蔡曉鋒，李春博，路祥，胡小榮

(南昌大學(xué)工程建設(shè)學(xué)院，江西 南昌 330031)

飽和黏性土在循環(huán)荷載作用下都會產(chǎn)生塑性變形[1]，為此，許多學(xué)者都提出了與之相應(yīng)的彈塑性本構(gòu)模型，如多面模型[2]、兩面模型[3]、邊界面模型[4]和次加載模型[5]等。其中，多面模型不能很好地反映棘輪效應(yīng)(塑性應(yīng)變的累積特性)；兩面模型不能體現(xiàn)曼辛效應(yīng)(滯回特性)且所預(yù)測的棘輪效應(yīng)過大；邊界面模型則需要判斷應(yīng)力是否位于當(dāng)前屈服面上，塑性模量只能通過插值法確定，且沒有對應(yīng)的顯式屈服面[6]。Hashiguchi等[7-10]在金屬材料次加載面模型的基礎(chǔ)上，又提出了適用于土體的次加載面模型。由于模型能夠很好地滿足土體在循環(huán)荷載作用下所具有的變形非線性和光滑特性，還能較好地反映曼辛效應(yīng)和棘輪效應(yīng)，目前已得到一定應(yīng)用[11-18]。其中，Zhou等[16]在次加載面模型和修正Druker-Prager屈服準(zhǔn)則的基礎(chǔ)上提出了于巖石的動本構(gòu)模型，但該準(zhǔn)則不能反映巖土的拉壓差效應(yīng)；孔亮等[17]基于廣義塑性力學(xué)，將雙屈服面模型和次加載面理論結(jié)合提出了適用于土體的動本構(gòu)模型，但無法很好地反映土體的多樣性；Xu等[18]采用反向的子彈狀屈服面，提出了適用于循環(huán)加載下的砂土次加載面模型，因仍沿用修正劍橋模型的破壞應(yīng)力比，故不能考慮中間主應(yīng)力影響。研究者多是通過p′-q平面上的臨界狀態(tài)橢圓形屈服面方程來建立土體的本構(gòu)模型，而破壞應(yīng)力比M作為關(guān)鍵參數(shù)，一般是通過土的強度準(zhǔn)則來確定。目前，針對土體的強度準(zhǔn)則有Druker-Prager準(zhǔn)則、Mohr-Coulomb準(zhǔn)則、Lade準(zhǔn)則、SMP準(zhǔn)則、雙剪統(tǒng)一屈服準(zhǔn)則和臨界狀態(tài)橢圓屈服準(zhǔn)則等。這些準(zhǔn)則各有各的不足，例如Mohr-Coulomb準(zhǔn)則不能反映中間主應(yīng)力效應(yīng)，Lade準(zhǔn)則不能反映土體拉壓差效應(yīng)。現(xiàn)有真三軸試驗表明，飽和黏性土的力學(xué)特性在很大程度上取決于中間主應(yīng)力[19]。而三剪統(tǒng)一強度準(zhǔn)則可體現(xiàn)土體強度的區(qū)間效應(yīng)、拉壓差效應(yīng)和中間主應(yīng)力效應(yīng)[20-21]，并且通過改變中主應(yīng)力影響系數(shù)可對其他任何準(zhǔn)則作非線性逼近。三剪統(tǒng)一強度準(zhǔn)則已被應(yīng)用于分析單調(diào)加載作用下的不同土體的力學(xué)特性分析[22-24]，還與邊界面模型理論相結(jié)合應(yīng)用于單調(diào)、循環(huán)荷載力學(xué)特性分析[25-26]。

