袁嘉瑞， 丁 虎， 陳立群

（上海大學(xué) 力學(xué)與工程科學(xué)學(xué)院，上海 200444）

引 言

管道常見于化工、石油、核能和航空航天等領(lǐng)域內(nèi)的各種工程設(shè)施中.受限于飛機(jī)結(jié)構(gòu)，管道以各種形式與連接方式遍布于飛機(jī)全身，構(gòu)成復(fù)雜的管路系統(tǒng).在多重激勵的耦合作用下，管道在工作過程中不可避免地會產(chǎn)生振動，在內(nèi)部出現(xiàn)循環(huán)應(yīng)力，致使管道出現(xiàn)疲勞損傷[1]，甚至?xí)谀承O端振動環(huán)境下失效而導(dǎo)致液體泄漏并產(chǎn)生嚴(yán)重后果.因此，關(guān)于輸流管道振動方面的問題一直以來都是熱門課題.但是，大部分的研究都聚焦于具有理想結(jié)構(gòu)管道的振動問題[2-11].例如，Ding等針對非線性連續(xù)系統(tǒng)，建立了與兩個非線性隔振器耦合的輸流管道非線性受迫振動動力學(xué)模型[12].Tan等基于Timoshenko梁理論，推導(dǎo)出了輸流管道非線性耦合偏微分方程，揭示了超臨界狀態(tài)下管道受迫振動的多重共振響應(yīng)[13].

然而由于加工誤差、工程限制或受到長期載荷作用等因素，大多數(shù)管道存在初始幾何缺陷，會出現(xiàn)輕微彎曲的現(xiàn)象.對于微曲管道的振動特性，很多學(xué)者也展開了相關(guān)研究，發(fā)現(xiàn)這些細(xì)小的缺陷會對結(jié)構(gòu)的振動特性產(chǎn)生較大的影響.Ye等研究了流速在超臨界范圍內(nèi)的輸流微曲管道的橫向自由振動特性[14].Akintoye等研究了熱載荷作用下不同邊界條件對微曲管道非線性動力學(xué)的影響[15].Li等研究了輸送脈動流體的微曲管道的非線性振動[16].以上的研究都是基于Euler-Bernoulli梁理論對微曲輸流管道進(jìn)行動力學(xué)建模，并未考慮剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量的影響.而考慮這些因素后的Timoshenko模型不僅在分析短粗管道結(jié)構(gòu)時比Euler-Bernoulli模型精確，而且在分析高頻振動，如飛機(jī)上管路由于高頻激勵產(chǎn)生響應(yīng)的情況時，具有更高的精度.

另一方面，具有復(fù)雜結(jié)構(gòu)管道且考慮流體影響的振動問題，難以采用解析或半解析的方法進(jìn)行分析.而借助有限元軟件進(jìn)行仿真，就能有效地模擬流體與管道之間復(fù)雜的耦合方式.ANSYS作為典型的有限元仿真軟件[17-18]，其中的濕模態(tài)模塊可以分析管道充液時的模態(tài).然而，在計入流體速度以后，采用軟件中的流固耦合模塊進(jìn)行模態(tài)分析時，只能計入流體對管道的壓力影響，不能計入流體質(zhì)量流動產(chǎn)生的影響.因此，無法分析流體流速對管道振動特征的影響.對此，李占營等基于ANSYS二次開發(fā)自定義管單元，建立了輸流管道的有限元模型，能考慮流體流速的影響[19].隨后，李繼世等利用ANSYS中現(xiàn)有單元結(jié)構(gòu)的優(yōu)勢，在ANSYS中通過引入自定義剛度、阻尼單元來等效流體流動的影響，實現(xiàn)了計入流體流動影響的管道固有振動特征計算[20].此外，胡效東等基于ANSYS商用軟件，研究了管道濕模態(tài)振動特性[21]；田曉潔等通過ANSYS中的acoustic extension模塊考慮了外部海水的附加質(zhì)量作用，對氣液兩相流海洋立管進(jìn)行了模態(tài)分析和動力學(xué)分析[22].需要指出的是，上述文獻(xiàn)采用有限元軟件進(jìn)行數(shù)值分析的管道模型多為等截面的直管，對于常見于工程中的微曲管道的有限元數(shù)值仿真分析方法尚需要進(jìn)一步研究.

本文首先提出了基于Timoshenko梁理論假設(shè)的微曲輸流管道的動力學(xué)模型，通過廣義Hamilton原理導(dǎo)出微曲管道橫向振動的控制方程.通過Galerkin截斷結(jié)合廣義本征值方法，解析分析了輸流管道橫向振動的固有頻率.基于ANSYS軟件，分別用濕模態(tài)模塊與流體等效影響法對充液與流體有流速的情況進(jìn)行分析，實現(xiàn)解析分析結(jié)果與有限元數(shù)值仿真結(jié)果的相互驗證.

