鄧義廷，方 針,2，彭 慧，馮 偉，劉 宇

(1.重慶郵電大學(xué) 自主導(dǎo)航與微系統(tǒng)重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400065; 2.中國電子科技集團(tuán)公司第二十六研究所，重慶 400060)

0 引言

微慣性測(cè)量單元(MIMU)雖已廣泛用于無人機(jī)、吊艙、慣性定位導(dǎo)航等各領(lǐng)域，但是微機(jī)電系統(tǒng)(MEMS)慣性器件的低精度和高漂移限制了系統(tǒng)的測(cè)量精度和性能，因此，MEMS陀螺儀的誤差分析和校正不補(bǔ)償具有重要意義[1-4]。

MEMS陀螺儀誤差包括系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差[5]。系統(tǒng)誤差能夠使用高精度轉(zhuǎn)臺(tái)設(shè)備校準(zhǔn)，以減小對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響[6]，而隨機(jī)漂移誤差是MEMS陀螺儀在外界因素的影響下偏離實(shí)際方向產(chǎn)生的，并隨時(shí)間和周圍環(huán)境條件不斷變化，難以用標(biāo)定進(jìn)行處理[7]。隨機(jī)誤差是提高M(jìn)EMS慣性器件精度的主要限制因素之一。目前用于MEMS慣性器件誤差分析的方法主要有時(shí)間序列分析法、Allan方差分析法和小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等[8]。

本文使用Allan方差分析陀螺儀的隨機(jī)噪聲，并對(duì)MEMS陀螺儀的隨機(jī)誤差進(jìn)行了時(shí)間序列分析和建模。然后在經(jīng)典卡爾曼濾波器的基礎(chǔ)上加入衰減因子和基于新息突變約束的誤差矩陣進(jìn)行自適應(yīng)估計(jì)補(bǔ)償，再結(jié)合MEMS陀螺儀試驗(yàn)，并利用Allan方差對(duì)濾波前后的數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比分析。

1 Allan方差分析原理

Allan方差分析常用于定量地對(duì)陀螺儀各項(xiàng)隨機(jī)誤差進(jìn)行辨識(shí)[9]，作為對(duì)MEMS陀螺儀濾波前后評(píng)價(jià)其性能的重要指標(biāo)。

(1)

Allan方差定義為

(2)

MEMS陀螺儀隨機(jī)噪聲主要包括量化噪聲、角度隨機(jī)游走、零偏不穩(wěn)定性、速率隨機(jī)游走及速率斜坡5種。本文使用Allan方差法進(jìn)行定性分析[9-10]，各種隨機(jī)誤差源與Allan方差的關(guān)系為

(3)

用最小二乘法對(duì)Allan方差的曲線進(jìn)行擬合，求得相應(yīng)參數(shù)。MEMS陀螺儀的隨機(jī)誤差的的計(jì)算公式和Allan方差對(duì)數(shù)圖如表1所示[9]。

表1 Allan分析與5種噪聲的對(duì)應(yīng)關(guān)系

Allan分析不一定能得出量化噪聲和速率斜坡結(jié)果，而由于MEMS陀螺儀中的隨機(jī)誤差主要包括角度隨機(jī)游走、零偏不穩(wěn)定性和隨機(jī)噪聲角速率隨機(jī)游走，因此，重點(diǎn)關(guān)注這3個(gè)誤差。另外再引入標(biāo)準(zhǔn)差判斷數(shù)據(jù)的離散性。

2 時(shí)間序列分析與建模

時(shí)間序列分析模型主要有自回歸模型(AR)、滑動(dòng)平均模型(MA)及自回歸滑動(dòng)平均模型(ARMA)。首先對(duì)采集的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，再判斷模型類別，估計(jì)模型參數(shù)[11]。