本文采用三剪統(tǒng)一強度準(zhǔn)則和坐標(biāo)平移法推導(dǎo)出了能夠反映飽和黏性土的中間主應(yīng)力效應(yīng)、拉壓差效應(yīng)和區(qū)間效應(yīng)的三剪破壞應(yīng)力比，并通過替換修正劍橋模型的原本破壞應(yīng)力比得到正常固結(jié)飽和黏性土的三剪統(tǒng)一彈塑性本構(gòu)模型，結(jié)合次加載面理論，得到適用于分析循環(huán)荷載條件下的正常固結(jié)飽和黏性土力學(xué)特性的三剪次加載面本構(gòu)模型。對本文模型的3個材料參數(shù)進(jìn)行敏感性分析。將飽和Kaolin黏性土和Newfield 黏性土的固結(jié)不排水動三軸試驗結(jié)果、飽和Kaolin黏性土的雙面模型計算結(jié)果與本文模型的數(shù)值模擬結(jié)果分別做了對比，驗證所提三剪次加載面模型的適用性，并對所建立的本構(gòu)模型做了真三軸模擬對比分析。

1 三剪次加載面模型

1.1 三剪破壞應(yīng)力比

三剪統(tǒng)一強度準(zhǔn)則[20-21]為

(1)

q=Ap′sinφ′+Ac′cosφ′

(2)

其中，

修正劍橋模型的M為定值，在受力過程中不能很好地反映黏聚力對飽和黏性土的變形特性、中間主應(yīng)力效應(yīng)、應(yīng)力區(qū)間效應(yīng)和拉壓差效應(yīng)，故采用三剪統(tǒng)一強度極限線和坐標(biāo)平移法來確定破壞應(yīng)力比。坐標(biāo)平移法如圖1所示。

圖1 坐標(biāo)平移及其破壞應(yīng)力比Fig.1 Stress ratio of coordinate translation and extension failure

(3)

三剪破壞應(yīng)力比為

(4)

坐標(biāo)平移前后壓縮指數(shù)分別為

則有

即p′取何值，均有

(5)

其中

(6)

1.2 三剪次加載面模型各面方程

次加載面模型涉及3個重要的面：正常屈服面、次加載面(次屈服面)和相似中心面，當(dāng)前應(yīng)力點σ總是位于次加載面上，且在演化過程中次加載面與正常屈服面保持相似構(gòu)型，兩者具有一個相似中心S，該相似中心總是位于正常屈服面內(nèi)側(cè)。

1.2.1 三剪正常屈服面方程

正常屈服面方程

f(σy)=F(H)

(7)

式中：σy為當(dāng)前應(yīng)力狀態(tài)σ在正常屈服面上的對偶應(yīng)力；H為各向同性硬化變量；F為加載屈服面；f(σy)為屈服函數(shù)。根據(jù)臨界狀態(tài)土力學(xué)，正常固結(jié)飽和黏性土的正常屈服面方程f(σy)為

(8)

(9)

1.2.2 三剪次加載面方程

由于次加載面和正常屈服面保持幾何相似，故次加載面表達(dá)式為

(10)

(11)

1.2.3 三剪相似中心面方程及相似中心演化

相似中心面方程為[7]

(12)

(13)

并結(jié)合三剪屈服面函數(shù)，可得相似中心的演化方程為

(14)

式中：C為次加載面的材料常數(shù)，且C≥0；χ為次加載面的材料常數(shù)，且0≤χ<1，且為相似中心比RS的最大值；dεp為塑性應(yīng)變增量。

1.3 模型加卸載準(zhǔn)則及相似比R的確定

按照是否發(fā)生塑性變形，次加載面模型的加卸載準(zhǔn)則[27]如下。

(1)加載(dεp≠0)：

(15)

此時，次加載面在加載過程中不斷接近正常屈服面，相似比R也隨之增大，根據(jù)R應(yīng)滿足如下條件[27]

(16)

采用Hashiguchi等[7-8]提出的相似比演化方程

dR=U‖dεp‖=-ulnR‖dεp‖

(17)

式中：U為關(guān)于R的函數(shù)；u為次加載面的材料常數(shù)。

(2)卸載(dεp=0)：

(18)

此時，次加載面變小，只產(chǎn)生彈性變形，相似比R也隨之減小。相似比R由三剪次加載面函數(shù)并采用Newton-Raphson法確定。三剪次加載面幾何中心表達(dá)式為

(19)

將式(35)代入式(12)，可得

(20)

其中，

1.4 彈塑性剛度矩陣

(21)

式(10)和式(21)可進(jìn)一步推得

(22)

由式(10)和一致性條件可得

(23)

