易破壞系統(tǒng)穩(wěn)定性，從而使系統(tǒng)無法完成所分配的任務，因此噪聲抑制成為控制器設計的關鍵.本文提出的梯度神經(jīng)網(wǎng)絡控制器將有效抑制噪聲，實現(xiàn)輪式移動機械臂穩(wěn)定運動的目標.

在實際工況運行過程中，輪式移動機械臂易受到外部擾動、電磁干擾、信號誤差和參數(shù)攝動等因素的影響，這些因素可以作為噪聲伴隨在輪式移動機械臂系統(tǒng)運動過程中，因此，本文假設噪聲信號

N=[0.6sin(3t) 0.6sin(3t) 0.6sin(3t)]T.

梯度神經(jīng)網(wǎng)絡控制器參數(shù)設定不變，假設參數(shù)γ=1 000，仿真時間為70 s，輪式移動機械臂跟蹤軌跡為類“8”字形運動軌跡，仿真結果如圖11—14所示.

圖11 在噪聲情況下輪式移動機械臂跟蹤轉變3維圖

圖12 在噪聲情況下輪式移動機械臂位置誤差與誤差變化率

圖11為噪聲情況下輪式移動機械臂跟蹤軌跡三維圖和俯視圖，圖12為噪聲情況下輪式移動機械臂位置誤差及其誤差變化率.在噪聲干擾情況下，數(shù)值結果表明本文提出梯度神經(jīng)網(wǎng)絡控制器能夠較好抑制噪聲干擾，實現(xiàn)輪式移動機械臂的軌跡跟蹤控制.從圖11可知，輪式移動機械臂有效地跟蹤了“8”字形期望運動軌跡，在“8”字形期望運動軌跡中存在4處轉彎路徑，一般情況下，輪式移動機械臂在運動到轉彎處時需要實時調(diào)整移動平臺4個輪子，跟蹤期望運動軌跡.但是，如果在轉彎處控制器不能進行有效控制，輪式移動機械臂將不能有效跟蹤期望運動軌跡，因此本文在梯度神經(jīng)網(wǎng)絡控制器調(diào)節(jié)下，輪式移動機械臂實現(xiàn)了穩(wěn)定運動.

圖13 在噪聲情況下位置跟蹤誤差

圖14 在噪聲情況下位置誤差變化率

由圖13可知，在噪聲干擾情況下，梯度神經(jīng)網(wǎng)絡控制器仍能有效控制輪式移動機械臂，實現(xiàn)了位置跟蹤，有效地抑制了噪聲干擾，說明了本文提出的梯度神經(jīng)網(wǎng)絡控制器的有效性和優(yōu)越性.圖14表示輪式移動機械臂在噪聲干擾情況下，移動平臺在x軸、y軸和z軸上誤差變化率，從圖14曲線變化情況可知，梯度神經(jīng)網(wǎng)絡控制器能夠在較短時間內(nèi)實現(xiàn)誤差變化率的穩(wěn)定控制，確保了輪式移動機械臂在噪聲干擾工況下仍然能夠進行穩(wěn)定運行，驗證了梯度神經(jīng)網(wǎng)絡控制器能夠有效抑制噪聲干擾，從而實現(xiàn)軌跡跟蹤的任務.在噪聲干擾情況下，本文提出的梯度神經(jīng)網(wǎng)絡控制器迅速實現(xiàn)輪式移動機械臂位置跟蹤誤差趨近于0，位置誤差變化率迅速收斂到0，這表明梯度神經(jīng)網(wǎng)絡控制器有效抑制了噪聲干擾，實現(xiàn)了移動平臺和機械臂的軌跡跟蹤控制，從而使得輪式移動機械臂達到穩(wěn)定狀態(tài).

