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        直觀想象素養(yǎng)導(dǎo)向下的指數(shù)函數(shù)圖像和性質(zhì)教學(xué)研究

        2022-07-13 08:12:30黃海聰
        今天 2022年10期
        關(guān)鍵詞:指數(shù)函數(shù)畫圖直觀

        黃海聰

        (廈門外國語學(xué)校石獅分校 福建 泉州 362700)

        直觀想象主要依靠的是學(xué)生的空間想象能力還有幾何直觀對事物進(jìn)行感受,如何對學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)進(jìn)行培養(yǎng)一直是教育界的重點(diǎn),大多數(shù)學(xué)者都認(rèn)為應(yīng)該先培養(yǎng)學(xué)生的幾何直覺還有空間想象能力,讓他們養(yǎng)成習(xí)慣,并且提升學(xué)生的分析推理能力,而且現(xiàn)在對于學(xué)生的要求也越來越高,高考更多的是考驗學(xué)生的技巧、創(chuàng)造力以及空間想象能力等,所以教師在進(jìn)行課堂內(nèi)容設(shè)計時,也需要考慮如何培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng),讓學(xué)生能夠熟練運(yùn)用直觀想象能力解決數(shù)學(xué)問題,下文主要以指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)為例,分析如何使用直觀形象解決這類問題以及如何培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)。

        1.直觀想象素養(yǎng)的重要性

        數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)對于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的人而言是十分重要的,因為這關(guān)系到學(xué)生理解是否可以正確有效的理解數(shù)學(xué)的本質(zhì),打好學(xué)習(xí)基礎(chǔ),鍛煉學(xué)生的創(chuàng)造力以及邏輯思維能力,對于日后的工作學(xué)習(xí)也大有裨益,不僅如此,數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有助于學(xué)生的身心發(fā)展,有助于對學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng),因為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有助于學(xué)生構(gòu)建自身的知識體系,利用直觀想象素養(yǎng)可以培養(yǎng)學(xué)生好的習(xí)慣,有助于良好品格以及關(guān)鍵能力的發(fā)展,為學(xué)生的未來打下堅實基礎(chǔ)。

        2.高中生直觀想象素養(yǎng)現(xiàn)狀

        2.1 課堂內(nèi)容設(shè)計不合理

        高中數(shù)學(xué)教學(xué)一直受到業(yè)內(nèi)的廣泛重視,因為涉及到學(xué)生升往更高一級的學(xué)府,但是還是有的教師對于課堂內(nèi)容的設(shè)計不夠合理,有的教師側(cè)重于做題訓(xùn)練,覺得熟能生巧,所以課堂上很多時間都用在了做題講題上面,教師的出發(fā)點(diǎn)是好的,但是題海戰(zhàn)術(shù)并不適用于現(xiàn)在的學(xué)生,高中生學(xué)習(xí)壓力本就較大,如果不搞清楚數(shù)學(xué)問題的本質(zhì),只是一味的做題,讓學(xué)生自行摸索,只會浪費(fèi)課堂時間,還容易造成學(xué)生的逆反心理,或者因為太多題目沒有搞清楚,容易讓學(xué)生喪失學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心,于學(xué)生的學(xué)習(xí)還有身心健康不利。

        2.2 學(xué)生的學(xué)習(xí)水平不同,理解程度不同

        因為每個學(xué)生的基礎(chǔ)都不同,對于數(shù)學(xué)的理解也不同,但是在教學(xué)中教師往往只會采用一種教學(xué)方案,在布置作業(yè)的時候也會統(tǒng)一進(jìn)行布置,按照班級的總體水平布置,但是對于基礎(chǔ)不是很好的,可能過于困難,對于已經(jīng)熟練掌握知識的,又過于簡單,并沒有及時的照顧到每一個人,導(dǎo)致學(xué)生之間產(chǎn)生差異化、兩極化,長此以往不利于學(xué)生的身心發(fā)展。