其中，

將式(22)代入到式(23)，并根據(jù)一致性條件可得

(24)

(25)

由彈塑性應(yīng)變的定義有

{dε}={dεe}+{dεp}

(26)

兩邊同乘以彈性模量[De]{dε}=[De]{dεe}+[De]{dεp}則有

[De]{dε}=[De]{dεe}+[De]{dεp}

(27)

由虎克定律得

{dσ′}=[De]{dεe}

(28)

由塑性位勢理論得

(29)

式中：Λ為非負(fù)塑性因子。將式(26)和式(29)代入式(28)得

(30)

對屈服函數(shù)求微分得

(31)

將式(30)代入式(31)得

(32)

將式(32)代入式(30)，得矩陣形式表示的彈塑性本構(gòu)關(guān)系式為

(33)

式中：Kp為塑性模量。彈塑性剛度矩陣為

(34)

2 模型參數(shù)的確定及其影響

正常固結(jié)飽和黏性土的三剪次加載面本構(gòu)模型共有9個模型參數(shù)：E，ν，c′，φ′，θ，b，u，C，χ。前6個參數(shù)同時決定了正常屈服面、次加載面和相似中心面的大小和位置變化，控制著模型預(yù)測結(jié)果的基本走向。后3個參數(shù)則是通過控制次加載面和相似中心面的演化速度來描述加卸載過程中的滯回圈大小以及累計塑性應(yīng)變。其中，傳統(tǒng)屈服面的本構(gòu)模型參數(shù)可由常規(guī)三軸試驗獲得，b值可根據(jù)中間主應(yīng)力的影響程度進(jìn)行確定。次加載面則有u，C，χ3個特有本構(gòu)模型參數(shù)，u是控制次加載面向正常屈服面貼近的速率參數(shù)，可由中等變形速率的應(yīng)力-應(yīng)變曲線的斜率初步確定，并加以修正。C的大小則影響著滯回曲線的寬度，也控制著曼辛系數(shù)的大小。χ是最大相似中心面與正常屈服面的比值，其值不超過1。從增量方程的本質(zhì)可知各參數(shù)間存在一定耦合關(guān)系，因此，針對試驗結(jié)果可選擇采用試錯法初步確定，再進(jìn)行調(diào)整，直至能合理地擬合土體的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系?？紤]到目前針對正常固結(jié)飽和黏性土的次加載面模型理論成果較少，故有必要針對次加載面模型的3個特有參數(shù)作進(jìn)一步分析。

采用Li等[28]所使用的飽和Kaolin黏土土性參數(shù)，分別改變次加載面的特有參數(shù)u，C，χ值，其原始值分別設(shè)為500，100，1。以此來討論3個模型材料常數(shù)對應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線的影響，結(jié)果如圖2所示。

由圖2(a)可知，參數(shù)u與飽和黏性土的塑性模量有關(guān)，u值越大，塑性模量也隨之增大，但u值接近于無窮大時，塑性模量與彈性模量相當(dāng)，即該模型與傳統(tǒng)的彈塑性模量一致；相反，u值越小，塑性模量則越小，產(chǎn)生的累積塑性應(yīng)變也越大，滯回圈的大小也相應(yīng)地增大。由圖2(b)可知，參數(shù)C對塑性模量的影響與u相似，但對于累積塑性應(yīng)變、滯回圈大小相比于u的影響要小一些。由圖2(c)可知，參數(shù)χ對飽和黏性土的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線影響較小，其值越大，對應(yīng)的累計塑性應(yīng)變也相對較大一些。

3 動三軸文獻(xiàn)試驗驗證

Li等[28]建立了循環(huán)荷載作用下的飽和黏性土兩面模型，并做了飽和Kaolin黏土在圍壓p=450 kPa、動應(yīng)力幅值qd=116 kPa的常規(guī)動三軸固結(jié)排水試驗驗證。為驗證所提本構(gòu)模型的正確性，采用其所得試驗結(jié)果、雙面模型模擬結(jié)果與本文模型模擬結(jié)果進(jìn)行對比。對于次加載面模型的3個參數(shù)采用試錯法，首先根據(jù)試驗結(jié)果的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線的斜率初步確定u為300，再對C進(jìn)行調(diào)整，得到擬合較好的應(yīng)力-應(yīng)變曲線位置，通過擬合發(fā)現(xiàn)C為370時擬合效果較好。通過敏感性分析發(fā)現(xiàn)χ的大小關(guān)系對循環(huán)荷載下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系影響并不明顯，考慮到相似中心面在實際試驗中相比正常屈服面偏小，故設(shè)為0.9。對比結(jié)果如圖3所示。

