楊挪亞，李 崇

（大連理工大學(xué)物理學(xué)院，遼寧大連 116024）

0 引 言

1935 年，Einstein 等［1］提出EPR（Einstein-Podol‐sky-Rosen）佯謬，隨后，Schr?dinger 團(tuán)隊(duì)［2-3］提出量子糾纏的概念，從而揭示了量子理論的非局域特性，促使人們從理論和實(shí)驗(yàn)的角度來(lái)研究這種新的特性.量子非局域特性涉及量子關(guān)聯(lián)［4］、量子糾纏［1-3］、量子導(dǎo)引［2-3，5］和Bell 非局域性［6］等一系列概念.同時(shí)，學(xué)者們也在研究如何利用量子非局域性進(jìn)行高效、安全的計(jì)算、通訊和計(jì)量等，隨之而來(lái)誕生了量子信息學(xué)［7］和量子計(jì)量學(xué)［8］.

經(jīng)過(guò)近30 年突飛猛進(jìn)的發(fā)展，量子信息技術(shù)在理論和實(shí)驗(yàn)方面已經(jīng)取得了顯著的成果［9］.量子非局域性在量子信息過(guò)程中的應(yīng)用也取得了一定的進(jìn)展，但是量子導(dǎo)引在量子通訊過(guò)程中的作用仍沒(méi)有被研究清楚［10］.量子導(dǎo)引作為量子非局域關(guān)聯(lián)中重要的一種形式，具有非對(duì)稱性、單配性等獨(dú)特的性質(zhì)，其中非對(duì)稱性指量子導(dǎo)引雙方的地位不相同，而單配性指量子導(dǎo)引在多體間不能自由分享.這些獨(dú)特的性質(zhì)在通訊過(guò)程中會(huì)滿足若干特殊條件的通訊要求.因此，研究量子導(dǎo)引在量子通訊過(guò)程中的作用十分必要，量子導(dǎo)引也被視為多種量子信息過(guò)程中的一種有用資源.在與單邊設(shè)備無(wú)關(guān)的量子密鑰分發(fā)過(guò)程中，利用量子導(dǎo)引可以提高獲取密鑰的速率［11］；在子通道識(shí)別任務(wù)中，使用任意導(dǎo)引態(tài)都優(yōu)于非導(dǎo)引態(tài)，導(dǎo)引態(tài)能將任務(wù)完成得更好［12］；在雙方地位不對(duì)等的通訊過(guò)程中，必須利用量子導(dǎo)引的單向性才能使整個(gè)通訊過(guò)程安全、有效地完成［10］.研究量子導(dǎo)引在量子隱形傳態(tài)、遠(yuǎn)距離量子態(tài)制備和密集編碼等已有量子通訊過(guò)程中的作用，提高協(xié)議的效率、安全性以及具體效果具有十分重要的意義.

本文主要研究通道量子導(dǎo)引在遠(yuǎn)程量子態(tài)制備和量子隱形傳態(tài)這2 種量子通訊過(guò)程中發(fā)揮的作用.首先利用基于熵不等式的量子導(dǎo)引度量方式對(duì)選擇的通道量子態(tài)進(jìn)行度量，然后計(jì)算2 種過(guò)程中所使用通道量子態(tài)的保真度，再將得到的物理量進(jìn)行比較，最終得到通道量子導(dǎo)引對(duì)量子通訊過(guò)程的影響.

1 基于熵不等式的量子導(dǎo)引度量

自Wisemen 等［5］提出量子導(dǎo)引的具體數(shù)學(xué)形式以來(lái)，發(fā)展了多種判定量子導(dǎo)引的不等式以及度量方式，其各有不同的適用范圍及判定范圍［13］.為了度量量子態(tài)導(dǎo)引的程度與其參數(shù)的關(guān)系，本文選擇使用基于熵不等式的量子導(dǎo)引度量方式，對(duì)Alice 與Bob 共享的某個(gè)兩體量子態(tài)，可以用如下的公式計(jì)算量子態(tài)的導(dǎo)引［14］：

在量子通訊過(guò)程中，有多種不同的量子態(tài)可以作為量子通道使用.本文選取幾種常用的典型量子通道，基于這些量子通道進(jìn)行量子通訊過(guò)程，并研究這些量子通道的導(dǎo)引與保真度等物理量的關(guān)系.

二維Werner 態(tài)為［15］

2 保真度公式

保真度能定量地度量量子通訊過(guò)程中輸入量子態(tài)與輸出量子態(tài)之間的差別，關(guān)系到量子信息傳遞的可靠性，是量子通訊過(guò)程中非常關(guān)鍵的物理量.為了計(jì)算在量子通訊過(guò)程中使用多種量子通道的保真度等物理量，將二維量子態(tài)寫(xiě)成泡利矩陣的形式

同時(shí)，可以利用量子關(guān)聯(lián)來(lái)描述遠(yuǎn)程量子態(tài)制備過(guò)程的質(zhì)量，其表達(dá)式為［17］

式中E2和E3為式（7）中的系數(shù).此公式適用于大多數(shù)的量子態(tài)，能定量地描述量子態(tài)的幾何關(guān)聯(lián)，是描述量子關(guān)聯(lián)的一種簡(jiǎn)單、有效的形式.

在標(biāo)準(zhǔn)通道下的量子隱形傳態(tài)過(guò)程中，當(dāng)輸入態(tài)為某一純態(tài)|ψ>，通道量子態(tài)為二維量子態(tài)且包含貝爾態(tài)|?+>時(shí)，其保真度公式為［20］

式中ρ為隱形傳態(tài)過(guò)程中的通道量子態(tài).而當(dāng)通道量子態(tài)包含其他貝爾態(tài)時(shí)，將|?+>換作包含的貝爾態(tài)即可.此公式計(jì)算的是標(biāo)準(zhǔn)通道下的量子隱形傳態(tài)過(guò)程中，遍歷所有輸入態(tài)的保真度的平均值，但僅適用于輸入態(tài)為純態(tài)的情況.