在噪聲干擾情況下，圖15—16為輪式移動機械臂各個關節(jié)角度和角速度曲線圖.從圖15中可知，雖然輪式移動機械臂系統(tǒng)存在噪聲干擾，但是機械臂在梯度神經(jīng)網(wǎng)絡控制器調(diào)節(jié)下能夠?qū)崿F(xiàn)穩(wěn)定運動.圖15表明，機械臂末端需要根據(jù)機械臂前3個連桿機構運動情況進行調(diào)整，從而使機械臂末端關節(jié)擺動較大.機械臂末端實現(xiàn)精準控制對輪式移動機械臂系統(tǒng)實際工程應用具有十分重要的意義，如輪式移動機械臂抓取任務.在實際工況環(huán)境下，噪聲干擾會破壞輪式移動機械臂系統(tǒng)的穩(wěn)定運動，從而導致輪式移動機械臂任務失敗.圖16為機械臂各個關節(jié)角速度變化情況，系統(tǒng)運行初期誤差變化較大，但在較短時間內(nèi)，機械臂各個關節(jié)角速度趨近于0，說明了梯度神經(jīng)網(wǎng)絡控制器在噪聲干擾情況下也能夠快速收斂，實現(xiàn)了穩(wěn)定運動.因此，梯度神經(jīng)網(wǎng)絡控制器實現(xiàn)了輪式移動機械臂軌跡跟蹤，具有較好的噪聲抑制能力，說明了本文控制算法具有可行性、有效性和優(yōu)越性.圖16仿真結果表明，梯度神經(jīng)網(wǎng)絡控制器能夠很好地完成軌跡跟蹤任務.在仿真實驗過程中，機械臂各個關節(jié)角度位置誤差較大時，輪式移動機械臂并沒有出現(xiàn)明顯抖振現(xiàn)象，因此梯度神經(jīng)網(wǎng)絡控制器可以確保其平穩(wěn)運行.另外，在輪式移動機械臂系統(tǒng)受到噪聲干擾情況下，機械臂末端執(zhí)行器的實際運動軌跡完美地跟蹤了期望軌跡，再次表明了本文提出的梯度神經(jīng)網(wǎng)絡控制器成功地實現(xiàn)了軌跡跟蹤任務.

圖15 在噪聲情況下關節(jié)角位移曲線

圖16 在噪聲情況下關節(jié)角速度曲線

在噪聲干擾情況下，機械臂關節(jié)角度變化較大，但是移動平臺和機械臂仍然能夠保持協(xié)調(diào)運動，確保完成軌跡跟蹤任務.圖17—18為移動平臺車輪的角度和角速度曲線變化圖.與無噪聲的情況對比，移動平臺的軌跡跟蹤角變化不大，角速度波動變大，調(diào)節(jié)時間變長.因此，利用梯度神經(jīng)網(wǎng)絡控制器實現(xiàn)了輪式移動機械臂的抗干擾控制.

圖17 在噪聲情況下車輪角度曲線

圖18 在噪聲情況下車輪角速度

本文提出的梯度神經(jīng)網(wǎng)絡控制器能夠?qū)崿F(xiàn)期望軌跡跟蹤，并且跟蹤效果良好，驗證了梯度神經(jīng)網(wǎng)絡控制器的強抗干擾能力.結合梯度神經(jīng)網(wǎng)絡控制器，雖然跟蹤誤差變大，調(diào)節(jié)時間變長，但是系統(tǒng)隨著時間增加趨于穩(wěn)定，仿真結果表明本文提出的梯度神經(jīng)網(wǎng)絡控制器在噪聲抑制方面是可行的和有效的.另外，輪式移動機械臂各個關節(jié)角度和關節(jié)角速度、移動平臺車輪的轉動角度和角速度均能收斂于期望角度和角速度，體現(xiàn)了梯度神經(jīng)網(wǎng)絡控制器在輪式移動機械臂軌跡跟蹤控制的優(yōu)越性和有效性，同時擁有較強的抗干擾能力.雖然使用該控制器不能完全消除噪聲干擾，但其控制噪聲干擾、保證系統(tǒng)正常運行的作用非常明顯.

4 總結

針對輪式移動機械臂的軌跡跟蹤控制問題，本文提出了移動平臺和機械臂一體化運動學數(shù)學模型，設計了一類梯度神經(jīng)網(wǎng)絡控制器，同時將軌跡跟蹤控制問題轉化為矩陣方程求解問題.結合梯度神經(jīng)網(wǎng)絡模型，在無噪聲干擾下，梯度神經(jīng)網(wǎng)絡控制器實現(xiàn)了輪式移動機械臂的軌跡跟蹤控制，為輪式移動機械臂工程實踐奠定了理論基礎和算法框架；在考慮到實際工況中噪聲無處不在，而且不可避免，本文提出的梯度神經(jīng)網(wǎng)絡控制器能夠有效地抑制噪聲干擾.數(shù)值實驗表明了梯度神經(jīng)網(wǎng)絡控制算法的可行性和有效性.在未來研究工作中，為了更好地抑制實際工況的各種噪聲，將構建抗噪型神經(jīng)網(wǎng)絡模型，實現(xiàn)輪式移動機械臂的軌跡跟蹤控制.