1 理論模型

如圖1所示，管道兩端為簡支邊界，其縱向振動幅值微弱，可忽略不計，只考慮管道的橫向振動.管道密度為ρp，跨度為L，橫截面外徑為D，內(nèi)徑為d，截面繞中性軸的轉(zhuǎn)動慣量為Ip，剪切模量為G，彈性模量為E.管內(nèi)介質(zhì)為不可壓縮流體，密度為ρf，以恒定的流速Γ在管內(nèi)流動.v為管道的橫向位移，Y(x)為管道的初始永久變形，可用正弦函數(shù)表示：

圖1 微曲管道模型Fig.1 The physical model for a slightly curved pipe

式中A0為初始中點撓度，其值遠(yuǎn)小于管道跨度，可將管道與流體微元長度近似為dx.則微曲管道與流體的動能分別為

管道的應(yīng)變勢能為

其中σx和εx分別為正應(yīng)力和Lagrange應(yīng)變，τyx和γyx分別為表示剪應(yīng)力和剪應(yīng)變.管道應(yīng)變-位移關(guān)系為

視管道材料為彈性材料，滿足如下關(guān)系：

式中ks為Timoshenko管道的橫截面形狀系數(shù)，其定義式為

其中μ 為Poisson比.基于廣義Hamilton原理

導(dǎo)出如下微曲管道橫向振動的非線性偏微分-積分控制方程組：

略去控制方程中管道材料的非線性項，得到控制方程(8)的線性派生系統(tǒng)：

兩端簡支的邊界條件可以表示為

2 Galerkin截斷

將方程(9)的解離散成具有2n個廣義坐標(biāo)的常微分方程組，位移變量的表達(dá)式如下:

其中

由于管道為簡支邊界，?v(x)和 ?φ(x)可選為

根據(jù)Galerkin截斷思想，將式(13)代入式(9)，然后兩式等號兩邊分別再同時乘以權(quán)函數(shù)，其形式與試函數(shù)相同，即?v(x)和 ?φ(x).然后對x從0到L進(jìn)行積分，得到如下矩陣形式的表達(dá)式：

其中M，G，K分別為積分后得到的質(zhì)量、陀螺與剛度矩陣.根據(jù)系統(tǒng)振動規(guī)律，假設(shè)q=Qeiωt，Q為一維常數(shù)列向量.將其代入式(14)中，得到代數(shù)方程組：

上式存在非零解的條件為方程組的系數(shù)矩陣H的行列式為零：

確定截斷階數(shù)后，即可計算出微曲管道流固耦合振動的固有頻率.

3 數(shù)值仿真

3.1 濕模態(tài)分析

本文采用ANSYS Workbench中的濕模態(tài)（modal acoustics）模塊仿真計算液體無流速充液狀態(tài)下的管道振動的固有頻率和模態(tài).

3.2 等效流體影響

根據(jù)控制方程(9)，考慮流體介質(zhì)的影響主要為兩個方面：質(zhì)量和流速.在ANSYS中分別采用相應(yīng)的等效方式：流體質(zhì)量影響等效為附加質(zhì)量，而由流速產(chǎn)生的陀螺項以及剛度變化可在仿真軟件中分別等效為附加阻尼和附加剛度[17].相應(yīng)地，考慮單元選擇為Pipe288單元（二節(jié)點直線型管單元）以及Matrix27單元（自定義單元）.其中附加質(zhì)量可直接在管單元截面參數(shù)中設(shè)置：

如圖2所示，Lp為單元長度，L0為單元長度的二分之一，Vi，Vj分別為i，j節(jié)點沿y軸方向的位移，θz,j分別為i，j節(jié)點繞z軸方向的轉(zhuǎn)角.單元中任意一點沿x，y，z三個方向的位移分別用U，V，W表示，其中y方向的位移形式如下：

圖2 二節(jié)點線（管）單元模型示意圖Fig.2 The model for a 2-node line element

則可以將式(18)寫成

式中NT為形函數(shù).由輸流微曲管道橫向振動的控制方程(9)能夠得到附加的等效剛度矩陣Ky為

同理，等效阻尼矩陣Cy為

由于本文僅考慮輸流管道在y方向上的橫向振動，則x，z方向均無附加剛度、阻尼矩陣.根據(jù)ANSYS中的位移陣列模式，節(jié)點位移定義為

則整體矩陣階數(shù)應(yīng)為12，按照上述位移順序疊加x，y，z三個方向的等效剛度和阻尼矩陣，即可得到整體附加剛度和阻尼矩陣.在ANSYS中設(shè)置過程如下：1) 以xOy平面為基礎(chǔ)，x方向為縱向，y方向為橫向，通過Pipe288單元建立微曲管道的模型.由于管道初始變形遠(yuǎn)小于管道跨度，則單元兩端點因初始變形產(chǎn)生的y軸方向坐標(biāo)之差可以忽略，可近似認(rèn)為單元長度等于其兩端點的x軸坐標(biāo)差值.2) 通過Matrix27單元定義相應(yīng)的等效剛度、等效阻尼單元，并將其分配到每個Pipe288單元的兩節(jié)點之間.3) 設(shè)置邊界條件，只考慮約束單元在z軸方向上的自由度，最后，采用modal-QR damp模塊進(jìn)行分析.