本文只考慮較為簡(jiǎn)單的量子通訊過(guò)程，將利用已有公式對(duì)通道量子態(tài)進(jìn)行計(jì)算，并得到相應(yīng)的結(jié)果作比較.

3 結(jié)果與討論

首先，以二維Werner 態(tài)即式（3）為例進(jìn)行計(jì)算，根據(jù)式（1）可得

同理，利用式（9）計(jì)算得其量子關(guān)聯(lián)為

而在標(biāo)準(zhǔn)通道下的量子隱形傳態(tài)過(guò)程中，利用式（10）可得二維Werner 態(tài)的保真度為

同樣地，也可以計(jì)算得到二維Isotropic 態(tài)、X態(tài)（假定t=1/2）和α態(tài)的量子導(dǎo)引、量子關(guān)聯(lián)及保真度.

對(duì)上述量子態(tài)來(lái)說(shuō)，只有利用式（2）計(jì)算得SAB>0 時(shí)，量子態(tài)才為導(dǎo)引態(tài).因此，相應(yīng)的量子導(dǎo)引會(huì)出現(xiàn)拐點(diǎn)，拐點(diǎn)之后的量子態(tài)為導(dǎo)引態(tài)，本文重點(diǎn)關(guān)注拐點(diǎn)之后量子態(tài)的表現(xiàn).一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)遠(yuǎn)程量子態(tài)制備和量子隱形傳態(tài)過(guò)程的保真度>5/6 時(shí)，才具有真正的量子效應(yīng).因此，在本文以下的討論中，利用y=5/6 將對(duì)應(yīng)的線段標(biāo)注出來(lái)，用作與計(jì)算得到的保真度的對(duì)比，當(dāng)計(jì)算得到的保真度均<5/6時(shí)，標(biāo)注保真度的最大值.

對(duì)于遠(yuǎn)程量子態(tài)制備過(guò)程，將不同的量子態(tài)作為通道時(shí)，其量子導(dǎo)引、保真度和量子關(guān)聯(lián)與對(duì)應(yīng)參數(shù)的關(guān)系如圖1 所示. 在遠(yuǎn)程量子態(tài)制備過(guò)程中，4 種量子態(tài)的導(dǎo)引態(tài)（量子導(dǎo)引>0）的保真度和量子關(guān)聯(lián)比非導(dǎo)引態(tài)（量子導(dǎo)引<0）更高. 而對(duì)于導(dǎo)引態(tài)的部分，當(dāng)量子態(tài)的導(dǎo)引性逐漸增強(qiáng)時(shí)，遠(yuǎn)程量子態(tài)制備過(guò)程的保真度提高，量子關(guān)聯(lián)也同時(shí)變強(qiáng)，從而遠(yuǎn)程量子態(tài)制備過(guò)程的質(zhì)量也變高. 因此，通道量子導(dǎo)引對(duì)遠(yuǎn)程量子態(tài)制備過(guò)程的保真度和量子關(guān)聯(lián)具有正向影響，與遠(yuǎn)程量子態(tài)制備過(guò)程的質(zhì)量同調(diào).

圖1 遠(yuǎn)程量子態(tài)制備過(guò)程中不同通道量子態(tài)的物理量與其系數(shù)的關(guān)系

對(duì)于量子隱形傳態(tài)過(guò)程，將不同的量子態(tài)作為通道時(shí)，其量子導(dǎo)引和保真度與對(duì)應(yīng)參數(shù)的關(guān)系如圖2 所示. 在量子隱形傳態(tài)過(guò)程中，4 種量子態(tài)的導(dǎo)引態(tài)（量子導(dǎo)引>0）的保真度比非導(dǎo)引態(tài)（量子導(dǎo)引<0）更高. 而對(duì)于導(dǎo)引態(tài)的部分，當(dāng)量子態(tài)的導(dǎo)引性逐漸增強(qiáng)時(shí)，量子隱形傳態(tài)過(guò)程的保真度提高，從而量子隱形傳態(tài)過(guò)程的質(zhì)量也變高. 因此，通道量子導(dǎo)引對(duì)量子隱形傳態(tài)過(guò)程的保真度具有正向影響，與量子隱形傳態(tài)過(guò)程的質(zhì)量同調(diào).

圖2 量子隱形傳態(tài)過(guò)程中不同通道量子態(tài)的物理量與其系數(shù)的關(guān)系

4 總結(jié)與展望

本文通過(guò)計(jì)算作為通道的二維Werner 態(tài)、Iso‐tropic 態(tài)、X 態(tài)和α態(tài)在遠(yuǎn)程量子態(tài)制備及量子隱形傳態(tài)過(guò)程中通道量子態(tài)的量子導(dǎo)引和保真度等物理量，給出了通道量子態(tài)的量子導(dǎo)引和保真度等物理量與其參數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.計(jì)算結(jié)果表明，通道量子導(dǎo)引對(duì)2 種量子通訊過(guò)程中的保真度都具有正向影響.通道量子導(dǎo)引對(duì)更復(fù)雜的量子通訊過(guò)程的影響尚需進(jìn)一步研究，希望這方面的研究結(jié)果能夠促進(jìn)量子信息技術(shù)發(fā)展，也能夠讓量子導(dǎo)引在量子信息領(lǐng)域有更多的應(yīng)用.