εq(a) 參數(shù)u影響分析

εq(b) 參數(shù)C影響分析

εq(c) 參數(shù)χ影響分析圖2 次加載面模型參數(shù)分析Fig.2 Parameter analysis of subloading surface model

由圖3(a)可知，本文所提模型的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系模擬結(jié)果與試驗結(jié)果吻合較好，隨著循環(huán)次數(shù)的不斷增加，所建模型的模擬結(jié)果不斷產(chǎn)生累計塑性應(yīng)變，且能夠形成滯回圈，與雙面模型模擬結(jié)果相比更接近試驗結(jié)果。由圖3(b)可知，在剛開始循環(huán)時模擬結(jié)果的孔隙水壓力相對試驗結(jié)果偏小，但隨著循環(huán)次數(shù)的增加，試驗結(jié)果與模型模擬結(jié)果越來越接近，隨著循環(huán)次數(shù)的增加，孔隙水壓力不斷變大，產(chǎn)生累計孔隙水壓力。表明三剪次加載面模型相較于雙面模型能更好地預(yù)測試驗結(jié)果，進(jìn)一步說明了本文模型的優(yōu)勢所在。

εq(a) q-εq

N(b) u-N圖3 試驗數(shù)據(jù)、雙面模型與本文模型模擬結(jié)果對比Fig.3 Experimental data are compared with the simulation results of the model

采用Sangrey等[29]所做的Newfield黏土固結(jié)不排水動三軸試驗結(jié)果與本文所提本構(gòu)模型進(jìn)行對比，試驗土樣孔隙比e0= 0.62，圍壓p=393 kPa，動應(yīng)力幅值qd=180 kPa。同理模型參數(shù)u，C，χ分別取為80，120，0.9。對比結(jié)果如圖4所示。

由圖4(a)可知，模型模擬結(jié)果在初始加載階段相對試驗結(jié)果偏大，但隨著后續(xù)的不斷加載卸載，其累積偏應(yīng)變與剪應(yīng)力的關(guān)系不斷接近試驗結(jié)果，且滯回圈不斷變密集，說明本文所提模型能較好地反映飽和黏性土的曼辛效應(yīng)、棘輪效應(yīng)以及應(yīng)力應(yīng)變曲線的非線性的特點。由圖4(b)可知，在剛開始循環(huán)時模擬結(jié)果的孔隙水壓力相對試驗結(jié)果偏小，但隨著循環(huán)次數(shù)的增加，兩者越來越接近。

4 動真三軸試驗?zāi)M

在真三軸壓縮條件下，研究飽和黏性土的力學(xué)特性，除了可進(jìn)行真三軸試驗外，將被常規(guī)三軸試驗驗證了的本構(gòu)模型應(yīng)用于真三軸數(shù)值模擬及其影響因素分析也是可行的。模擬應(yīng)力路徑為：(1)固結(jié)排水條件下對六面體單元的3個方向同時施加σ3′；(2)固結(jié)完成后一個σ3′保持不變，其余方向應(yīng)力增至σ2′，固結(jié)排水；(3)取一個σ2′不變，另一方向應(yīng)力逐漸增加到σ1′，固結(jié)不排水。以振動幅度qd進(jìn)行循環(huán)加卸載模擬。

εq(a) q-εq

εq(b) u-εq圖4 試驗數(shù)據(jù)與模型模擬結(jié)果對比Fig.4 Experimental data are compared with the simulation results of the model

真三軸循環(huán)加載模擬試驗取用Li等[28]飽和Kaolin黏性土的土性參數(shù)，中間主應(yīng)力影響系數(shù)b=0.5，為便于對比，次加載面理論的特有參數(shù)u，C，χ保持不變，即分別為300，0.9，370。真三軸循環(huán)加載模擬試驗方案見表1。

