王 佩, 李仲飛, 張 玲

(1.廣東金融學(xué)院 經(jīng)濟(jì)與貿(mào)易學(xué)院,廣東 廣州 510521; 2.南方科技大學(xué) 商學(xué)院金融系,廣東 深圳 518055)

0 引言

壽命延長(zhǎng)和出生率下降導(dǎo)致大多數(shù)國(guó)家養(yǎng)老金制度可持續(xù)性經(jīng)受嚴(yán)峻挑戰(zhàn)，養(yǎng)老基金投資與風(fēng)險(xiǎn)管理重要性日益凸顯。作為養(yǎng)老金模式的主要類型之一，確定繳費(fèi)型(Defined contribution，DC)養(yǎng)老金的繳費(fèi)是預(yù)先確定的，DC型養(yǎng)老金參與者(以下簡(jiǎn)稱參與者)退休時(shí)能夠領(lǐng)取到的金額依賴于累積期內(nèi)養(yǎng)老金賬戶的投資收益。此時(shí)，養(yǎng)老金發(fā)起人承擔(dān)的長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)和財(cái)務(wù)風(fēng)險(xiǎn)等轉(zhuǎn)移給了參與者。從這個(gè)角度看，DC型養(yǎng)老金的投資對(duì)于維持養(yǎng)老金支付制度的持續(xù)性具有重要意義。近二十年來(lái)，許多學(xué)者以最大化退休時(shí)養(yǎng)老金賬戶財(cái)富的預(yù)期效用為目標(biāo)，研究DC型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資決策問(wèn)題。由于養(yǎng)老金的投資通常會(huì)持續(xù)20至40年，在如此長(zhǎng)期的投資期限中利率隨機(jī)波動(dòng)和工資隨機(jī)變化的風(fēng)險(xiǎn)對(duì)DC型養(yǎng)老金賬戶的最終財(cái)富水平有顯著影響。因此，Boulier等[1]和楊嶙等[2]利用Vasicek利率模型研究了隨機(jī)利率對(duì)DC型養(yǎng)老金最優(yōu)投資策略的影響。

在上述DC型養(yǎng)老金最優(yōu)投資策略的研究中，刻畫(huà)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格的隨機(jī)微分方程中的漂移參數(shù)通常設(shè)置為常數(shù)或時(shí)間的確定性函數(shù)，這意味著股票等風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的瞬時(shí)收益率可被決策者準(zhǔn)確地獲得。然而，投資實(shí)踐中，決策者只能從金融市場(chǎng)獲得有限的信息，例如股票的歷史價(jià)格，而不是股票當(dāng)前的瞬時(shí)收益率。通常，決策者盡可能多地收集金融市場(chǎng)信息來(lái)估計(jì)股票預(yù)期收益率，并基于股票預(yù)期收益率的估計(jì)做出投資決策。這就導(dǎo)致了不完全信息下DC型養(yǎng)老金最優(yōu)投資問(wèn)題。同時(shí)，實(shí)證和理論研究也證實(shí)股票預(yù)期收益的可預(yù)測(cè)性，因此投資者可利用一些經(jīng)濟(jì)變量來(lái)預(yù)測(cè)股票的預(yù)期收益，如近期的股票收益、市盈率和賬面市值比等，詳見(jiàn)Fama和French[3]。這些研究成果也被引入DC型養(yǎng)老金投資問(wèn)題的研究中，如Li等[4]在均值-方差準(zhǔn)則下研究了不完全信息和股票收益可預(yù)測(cè)性下DC型養(yǎng)老金的均衡投資策略，Zhang等[5]在離散時(shí)間框架下研究了金融市場(chǎng)信息部分可觀測(cè)對(duì)DC型養(yǎng)老金多階段最優(yōu)投資策略的影響。他們的研究表明，不完全信息和股票收益可預(yù)測(cè)性的引入導(dǎo)致DC型養(yǎng)老金的均衡投資策略和最優(yōu)投資策略不再是短視的，而是依賴于剩余投資期限。因此，臨近退休時(shí)刻股票的最優(yōu)投資比例會(huì)逐漸降低，這與DC型養(yǎng)老金的投資實(shí)踐是一致的。故在DC型養(yǎng)老金最優(yōu)投資問(wèn)題中考慮不完全信息和股票收益可預(yù)測(cè)性符合DC型養(yǎng)老金投資的實(shí)際特征。