2.1 時(shí)間序列模型的確定

數(shù)據(jù)經(jīng)去粗差、去趨勢(shì)項(xiàng)及去周期項(xiàng)等預(yù)處理后，可以進(jìn)行時(shí)間序列模型建模[12]。通過自相關(guān)函數(shù)圖(ACF)和偏相關(guān)函數(shù)圖(PACF)的“拖尾/截尾”性質(zhì)識(shí)別時(shí)間序列的模型結(jié)構(gòu)[13]。對(duì)試驗(yàn)所用1號(hào)MEMS陀螺儀進(jìn)行自相關(guān)和偏自相關(guān)檢測(cè)，如圖1、2所示。

由圖1、2可得出試驗(yàn)所用1號(hào)MEMS陀螺儀的ACF圖和PACF圖都是拖尾，判斷對(duì)該陀螺儀建模采用ARMA模型。平穩(wěn)、正態(tài)時(shí)間序列xk的ARMA(p,q)模型[8]為

(4)

式中：φi(i=1,2,…,p)表示自回歸系數(shù)；θi(i=1,2,…,q)表示滑動(dòng)平均系數(shù)；εs,εt為新息；E(εt)是εt的方差；E(εtεs)，E(Xsεt)代表期望。

2.2 ARMA模型定階及參數(shù)確定

首先要確定ARMA模型的階數(shù)。常用的判斷方法有AIC準(zhǔn)則、BIC準(zhǔn)則、FPE準(zhǔn)則及新息值等[14]。此次建模選用AIC、BIC準(zhǔn)則判定模型階數(shù)。

赤池信息量準(zhǔn)則(AIC)是估計(jì)隨機(jī)序列模型階次的一種優(yōu)良的度量[14]:

(5)

貝葉斯信息準(zhǔn)則(BIC)與AIC類似，用于模型階數(shù)的選擇[14]:

BIC(p,q)=-2ln(L)+(p+q)ln(N)

(6)

式中：L為最大似然函數(shù)；N為樣本總數(shù)。

經(jīng)過AIC和BIC準(zhǔn)則計(jì)算，得到本文使用的1號(hào)MEMS陀螺儀的ARMA模型為ARMA(3,2)。

采用自回歸逼近法估計(jì)[11]本文ARMA模型參數(shù)。估計(jì)參數(shù)為：φ1=0.138 11，φ2=0.158 41，φ3=-0.110 56，θ1=0.273 14，θ2=-0.180 75。1號(hào)MEMS陀螺儀x軸ARMA模型的表達(dá)式為

xk=0.138 11xk-1+0.158 41xk-2-

0.110 56xk-3+εk-0.273 14εk-1+

0.180 75εk-2

(7)

3 卡爾曼濾波器設(shè)計(jì)

基于式(7)建立ARMA(3,2)模型，采用卡爾曼濾波對(duì)MEMS陀螺儀隨機(jī)誤差進(jìn)行補(bǔ)償。由ARMA(3,2)模型得到1號(hào)MEMS陀螺儀的狀態(tài)方程和量測(cè)方程可表示為

(8)

式中：Ak/k-1表示系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；Xk-1=[xk-1xk-2xk-3]T；Bk/k-1表示系統(tǒng)的噪聲矩陣；Qk-1表示k-1時(shí)刻的系統(tǒng)噪聲；Hk為k時(shí)刻的量測(cè)矩陣；Vk為k時(shí)刻的量測(cè)噪聲。采用文獻(xiàn)[14]中的設(shè)置方法得到濾波器參數(shù)為

(9)

(10)

(11)

傳統(tǒng)的卡爾曼濾波遞推方程[15]為

(12)

有時(shí)測(cè)試的數(shù)據(jù)中含有一些異常值，其量測(cè)方程為

zk=Hkxk+Vk+sigk

(13)

式中sigk為k時(shí)刻的異常測(cè)量值。含有異常值的新息為

(14)

誤差矩陣為

(15)

矩陣每一行表示對(duì)MEMS數(shù)據(jù)新息的約束參數(shù)：

yk(k)=ci1+ci2yk(k-1)+…+cijyk(k-j)

