蔡 浩，周星德

(河海大學(xué) 土木與交通學(xué)院，江蘇 南京 210098)

0 引言

微機電系統(tǒng)可以直接從工作環(huán)境中獲得能量，這對于存在環(huán)境激勵而又更換電池難的場合具有重要意義，已經(jīng)成為研究的熱點之一[1]。壓電俘能器有兩端固定式、一固一鉸式、懸臂式，可以適用于不同場合，其中，懸臂式壓電俘能器研究較多，文獻[2]提出增加壓電陶瓷鋪設(shè)數(shù)目來增大懸臂梁固有頻率，減小自由端最大位移，同時保持各監(jiān)測點應(yīng)變值不變。增大俘獲能量的方法主要有以下兩種：

1)采用并聯(lián)的方式[3]。雖然該方式結(jié)構(gòu)復(fù)雜，但在增加能量的同時，可以加寬帶寬。

2)采用變截面形式。近期有關(guān)此方面的研究較多，梁形式可以采用等厚度梯形[4-5]、等厚度矩形+三角形[6]、變厚度圓臺[7]等，結(jié)構(gòu)稍微復(fù)雜，但俘獲能量有明顯提高。為了進一步提高俘獲的能量，在采用變截面形式的前提下，近期出現(xiàn)了在梁基體上挖槽來提高俘獲能量的方式[8-9]，可以是等厚度單槽、等厚度多槽、變厚度單槽等，通過仿真可看出俘獲的能量得到提高。

目前有關(guān)梁基體挖槽的研究，梁形式還是采用矩形+三角形的模式，為了進一步提高俘獲的能量，本文提出了按指數(shù)變化的梁形式，以期獲得更大的俘獲能量，具體過程如下：

1)梁形式采用指數(shù)變化，并且內(nèi)部挖槽。

2)推導(dǎo)對應(yīng)的振動方程，確定振型表達式，進而寫出特征方程。

3)推導(dǎo)電壓和輸出功率表達式，并根據(jù)電壓和輸出功率確定最優(yōu)指數(shù)。

最后，本文給出一個仿真實例說明了該方法的有效性。

1 懸臂式壓電俘能器模型

1.1 模型詳圖

圖1為懸臂式壓電俘能器結(jié)構(gòu)圖(n>1)，圖中L為結(jié)構(gòu)截斷前的總長度,L1=L/3為結(jié)構(gòu)截斷后自由端與截斷前自由端的距離，L2=2L/3為結(jié)構(gòu)截斷前壓電片與自由端的距離，h為梁的總高度，bm為壓電片的寬度，br為梁固定端的寬度。結(jié)構(gòu)在x=L1處截斷并安裝電磁激勵器。

圖2為壓電俘能器第二部分詳圖，梁的總高度h=h1+h2+h3+hp，其中h2，hp分別為矩形槽和壓電片的厚度，h1、h3分別為矩形槽與梁上下端之間的距離。中性軸與壓電層中點的距離為yc。

1.2 運動方程

利用歐拉伯努利梁理論建立模型[10]為

f(x,t)

(1)

其中：

M(x,t)=E(x)I(x)?2y(x,t)/?x2

(2)

m(x)=ρA(x)

(3)

式中：M(x,t)，c(x)，m(x)，E(x)，I(x)分別為彎矩、阻尼系數(shù)、單位長度質(zhì)量、剛度和慣性矩；ρ為密度；y(x,t)為橫向位移；A(x)為橫截面積；f(x,t)為外激振力。

對于等厚度錐形梁，寬度b(x)=bL(x/L)n，其中bL為錐形梁固定端的寬度，錐形梁的彎曲程度由系數(shù)n決定，任意位置的橫截面積和任意位置的慣性矩為

A(x)=AL(x/L)n(0≤x≤L)

(4)

I(x)=IL(x/L)n(0≤x≤L)

(5)

AL=bLh(0≤x≤L)

(6)

(7)

無阻尼自由振動為

(8)

令梁的位移為y(x,t)=W(x)eiωt，其中ω為結(jié)構(gòu)的自振頻率，代入式(8)可得：

(9)

將式(4)、(5)代入式(9)可得：

(10)

將式(6)微分可得：

(11)

圖1中第一部分和第二部分的振型可表示為

(12)

(13)

λ4=16ρALω2L2/(EIL)

