李崢彬，錢寧偉，肖奉英，沈逸舟，黃模佳

(南昌大學工程力學系，江西 南昌 330031)

彈簧常用于機械系統(tǒng)中，尤其在汽車懸架方面應用廣泛，彈簧的剛度、強度、穩(wěn)定性對機構整體的安全性起著重要作用[1-5]。錐形螺旋彈簧具有結構緊湊、穩(wěn)定性好的優(yōu)點，能夠減振和承受較大的荷載，但目前國內外對錐形螺旋彈簧剛度的研究還不夠全面，還沒有考慮彈簧絲傾斜度及彈簧徑徑比(即，彈簧絲直徑d和錐形螺旋彈簧圈最大半徑R1之比d/R1)影響的彈簧剛度表達式。Mohazzabi[6]研究了扭轉和純剪切對圓柱螺旋彈簧剛度的貢獻的公式，發(fā)現(xiàn)剪切變形對彈簧剛度的貢獻度與彈簧徑徑比有關；文獻[7]的研究結果表明，當螺旋彈簧的螺旋角α>9°時，需要考慮螺旋角及彎矩變形對彈簧剛度的影響。張健等[8]在彈簧剛度分析中考慮了彈簧絲彎曲變形對彈簧剛度的影響，但未考慮彈簧絲剪切變形對彈簧剛度的影響。張功學等[9]研究了彈簧絲在扭矩和彎矩作業(yè)下錐形螺旋彈簧絲橫截面上的應力分布。利用有限元軟件研究彈簧剛度已經(jīng)成為一種較為常用的研究方法和驗證方式，朱勛等[10]通過ABAQUS有限元軟件將彈簧經(jīng)典理論公式[11]與Ancker[12]提出的彈簧表達式進行了對比分析；周凱林等[13]利用ANSYS得到的有限元結果和理論解進行對比，最大誤差僅為5%；鐘文彬等[14]利用ANSYS和Pro/E的轉換接口，將彈簧三維實體模型導入進行有限元仿真計算。

到目前為止，考慮彈簧絲傾斜度和彈簧徑徑比效應的錐形螺旋彈簧剛度計算式還未給出。利用能量法，給出彈簧絲在組合(扭、彎、剪、拉壓)變形的變形能，利用外力功等于彈簧絲組合變形能，推導出包含彈簧絲傾斜度和彈簧徑徑比效應的錐形螺旋彈簧剛度計算式，比較了彈簧絲的扭轉變形、彎曲變形、剪切變形和拉壓變形對錐形螺旋彈簧剛度的貢獻量及其與彈簧絲傾斜度和彈簧徑徑比的關系。采用三維有限元數(shù)值仿真可以給出錐形螺旋彈簧變形與力之間的關系，本文推導的考慮彈簧絲傾斜度及彈簧徑徑比效應的錐形螺旋彈簧剛度表達式的計算值與有限元結果十分吻合；因此，本文給出錐形螺旋彈簧剛度計算式對錐形螺旋彈簧的工程設計和應用具有指導意義。

1 錐形螺旋彈簧的幾何參數(shù)

結構緊湊、穩(wěn)定性好的錐形螺旋彈簧常用來承受較大荷載或減振，錐形螺旋彈簧剛度的經(jīng)典計算式[11]為

(1)

式中：G為彈簧絲材料的剪切模量；d為彈簧絲直徑；n為彈簧圈數(shù)(沿彈簧軸線從起點開始每轉過2π為一圈，n不一定為整數(shù))；R1為錐形螺旋壓縮彈簧一端的最大半徑；R2為另一端的最小半徑；幾何參數(shù)示意圖如圖1。

圖1 錐形螺旋彈簧幾何示意圖Fig.1 Geometric sketch of conical coil spring

假設錐形螺旋彈簧的彈簧絲長為L，錐形螺旋彈簧的彈簧絲展開后為直線，直線的傾斜度為κ；即

(2)

式中：α為彈簧絲的傾斜角；κ稱為彈簧絲的傾斜度；h為錐形螺旋彈簧的高度。進一步假設錐形螺旋彈簧的彈簧圈半徑R(θ)從R1到R2隨角度θ線性變化；即

(3)

其中

(4)

稱為錐形螺旋彈簧的錐度參數(shù)。

在空間坐標系中，錐形螺旋彈簧的彈簧絲截面形心線上任一點參數(shù)坐標為

x=R(θ)cosθ,y=R(θ)sinθ,z=κS(θ)

(5)

其中S(θ)為彈簧絲從θ=0到θ的彈簧長度，顯然，我們有S(2nπ)=L(n為錐形螺旋彈簧的圈數(shù))。

式(5)給出的彈簧絲微段長度dS滿足

(6)

在式(6)中，可以僅保留錐度參數(shù)η的線性項，根據(jù)式(4)中的η2?1，得

(7)

結合式(7)與式(4)，將彈簧絲微段dS在彈簧絲全長上積分，得彈簧絲長度L與彈簧半徑和彈簧絲傾斜度κ的關系為

(8)