相較于金融市場(chǎng)信息完全可觀測(cè)的設(shè)定，不完全信息和股票收益可預(yù)測(cè)性的引入使得DC型養(yǎng)老金投資決策模型的參數(shù)不再是確定的，但這僅是決策者面臨的不確定性之一。這里有一個(gè)隱含的基本假設(shè)，即決策者確切地知道控制當(dāng)前金融市場(chǎng)動(dòng)態(tài)演變的真實(shí)概率測(cè)度，這個(gè)真實(shí)概率測(cè)度不僅控制著決策模型的準(zhǔn)確性，還決定著模型參數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確性。然而，即使是具有強(qiáng)大信息搜集能力的機(jī)構(gòu)投資者，也不可能對(duì)金融市場(chǎng)的真實(shí)概率測(cè)度有精準(zhǔn)的掌握，這種由于缺乏有關(guān)概率測(cè)度信息而引起的不確定性被稱為模型模糊性(或模型不確定性)。通常來(lái)說(shuō)，決策者是厭惡模型模糊性的(Bossaerts等[6])。 雖然在制定投資決策時(shí)，決策者會(huì)設(shè)定一個(gè)概率測(cè)度，但決策者懷疑這個(gè)特定概率測(cè)度并不是控制金融市場(chǎng)運(yùn)行的真實(shí)概率測(cè)度。因此，決策者僅將這一特定的概率測(cè)度作為參考測(cè)度，進(jìn)而去尋找一組與參考測(cè)度等價(jià)的替代概率測(cè)度，通過(guò)“同質(zhì)魯棒性控制方法”可以得到?jīng)Q策者模糊厭惡下的動(dòng)態(tài)投資組合策略(Anderson等[7]、Maenhout[8])。近年來(lái)，Wang和Li[9]、Wang等[10]和Zeng等[11]研究了模糊厭惡下具有不同背景風(fēng)險(xiǎn)的DC型養(yǎng)老金最優(yōu)投資問(wèn)題。他們的研究表明模糊厭惡導(dǎo)致DC型養(yǎng)老金最優(yōu)投資策略更為保守，且忽視模型模糊性會(huì)使DC型養(yǎng)老金決策者遭受巨大損失。然而，這些研究只著重分析模糊厭惡和背景風(fēng)險(xiǎn)的影響，將金融市場(chǎng)信息仍然設(shè)定為完全可觀測(cè)。

現(xiàn)有研究或單獨(dú)分析不完全信息對(duì)DC型養(yǎng)老金投資策略的影響，或從決策者的角度分析模糊厭惡對(duì)DC型養(yǎng)老金最優(yōu)投資策略的影響，未發(fā)現(xiàn)有文獻(xiàn)綜合分析不完全信息和模糊厭惡對(duì)DC型養(yǎng)老金最優(yōu)投資策略的影響，這正是本文的立意之一。在信息部分可觀測(cè)的金融市場(chǎng)中，本文考慮股票收益可預(yù)測(cè)性和模糊厭惡同時(shí)作用下DC型養(yǎng)老金最優(yōu)投資問(wèn)題，從參與者的角度構(gòu)建優(yōu)化決策模型。由于DC型養(yǎng)老金的投資期限通常較長(zhǎng)，因此假設(shè)利率是隨機(jī)的更為合理，并使用Vasicek模型來(lái)刻畫(huà)利率的動(dòng)態(tài)演化過(guò)程。另外，參與者的工資被假設(shè)為隨機(jī)的，并遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)。假設(shè)參與者是模糊厭惡的，且他只能觀測(cè)到有關(guān)股票價(jià)格和利率的信息，無(wú)法觀測(cè)到有關(guān)預(yù)測(cè)因子的信息?；谝陨显O(shè)置，本文構(gòu)建了不完全信息和模糊厭惡下股票收益具有可預(yù)測(cè)性時(shí)DC型養(yǎng)老金最優(yōu)投資模型，利用濾波技術(shù)和動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理，得到了最優(yōu)投資策略和相應(yīng)值函數(shù)的解析解。