        2.3 拓展內(nèi)容較少

        高中數(shù)學(xué)中很多數(shù)學(xué)知識都是可以結(jié)合起來的,比如說指數(shù)函數(shù)與其它函數(shù)的復(fù)合函數(shù),都是在平常練習(xí)中比較常見的,但是教師一開始講的時候并不會結(jié)合起來講述,二是分開進(jìn)行,導(dǎo)致各種函數(shù)結(jié)合運(yùn)用的時候又需要再講一次。

        3.數(shù)學(xué)教學(xué)直觀想象素養(yǎng)培養(yǎng)——以指數(shù)函數(shù)為例

        3.1 在教學(xué)設(shè)計中融入直觀想象

        教師需要摒棄之前的教學(xué)方式以及教學(xué)方法,即使是自己的教案,也需要根據(jù)不同學(xué)生的情況做出改善,因為學(xué)生的學(xué)習(xí)情況不同,教育的側(cè)重點(diǎn)有的也不盡相同,比如說現(xiàn)在高考考核的側(cè)重點(diǎn)就有所變化,考核的更多的學(xué)生的解題技巧還有創(chuàng)造力,所以教師的教學(xué)設(shè)計也應(yīng)就此變化。比如說在指數(shù)函數(shù)一開始的性質(zhì)解釋中,需要畫圖讓學(xué)生對于圖像有一個直觀的感受,但是有的學(xué)生可能對于畫圖不是很熟悉,不知道怎么去判斷,比如說很簡單一道基礎(chǔ)題:

        已知指數(shù)函數(shù)y=ax, y=bx, y=cx, y=dx的圖像如下圖所示,判斷a,b,c,d,1之間的大小關(guān)系( )

        A.a<b<1<c<d

        B.a<b<1<d<c

        C.b<a<1<d<c

        D.c<d<1<a<b

        節(jié)目解析:這道題其實是有關(guān)于基礎(chǔ)知識的判斷,一般的做法是畫兩條線,分別是x=1,y=1,與四條指數(shù)函數(shù)曲線相交,就可以輕易的判斷出四個數(shù)與1的大小關(guān)系了,但是如果基礎(chǔ)知識很扎實,在腦海中就可以想象出四個圖像中指數(shù)函數(shù)的底數(shù)誰大誰小了,在一開始不熟悉具體的性質(zhì)之前,就需要依靠一些技巧進(jìn)行判斷。

        通常,教師也會借助x=1這條直線來教同學(xué)判斷指數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì),比如說y=ax函數(shù),當(dāng)a<1時,函數(shù)曲線是左高右低,并且x值越大,函數(shù)趨近于0,同樣,教師也可以畫出y=ax與之間的對稱關(guān)系是如何來的,讓學(xué)生對于指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)有一個直觀的了解,并且掌握如何用圖像去記住這些性質(zhì),而不是死記硬背。

        3.2 優(yōu)化學(xué)生學(xué)習(xí)體驗并促進(jìn)直觀想象素養(yǎng)發(fā)展

        優(yōu)化學(xué)習(xí)體驗的主要做法:(1)設(shè)置學(xué)習(xí)小組,讓學(xué)生之間處于良性競爭,并且在課后可以布置一些拓展性的作業(yè)作為小組練習(xí)作業(yè),加強(qiáng)學(xué)生之間的交流,同時,設(shè)置學(xué)習(xí)小組的目的還在于促進(jìn)學(xué)生自身的思考,而教師只需要在學(xué)生碰到死胡同的時候適當(dāng)?shù)慕o予一些點(diǎn)撥,而并非每次都直接告訴答案,這樣可以加強(qiáng)學(xué)生的參與感與成就感;(2)在課堂上加強(qiáng)與學(xué)生之間的互動,比如說可以讓學(xué)生自己到講臺上畫圖,對學(xué)生的回答適時給予鼓勵,讓學(xué)生在課堂上能有一定的自信心;(3)引入多媒體教學(xué),利用畫圖工具準(zhǔn)確的畫出圖像,并且顯示出圖像的特點(diǎn)。教師引導(dǎo)學(xué)生回憶:在之前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,要研究函數(shù)的定義、圖像、性質(zhì)與應(yīng)用這幾個方面。指出:函數(shù)性質(zhì)的直觀性可以通過其圖像來顯現(xiàn),只要做出了函數(shù)的圖像,就能從圖像上直觀的獲得函數(shù)的性質(zhì),因此圖像是函數(shù)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵工具。比如說下圖,利用多媒體可以清晰地畫出的圖像,還可以在一張圖上面向同學(xué)展示指數(shù)函數(shù)的特點(diǎn)、單調(diào)性以及一些特殊性質(zhì)等等,還可以標(biāo)記出一些特殊的點(diǎn),讓學(xué)生進(jìn)行觀察,之后也可以讓學(xué)生自己動手嘗試畫圖。