2 包含彈簧絲扭轉、彎曲、剪切、軸向變形能效應的錐形螺旋彈簧剛度

2.1 錐形螺旋彈簧的剛度

彈簧受到荷載作用時彈簧絲承受的軸力相對很小，由軸力引起的彈簧絲長度L的改變可以忽略不計；因此，根據(jù)式(2)，錐形螺旋彈簧在拉壓荷載P作用下，錐形螺旋彈簧載荷與變形量的關系為

P=KΔh=KLΔκ,P=KLζ

(9)

這里K為錐形螺旋彈簧的剛度，ζ為傾斜度的變化量。

ζ=Δκ

(10)

在經(jīng)典表達式(1)中，錐形螺旋彈簧剛度K由彈簧圈數(shù)n、彈簧圈的最大半徑R1和最小半徑R2、彈簧材料的剪切模量G、彈簧線徑d參數(shù)決定；但經(jīng)典表達式(1)中沒有包含彈簧絲傾斜度κ和彈簧徑徑比d/R1對錐形螺旋彈簧剛度的影響。

2.2 彈簧作用力與彈簧絲承受的扭矩、彎矩、剪力及軸力的關系式推導

錐形螺旋彈簧的一端固定，另一端受荷載P作用于彈簧圈正中心，將荷載P平移到彈簧絲橫截面中心等效成為力P和力矩PR。根據(jù)式(3)和式(9)可知等效力系中的力矩

PR=KLζR1(1-ηθ)

(11)

對作用于彈簧絲橫截面上的力P和力矩PR分解，將力P沿著彈簧螺旋線方向和垂直方向投影分別得軸力N和剪力Q，同理，將力矩PR等效分解為扭矩T和彎矩M；具體的受力分析如圖2(a)、(b)所示。

(a)

(b)圖2 錐形螺旋彈簧受力圖及彈簧絲橫截面受力圖Fig.2 Force diagram of Conical coil spring and cross section force diagram of spring wire

利用式(2)和式(9)～式(11)，可得錐形螺旋彈簧橫截面上的扭矩、彎矩、剪力和軸力的表達式

(12)

M=PRsinα=KLζR1(1-ηθ)κ

(13)

(14)

N=Psinα=KLζκ

(15)

2.3 彈簧絲組合變形能與外力功的求解

錐形螺旋彈簧受荷載P時產(chǎn)生的變形能全部積蓄在彈簧絲內；將式(12)～式(15)代入以下能量計算表達式，得彈簧絲內的扭轉變形能UT、彎曲變形能UM、剪切變形能UQ和軸向變形能UN

(16)

(17)

(18)

(19)

荷載P在錐形螺旋彈簧拉壓變形Δh上所做的功WP為

(20)

荷載P所做的功WP等于彈簧絲的組合變形能；即

WP=UT+UM+UQ+UN

(21)

2.4 考慮傾斜度及徑徑比的錐形螺旋彈簧剛度表達式

材料拉壓彈性模量與剪切彈性模量的關系為E=2G(1+ν)，聯(lián)立式(16)～式(21)，得錐形螺旋彈簧剛度表達式

(22)

彈簧剛度K主要由彈簧絲扭轉變形、彎曲變形、剪切變形、軸向變形的能力影響；彈簧絲的扭轉變形最易產(chǎn)生，扭轉變形能最大；彈簧絲的軸向拉壓變形最難發(fā)生，拉壓變形能最小，彈簧絲的長度改變量可以忽略不計。

彈簧的變形主要來自彈簧絲的扭轉變形；利用外力做功等于彈簧絲的扭轉變形能(即，WP=UT)，得錐形螺旋彈簧的扭轉剛度計算式

(23)

若不考慮錐形螺旋彈簧絲傾斜度的效應，取κ=0并將式(4)代入式(23)，得僅考慮扭轉變形能且不考慮彈簧絲傾斜度的錐形螺旋彈簧剛度表達式

(24)

式(23)的退化表達式(24)與錐形螺旋彈簧剛度經(jīng)典表達式(1)完全一致。

由于式(4)中的η2?1，將式(22)對錐度參數(shù)η進行泰勒展開，僅保留η的線性項，最終得到考慮彈簧絲傾斜度及彈簧徑徑比效應的錐形螺旋彈簧剛度計算式

K=Kγ(1+γM+γQ+γN)+
ηKλ(1+λM+λQ+λN)

(25)

(26)

η的線性項為彈簧錐度參數(shù)的影響項；當η=0，式(25)退化為圓柱螺旋彈簧的剛度計算式；當η≠0，式(25)為錐形螺旋彈簧的剛度計算表達式；彈簧絲的軸力變形對彈簧剛度的影響很小，γN和λN的效應可以忽略不計。在式(26)中，γM和λM是彈簧絲的彎曲變形對彈簧剛度的影響系數(shù)，考慮了彈簧絲傾斜度對錐形螺旋彈簧剛度的效應；在式(26)中，γQ和λQ為彈簧絲的剪切變形對彈簧剛度的影響系數(shù)，考慮了彈簧徑徑比對錐形螺旋彈簧剛度的效應。