本文的主要貢獻(xiàn)在于：(1)在DC型養(yǎng)老金最優(yōu)投資問(wèn)題中，同時(shí)考慮股票收益可預(yù)測(cè)性、 不完全信息和模糊厭惡；(2)分別分析了不完全信息和模糊厭惡對(duì)DC型養(yǎng)老金最優(yōu)投資策略的影響；(3)對(duì)同時(shí)考慮不完全信息和模糊厭惡時(shí)的最優(yōu)投資策略、僅考慮不完全信息時(shí)的最優(yōu)投資策略和僅考慮模糊厭惡時(shí)的最優(yōu)投資策略進(jìn)行了比較靜態(tài)分析。

本文的組織如下：第1節(jié)為模型構(gòu)建；第2節(jié)通過(guò)模型求解得到最優(yōu)投資策略；第3節(jié)對(duì)最優(yōu)投資策略進(jìn)行敏感性分析；第4節(jié)總結(jié)本文；附錄給出了本文主要推導(dǎo)過(guò)程。

1 模型構(gòu)建與求解

設(shè)(Ω,F,{Ft}t∈[0,T],P)為一個(gè)完備概率空間，其中Ft表示到時(shí)刻t為止金融市場(chǎng)中的信息，[0,T]為固定有限的投資期限。假設(shè)本文中所有的隨機(jī)過(guò)程均是此賦流概率空間上的適應(yīng)過(guò)程。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，假設(shè)投資交易活動(dòng)持續(xù)進(jìn)行，且不存在交易成本和稅費(fèi)。

1.1 金融市場(chǎng)和工資

在金融市場(chǎng)上，參與者可將其養(yǎng)老金賬戶中的財(cái)富投資到一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(如銀行賬戶、現(xiàn)金)、一個(gè)股票和一個(gè)滾動(dòng)債券。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格過(guò)程S0(t)滿足如下常微分方程：

(1)

其中r(t)是瞬時(shí)利率。由于DC型養(yǎng)老金的投資期限通常為20～40年，因此瞬時(shí)利率r(t)不可避免地隨金融市場(chǎng)的波動(dòng)而變化。為體現(xiàn)瞬時(shí)利率的隨機(jī)特征，用Vasicek模型刻畫(huà)的動(dòng)態(tài)演化過(guò)程：

dr(t)=a(b-r(t))dt-σrdWr(t)

(2)

其中a>0是r(t)的均值回復(fù)速率，b>0是長(zhǎng)期平均瞬時(shí)利率水平，σr>0是r(t)的波動(dòng)率，Wr(t)是關(guān)于Ft的一維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。

根據(jù)金融市場(chǎng)理論，利率的上升和下降顯然會(huì)影響金融市場(chǎng)的表現(xiàn)，特別是許多金融資產(chǎn)(如股票)的價(jià)格。因此，本文中股票價(jià)格過(guò)程S(t)由如下幾何布朗運(yùn)動(dòng)刻畫(huà):

σS2(μ(t)dt+dWS(t))

(3)

(4)

金融市場(chǎng)上的第三種資產(chǎn)是滾動(dòng)債券。到期日為固定值K的滾動(dòng)債券在時(shí)刻t的價(jià)格BK(t)滿足

(5)

參與者在退休時(shí)刻T前連續(xù)不斷地向其養(yǎng)老金賬戶繳納固定比例(8%或10%)的工資金額。假設(shè)參與者每個(gè)時(shí)刻的工資L(t)是隨機(jī)的，并服從如下隨機(jī)微分方程:

σL2(μ(t)dt+dWS(t))

(6)