表1 真三軸循環(huán)加載模擬試驗方案Tab.1 True triaxial cyclic loading simulation test scheme

根據(jù)實驗方案進(jìn)行模擬實驗，在單一變量下，考察改變最小主應(yīng)力、中間主應(yīng)力，分別會對土體產(chǎn)生何種影響。模擬數(shù)值結(jié)果如圖5和圖6所示。

εq(a) (σ1-σ2)-εq

N(b) u-N圖5 中間主應(yīng)力影響Fig.5 Effect of intermediate principal stress

εq(a) (σ1-σ2)-εq

N(b) u-N圖6 最小主應(yīng)力影響Fig.6 Influence of minimum principal stress

由圖5和圖6可知，正常固結(jié)飽和黏性土的塑性偏應(yīng)變在加載前期發(fā)展較快，之后相對減?。粏我蛔兞肯?，分別增大最小主應(yīng)力和中間主應(yīng)力，均會增大土體的抗剪強度。局限于模型參數(shù)可能并不準(zhǔn)確，且由于未調(diào)整次加載面參數(shù)，所以其滯回圈模擬并不理想。另外，限于試驗條件，真三軸條件下的次加載面模型參數(shù)的試驗研究還需作進(jìn)一步努力。

5 結(jié)論

將三剪破壞應(yīng)力比替換修正劍橋模型的破壞應(yīng)力比，從而得到三剪統(tǒng)一彈塑性本構(gòu)模型。結(jié)合次加載面理論，得到適用循環(huán)荷載條件下的三剪次加載面模型，對比分析了次加載面的3個模型參數(shù)，做了飽和Kaolin黏土和Newfield 黏土的固結(jié)不排水動三軸文獻(xiàn)試驗驗證，采用飽和Kaolin黏土進(jìn)行循環(huán)真三軸數(shù)值模擬。結(jié)果如下：

(1) 所提出的三剪破壞應(yīng)力比有效克服了原修正劍橋模型中破壞應(yīng)力比為定值的不足，還能反映飽和黏性土黏聚力與全應(yīng)力狀態(tài)下土體的應(yīng)力應(yīng)變特性的影響。

(2) 所建立的三剪次加載面模型均能較好反映飽和黏性土的中間主應(yīng)力效應(yīng)、拉壓差效應(yīng)和區(qū)間效應(yīng)，可用于飽和黏性土在單調(diào)和循環(huán)荷載作用下的彈塑性分析。

(3) 以飽和Kaolin黏性土為試驗研究對象進(jìn)行次加載面特有參數(shù)影響分析，結(jié)果表明模型參數(shù)χ基本上不影響飽和黏性土應(yīng)力應(yīng)變的加載斜率，只是輕微影響滯回圈的大小及累積塑性應(yīng)變；參數(shù)C影響著飽和黏性土的塑性模量，C值越大，塑性模量越大，但C值接近于無窮大時，該模型與傳統(tǒng)的彈塑性模量一致；參數(shù)u對塑性模量的影響與參數(shù)C類似，只是u的影響比C的影響要大。

(4) 采用飽和Kaolin黏土、雙面模型模擬結(jié)果和Newfield 黏土固結(jié)不排水動三軸試驗分別與所建模型進(jìn)行比較，結(jié)果表明本文模型在循環(huán)荷載下有較好的預(yù)測能力，與文獻(xiàn)[28]的雙面模型模擬結(jié)果相比更接近真實試驗數(shù)據(jù)。隨著循環(huán)次數(shù)的不斷增加，所建模型的模擬結(jié)果能不斷產(chǎn)生累計塑性應(yīng)變和累積孔隙水壓力，且能夠形成滯回圈。

(5) 對飽和Kaolin黏土進(jìn)行循環(huán)荷載下真三軸模擬試驗驗證，結(jié)果表明最小主應(yīng)力或中間主應(yīng)力均與土體的抗剪強度呈正相關(guān)關(guān)系。但是孔隙水壓力隨著最小主應(yīng)力或中間主應(yīng)力的增加而減小。