3 錐形螺旋彈簧案例計算

根據(jù)第2節(jié)得到的考慮彈簧絲傾斜度及彈簧徑徑比效應的錐形螺旋彈簧剛度計算式進行案例計算，分析不同影響系數(shù)下彈簧剛度的變化，為了較為直觀地比較彈簧絲傾斜度及彈簧徑徑比對彈簧剛度的影響，案例以表格的形式對錐形螺旋彈簧進行分析。

主要計算兩類錐形螺旋彈簧：粗錐形螺旋彈簧如圖3(a)所示，細錐形螺旋彈簧如圖3(b)。

當彈簧絲直徑與彈簧圈最大半徑的比值大于0.3時，彈簧相對較粗，比值小于0.3時，彈簧相對較細?？偣灿嬎懔?2個案例，所有彈簧取同種材質，泊松比ν取0.3，圈數(shù)均為n=5，彈簧圈最大半徑R1=0.030 m，最小半徑R2=0.020 m，彈簧案例的具體計算結果如表1所示。

根據(jù)表1，比較案例1，4，7，10可知，當彈簧徑徑比相同時，彈簧絲傾斜度越大，彎矩變形對錐形螺旋彈簧剛度的影響也越大，傾斜度κ=0.4時，彎矩變形對錐形螺旋彈簧剛度的影響效應高達14.65%。比較案例1，2，3可知，當彈簧絲傾斜度相同時，彈簧徑徑比越大，剪切變形對錐形螺旋彈簧剛度的影響逐漸增加，徑徑比d/R1=0.4時，剪切變形的影響效應達到了3.70%。由此可見，當彈簧絲傾斜度和彈簧絲徑徑比較大時，由彈簧絲傾斜度引起的彎矩變形能影響效應和彈簧徑徑比引起的剪切變形能影響效應不能忽略。

(a)粗錐形螺旋彈簧

(b)細錐形螺旋彈簧

表1 錐形螺旋彈簧案例結果比較Tab.1 Comparison of spring case results

4 有限元仿真分析和驗證

為了驗證推導出的表達式計算結果的精確度，參考前人的研究成果，利用Solidworks軟件對錐形螺旋彈簧進行建模，并用ANSYS Workbench軟件對彈簧模型進行有限元分析計算。

為了研究彈簧絲傾斜度κ和彈簧徑徑比d/R1對錐形螺旋彈簧剛度的影響，建模時控制傾斜度κ和彈簧絲直徑d兩個參數(shù)的變化，其他參數(shù)R1=0.035 mm、R2=0.025 mm、n=5、ν=0.3、E=208 GPa保持不變；將裝配好的彈簧模型導入Workbench，定義彈簧材料的屬性，設置接觸和網(wǎng)格精度之后，在彈簧頂部正中心施加位移荷載P并設定大小，最后對模型進行運算。

依照上述方法，總共計算并提取了12個模型的有限元結果，將有限元結果分別與經(jīng)典表達式(式(1))和式(25)進行比較，相關的比較結果如表2所示。

從表2中可以看出，考慮了彈簧絲傾斜度和彈簧徑徑比效應的錐形螺旋彈簧剛度計算表達式得出的剛度值與有限元結果之間的誤差基本在1%以內，結果精確。觀察傾斜度較大、彈簧絲較粗的12號彈簧，考慮了彈簧絲傾斜度和彈簧徑徑比效應之后誤差降低了7%，其他傾斜度較大、彈簧絲較粗的錐形螺旋彈簧的剛度的誤差也能降低3%～6%。

由此可見，選擇本文推導出的錐形螺旋彈簧剛度表達式來計算彈簧剛度能夠更好地降低誤差、提高精度。

5 結論

利用能量法，考慮組合變形(扭、彎、剪、拉壓)的變形能對彈簧剛度的影響，推導出了新的錐形螺旋彈簧剛度計算表達式，進行了有限元仿真計算并與之對比驗證，得到如下結論：

(1)本文給出了考慮彈簧絲傾斜度及彈簧徑徑比效應的錐形螺旋彈簧剛度計算式，該表達式更具有一般性，該錐形螺旋彈簧表達式可退化為圓柱螺旋彈簧剛度計算式，也可退化為錐形螺旋彈簧剛度的經(jīng)典表達式。

(2)本文推導的錐形螺旋彈簧剛度表達式計算出的剛度和有限元結果，均證明彈簧絲傾斜度和彈簧徑徑比對彈簧剛度具有一定的影響。當彈簧絲傾斜度較大時，彈簧絲的彎曲變形對錐形螺旋彈簧剛度的影響較大；當彈簧絲較粗時，彈簧絲的剪切變形對錐形螺旋彈簧影響不能忽略；彈簧絲的拉壓變形對錐形螺旋彈簧剛度的影響很小，可以忽略。

(3)將本文推導出的表達式計算結果與有限元結果進行對比，數(shù)據(jù)吻合好，誤差小，驗證了本文推導出的錐形螺旋彈簧剛度表達式的正確性和精度，可供錐形螺旋彈簧的工程設計和應用參考。