(14)

式中：AL，IL分別為x=L時的截面面積和慣性矩；Jn,Yn分別為第一、二類的n階貝塞爾函數(shù)；In,Kn分別為第一、二類的n階修正貝塞爾函數(shù)；C1,C2,C3,C4,C5,C6,C7,C8為待定常數(shù)。

圖2中第二部分結(jié)構(gòu)的中性軸Na(x)和每層的慣性矩Ij(x)分別為

(15)

(L2≤x≤L)

(16)

式中Ej,hj分別為第j層的楊氏模量和厚度，j與i取值分別為1，2，3，4和2，3，4。

將壓電層中點作為y0，y0到Na(x)的距離為

(L2≤x≤L)

(17)

1.3 邊界條件及連續(xù)性條件

1)當(dāng)x=L1時,有：

(18)

(19)

2)當(dāng)x=L時，有：

W2(L)=0

(20)

dW2(L)/dx=0

(21)

連續(xù)性條件為

當(dāng)x=L2時,有：

W1(L2)=W2(L2)

圖6為數(shù)值模擬得到的激光打孔中熔融物的噴濺過程圖，激光能量為21J。圖中深色與淺色部分分別表示氣體和鋁板，相交處是兩種物質(zhì)的過渡。由圖6(a)可知在打孔剛開始階段，熔融物噴濺行為還比較弱，此時孔內(nèi)的氣壓還比較小，且孔深還比較淺，孔壁比較平緩，熔融物的噴濺方向基本是垂直于材料表面的。在0.3～0.4 ms(圖6(b)、圖6(c))時，熔融物的噴濺行為比較劇烈，繼續(xù)到0.5 ms時(圖6(d))孔深進一步增加，可看到熔融物的噴濺開始減緩，這是由于孔形成后，底面變成了曲面，不利于熔融層內(nèi)形成這種壓力，再者孔壁的坡度逐漸增加，也增加了熔融物噴濺的難度。

(22)

(23)

(24)

(25)

1.4 受迫振動的解及輸出電壓

特征方程為

η8×8C8×1=0

(26)

式中：η為特征方程；C為模態(tài)系數(shù)向量，其表達式為

C=[C1,C2,C3,C4,C5,C6,C7,C8]T

(27)

令系數(shù)陣行列式為0可求系統(tǒng)特征值，即:

|η8×8|=0

(28)

在梁的端部施加荷載Psin(ω′t)(其中ω′為外激頻率)，則有：

y1,2(x,t)=W1,2(x)GL-1pW2(L)sin(ω′t)/α

(29)

其中：

(30)

(31)

式中ζ為阻尼比。

電磁激勵器通電后，線圈在梁端產(chǎn)生的力p[9]為

(32)

式中：Nc為線圈的轉(zhuǎn)數(shù)；I為通電線圈電流大??；A為橫截面積；D為永磁體的半徑。

由壓電片產(chǎn)生的輸出電壓為

(33)

(34)

(35)

(36)

式中Cp為電容。

2 仿真分析

利用第一節(jié)給出的模型，通過仿真對圖1、2所示的壓電俘能器的性能進行評估，梁和壓電貼片的尺寸如表1所示。

通過改變電磁激勵器的輸入值，使施加的外激力恒定為0.1 N,Cp=65 nF，壓電俘能器的ζ=0.002 2。圖3為使用MATLAB給出了當(dāng)錐形梁的彎曲程度系數(shù)n=1.8、1.6、0.8時，輸出電壓與外激頻率間的關(guān)系。

由圖3可知，將n=0.8～1.8時可得到不同n值對應(yīng)的輸出電壓，將n與輸出電壓進行回歸分析，得到的結(jié)果如圖4所示。

3 結(jié)束語

對于懸臂式壓電俘能器，文獻[8-10]已經(jīng)驗證了挖槽能夠提高輸出電壓，其梁形式采用矩形+三角形的簡單模式。為了進一步提高俘獲的能量，本文提出了按指數(shù)變化的梁形式，以期獲得更大的俘獲能量。通過仿真發(fā)現(xiàn),在保持梁長度不變的前提下，指數(shù)越大，則輸出電壓及功率越大，但系統(tǒng)的特征頻率也變大，因此，在實際應(yīng)用中應(yīng)根據(jù)實際需要確定合適的指數(shù)。