其中σL1>0和σL2>0是兩個(gè)波動(dòng)率因子，分別反映了利率風(fēng)險(xiǎn)和股票市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)對(duì)工資的影響。

1.2 濾波估計(jì)

dr(t)=a(b-r(t))-σrdZr(t)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

其中，Σ(t)=σμρ+m(t)新息過(guò)程Z(t)={(Zr(t),ZS(t)),0≤t≤T}定義為

(12)

1.3 模型模糊性

dr(t)=[a(b-r(t))-σrφr(t)]-σrdZQr(t)

(13)

(14)

(15)

(16)

令πS(t)、πB(t)和1-πS(t)-πB(t)分別表示時(shí)刻t投資到股票、滾動(dòng)債券和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的財(cái)富比例。稱隨機(jī)過(guò)程π:={(πS(t),πB(t))}t∈[0,T]為一個(gè)投資策略，于是在投資策略π下參與者的養(yǎng)老金賬戶財(cái)富總額Xπ(t)的動(dòng)態(tài)過(guò)程為

Xπ(t)θS(t)dZQS(t)+Xπ(t)θr(t)dZQr(t)σs1

(18)

1.4 優(yōu)化問(wèn)題

(19)

定義值函數(shù)

(20)

為了便于分析，參照Escobar等[13]，假設(shè)

其中βi被稱為模糊性參數(shù)。本文將βS解釋為參與者關(guān)于股價(jià)動(dòng)態(tài)的模糊程度，βr為參與者關(guān)于利率動(dòng)態(tài)的模糊程度。

2 模型求解

本節(jié)致力于推導(dǎo)優(yōu)化問(wèn)題(19)的最優(yōu)投資策略。

根據(jù)動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理，可得值函數(shù)(20)滿足Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)方程

(21)

定理1對(duì)冪效用函數(shù)下財(cái)富過(guò)程為(18)的優(yōu)化問(wèn)題(19)，其值函數(shù)為

(22)

最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)敞口為

(23)

最優(yōu)投資策略π*為

(24)

最壞情形測(cè)度Q*由

(25)

決定，其中

注1(僅考慮不完全信息) 如果參與者不考慮模型模糊性，即βS=βr=0，則優(yōu)化問(wèn)題(19)退化為一個(gè)經(jīng)典的期望效用最大化問(wèn)題。此時(shí)，值函數(shù)為

(26)

最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)敞口為

(27)

(28)

其中

注2(僅考慮模糊厭惡) 如果參與者可以完全觀測(cè)金融市場(chǎng)上所有信息，那么參與者接收的所有信息為{Ft}t∈[0,t]。此時(shí)估計(jì)風(fēng)險(xiǎn)m(t)=0，優(yōu)化問(wèn)題(19)在完全信息下的值函數(shù)為

(29)

最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)敞口為

(30)

(31)

(32)

決定，其中

3 數(shù)值算例

4 總結(jié)

本文構(gòu)建了不完全信息和模糊厭惡下DC型養(yǎng)老金最優(yōu)投資問(wèn)題，利用濾波技術(shù)和動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理得到最優(yōu)投資策略的解析表達(dá)式，并利用數(shù)值算例對(duì)最優(yōu)投資策略做了敏感性分析，探究了不完全信息和模糊厭惡對(duì)最優(yōu)投資策略的影響。通過(guò)對(duì)同時(shí)考慮不完全信息和模糊厭惡、僅考慮不完全信息、和僅考慮模糊厭惡三種情形下最優(yōu)投資策略進(jìn)行比較靜態(tài)分析，發(fā)現(xiàn)不完全信息和模糊厭惡下的最優(yōu)投資策略最保守;僅考慮不完全信息時(shí)的最優(yōu)投資策略對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)的變化最敏感，考慮模糊性會(huì)降低投資策略對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)的敏感性。據(jù)此可推斷，如果不考慮不完全信息和模型模糊性，參與者可能由于對(duì)金融市場(chǎng)過(guò)于樂(lè)觀的估計(jì)而采取較為激進(jìn)的投資策略，從而遭受損失。