4 固有頻率

本文算例采用液壓管道（1Cr18Ni9），基本參數(shù)由表1給出.采用四階Galerkin截斷計算管道的前四階固有頻率，并通過ANSYS軟件仿真進(jìn)行對比驗證.

表1 1Cr18Ni9輸流管道與流體參數(shù)Table 1 Physical parameters of the 1Cr18Ni9 pipe and fluid

圖3顯示了管道在充液狀態(tài)下，兩種方法求解得到的不同初始中點撓度下固有頻率變化曲線，Galerkin截斷結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果幾乎一致.結(jié)果表明，初始中點撓度對微曲管道的固有頻率具有一定的影響，在充液狀態(tài)時，隨著初始彎曲幅度的增加，管道橫向振動的固有頻率會明顯增大.

圖3 初始中點撓度對充液狀態(tài)微曲管道固有頻率的影響：（a）第一和第二階固有頻率；（b）第三和第四階固有頻率Fig.3 Effects of the initial deflection on natural frequencies of the slightly curved pipe in a liquid-filled state: (a) the 1st and 2nd natural frequencies;(b) the 3rd and 4th natural frequencies

當(dāng)考慮管內(nèi)流體具有流速時，數(shù)值仿真過程采用等效流體影響法.圖4給出了當(dāng)流速達(dá)到60 m/s時，初始彎曲幅度對微曲管道橫向振動固有頻率的影響趨勢.管道的固有頻率變化趨勢與充液狀態(tài)下一致.但是，液體流動的速度會降低管道前四階固有振動頻率.

圖4 彎曲幅度對微曲輸流管道橫向振動固有頻率的影響：（a）第一和二階固有頻率；（b）第三和第四階固有頻率Fig.4 Effects of the initial deflection on natural frequencies of the slightly curved pipe with flowing fluid: (a) the 1st and 2nd natural frequencies;(b) the 3rd and 4th natural frequencies

圖5、圖6給出了不同流速下兩種方法計算得到的微曲管道橫向振動前四階固有頻率的對比.結(jié)果顯示，微曲管道的固有頻率隨著管道內(nèi)流速增大而減小，不同的彎曲幅度都存在臨界流速，當(dāng)達(dá)到臨界流速時，管道的第一階固有頻率將降低至零.對比發(fā)現(xiàn)，較大的初始彎曲幅度會增大管道的臨界流速.

圖5 流速對微曲管道固有頻率的影響（A0=0.003 m）：（a）第一和第二階固有頻率；（b）第三和第四階固有頻率Fig.5 Effects of the fluid velocity on natural frequencies of the slightly curved pipe (A0=0.003 m): (a) the 1st and 2nd natural frequencies;(b) the 3rd and 4th natural frequencies

圖6 流速對微曲管道固有頻率的影響（A0=0.006 m）：（a）第一和第二階固有頻率；（b）第三和第四階固有頻率Fig.6 Effects of the fluid velocity on natural frequencies of the slightly curved pipe (A0=0.006 m): (a) the 1st and 2nd natural frequencies;(b) the 3rd and 4th natural frequencies

5 結(jié) 論

本文以微曲輸流管道為研究對象，基于Timoshenko梁理論，考慮了剪切變形與轉(zhuǎn)動慣量的影響，建立了輸流管道橫向振動的動力學(xué)模型.并基于ANSYS采用等效流體影響法建立了計入流速影響的微曲管道模型.發(fā)展Galerkin截斷與ANSYS數(shù)值仿真兩種方法分析了管道的固有振動頻率，通過對比，驗證了本文建立的模型和發(fā)展的分析方法的正確性.

探討了初始彎曲幅度和流體流速對微曲管道橫向振動固有頻率的影響.研究表明，初始彎曲幅度的增大會導(dǎo)致管道振動的部分階固有頻率增大，在考慮了流體對管道的影響后，微曲管道的固有頻率隨著管內(nèi)流體流速的增大而逐漸減小.當(dāng)流速達(dá)到臨界時，管道振動的固有頻率會降低至零，此時將會處于失穩(wěn)狀態(tài).而且初始彎曲會增大管道的臨界流速.總之，初始彎曲變形對輸流管道振動特性影響較大.因此，為了獲得正確可靠的結(jié)果，在分析輸流管道的振動特性時，需要計入管道的幾何缺陷或初始曲率的影響.

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