(i=1,2,3;j=1,2,…,n)

(16)

每個(gè)參數(shù)的值隨輸入信號(hào)而變化，通過對(duì)短時(shí)間的新息進(jìn)行曲線擬合，再通過互補(bǔ)對(duì)新息進(jìn)行更新，其中曲線參數(shù)采用遞推最小二乘法進(jìn)行參數(shù)更新。

同時(shí)考慮到被測(cè)噪聲參數(shù)不穩(wěn)定的特點(diǎn)，在濾波算法中加入了衰減記憶系數(shù)，采用衰減記憶加權(quán)算法自適應(yīng)估計(jì)，減小舊值對(duì)濾波算法的影響[4]。引入新息誤差矩陣和衰減記憶系數(shù)之后的卡爾曼濾波算法為

(17)

式中b(0

4 數(shù)據(jù)分析和結(jié)果驗(yàn)證

實(shí)驗(yàn)中采用實(shí)驗(yàn)室自研1號(hào)和2號(hào)MEMS陀螺儀進(jìn)行測(cè)試，轉(zhuǎn)臺(tái)采用我國自主研發(fā)制造的特定型號(hào)3軸速度位置轉(zhuǎn)臺(tái)，如圖3所示。采樣頻率為200 Hz，用于測(cè)試濾波方法的可靠性和補(bǔ)償效果。

4.1 1號(hào)MEMS陀螺儀測(cè)試

4.1.1 1號(hào)MEMS陀螺儀靜態(tài)測(cè)試

進(jìn)行數(shù)據(jù)采集時(shí)，將1號(hào)MEMS陀螺儀固定到三軸速率轉(zhuǎn)臺(tái)上，調(diào)至水平，實(shí)驗(yàn)室溫控制在常溫。在室溫、零激勵(lì)條件下采集2 h靜止數(shù)據(jù)，選取穩(wěn)定部分進(jìn)行濾波處理。部分?jǐn)?shù)據(jù)測(cè)試結(jié)果如圖4、5所示。

由圖4、5可見，KF和自適應(yīng)KF濾波后的數(shù)據(jù)起伏明顯變小，但KF濾波的結(jié)果存在較多明顯尖峰，即突變值。自適應(yīng)KF引入了新息突變約束矩陣，新息在補(bǔ)償前后有明顯區(qū)別，對(duì)數(shù)據(jù)的突變值有很好的抑制效果，相比之下數(shù)據(jù)更平滑，不存在明顯尖峰。由表2標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)比可以看出，濾波前后的數(shù)據(jù)發(fā)生突變的概率減小，角度隨機(jī)游走精度提高0.96倍和9.13倍，零偏不穩(wěn)定性精度提高1倍和9.84倍，角速率隨機(jī)游走精度提高2.72倍和26.74倍。

表2 原始數(shù)據(jù)與濾波結(jié)果指標(biāo)比較

4.1.2 1號(hào)MEMS陀螺儀動(dòng)態(tài)速率測(cè)試

試驗(yàn)流程類似于靜態(tài)試驗(yàn)，MEMS陀螺儀固定后，在三軸轉(zhuǎn)臺(tái)30(°)/s的激勵(lì)下進(jìn)行數(shù)據(jù)采集。其建立的ARMA(3,2)模型為

xk=0.131 37xk-1-0.708xk-2+0.629 18xk-3+

εk+0.472 85εk-1-0.656 87εk-2

(18)

測(cè)試結(jié)果如圖6所示。

由圖6可見，原始數(shù)據(jù)波動(dòng)較大，導(dǎo)致卡爾曼濾波后也有小幅波動(dòng)，但自適應(yīng)濾波后結(jié)果較平滑，新息補(bǔ)償前后也有很大區(qū)別，濾波后突跳減少。由表3標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)比可以看出，濾波前后數(shù)據(jù)發(fā)生突變的概率減小，角度隨機(jī)游走精度提高1倍和7.28倍，零偏不穩(wěn)定性精度提高1.09倍和4.33倍，角速率隨機(jī)游走精度提高1.05倍和8.89倍。

表3 原始數(shù)據(jù)與濾波結(jié)果指標(biāo)比較

4.2 2號(hào)MEMS陀螺儀測(cè)試

4.2.1 2號(hào)MEMS陀螺儀靜態(tài)測(cè)試

采用相同的處理過程對(duì)2號(hào)MEMS陀螺儀進(jìn)行處理，建立ARMA(3,1)模型，其表達(dá)式為

xk=0.063 78xk-1-0.166 94xk-2+

0.237 99xk-3+εk-0.124 52εk-1

(19)

最終測(cè)試結(jié)果如圖7、8所示。

根據(jù)圖7、8可以看出，2號(hào)MEMS陀螺儀的測(cè)試結(jié)果和1號(hào)的測(cè)試結(jié)果基本相同。數(shù)據(jù)變化更平緩，基本不存在突變值。由表4可見，濾波后標(biāo)準(zhǔn)差明顯減小，角度隨機(jī)游走精度提高0.98倍和6.35倍，零偏不穩(wěn)定性精度提高1倍和5.96倍，角速率隨機(jī)游走精度提高1.02倍和6.07倍。

表4 原始數(shù)據(jù)與濾波結(jié)果指標(biāo)比較

4.2.2 2號(hào)MEMS陀螺儀動(dòng)態(tài)速率測(cè)試

同1號(hào)MEMS陀螺儀在三軸轉(zhuǎn)臺(tái)上采用30(°)/s的激勵(lì)進(jìn)行數(shù)據(jù)采集。建立的ARMA(3,1)模型為

xk=0.167 68xk-1-0.070 765xk-2+

0.223 29xk-3+εk-0.444 82εk-1

(20)

測(cè)試結(jié)果如圖9所示。

由圖9可見，與原始數(shù)據(jù)和卡爾曼濾波后數(shù)據(jù)波動(dòng)相比，自適應(yīng)濾波后數(shù)據(jù)波動(dòng)減小，新息補(bǔ)償前后也有很大區(qū)別，濾波后突跳減少。由表5標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)比可以看出，濾波前后的數(shù)據(jù)發(fā)生突變的概率減小，角度隨機(jī)游走精度提高1.09和3.19倍，零偏不穩(wěn)定性精度提高1.21和8.99倍，角速率隨機(jī)游走精度提高1.04和5.08倍。

表5 原始數(shù)據(jù)與濾波結(jié)果指標(biāo)比較

試驗(yàn)中使用的兩個(gè)MEMS陀螺儀的靜態(tài)和速率測(cè)試結(jié)果表明，標(biāo)準(zhǔn)差顯著降低了濾波前后數(shù)據(jù)發(fā)生突變的概率，包括角隨機(jī)游動(dòng)、偏置不穩(wěn)定性和角速度隨機(jī)游動(dòng)，結(jié)果至少均小1個(gè)數(shù)量級(jí)。試驗(yàn)表明，基于新息突變約束的自適應(yīng)KF濾波算法有效地抑制了數(shù)據(jù)的突變值，隨機(jī)誤差明顯較小，提高了MEMS陀螺儀的精度。

5 結(jié)束語

本文首先建立了ARMA模型，然后分別對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行經(jīng)典卡爾曼和基于新息突變約束的自適應(yīng)卡爾曼濾波濾波補(bǔ)償，并進(jìn)行了靜態(tài)和速率實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。Allan分析表明，實(shí)驗(yàn)建立的ARMA模型適用于本文使用的1號(hào)和2號(hào)MEMS陀螺儀，具有顯著的濾波效果，明顯減少了隨機(jī)誤差并提高了MEMS陀螺儀的性能。