        優(yōu)化學(xué)習(xí)體驗可以很好的讓學(xué)生體驗到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣,從而避免學(xué)生產(chǎn)生厭煩心理,還可以有效實現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

        3.3 加強(qiáng)作圖訓(xùn)練,提升學(xué)生規(guī)范作圖技能

        高中數(shù)學(xué)很多幾何題目都需要借助圖形來解決,圖形可以說是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中必不可少的一個工具,但是經(jīng)過相關(guān)調(diào)查,很多學(xué)生在進(jìn)行題目的解答時,都沒有認(rèn)真的規(guī)范作圖,很多學(xué)生只是找了幾個點(diǎn),畫了個大概,但是這樣很容易出錯,尤其是在一些交叉點(diǎn)處,如果沒有正確的對圖形做出判斷,會導(dǎo)致整道題目都無法順利的進(jìn)行下去。

        比如說下題:求方程2x-x2=0的解的個數(shù),很多學(xué)生看到這道題目,能比較迅速的反應(yīng)過來需要畫圖,可以在圖上畫出2x=x2的圖像,就是在一張坐標(biāo)軸上畫出兩個曲線并且求其交點(diǎn),但是這道題有一個比較明顯的陷阱,如果畫圖的時候比較規(guī)范完全可以避免這個問題,因為當(dāng)x<-1時,2x>x2,在 -1<x<1,2x<x2,但是在x=2 時,2x=x2有的同學(xué)沒有考慮到這個臨界點(diǎn),畫圖的時候也不仔細(xì),所以最后只得到兩個解,但是如果學(xué)生做題規(guī)范,找點(diǎn)畫圖,在畫圖的時候就可以避免這個陷阱,發(fā)現(xiàn)這兩個函數(shù)其實有三個交點(diǎn)。

        所以說需要讓學(xué)生正確規(guī)范的畫圖,才能發(fā)揮直觀想象素養(yǎng)的作用。

        3.4 舉一反三

        學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)的概念,探究出它的性質(zhì)以后,再回到本節(jié)課開頭的問題,進(jìn)行首位呼應(yīng)。由點(diǎn)到面,由特殊到一般,舉一反三。幫助學(xué)生建立分類討論的數(shù)學(xué)思想,培養(yǎng)他們熟練運(yùn)用圖像分析數(shù)學(xué)問題的能力。比如說常見的比較大小的問題,給出一組數(shù)字,然后讓學(xué)生判斷其大小,有的比較簡單,有的需要畫好幾組圖,都需要學(xué)生對課本內(nèi)容還有指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)有足夠的了解才行。例如比較1.72.5、1.73.1、0.82.5、0.80.3,通過畫出相應(yīng)的圖像,可以很快的判斷出兩兩之間的數(shù)量關(guān)系,然后進(jìn)行大小排列,課后也可以讓學(xué)生自己進(jìn)行判斷,并且還可以出一些類似的題目讓學(xué)生自己鍛煉,做到融會貫通。

        3.5 拓展練習(xí)

        在進(jìn)行教學(xué)的時候,不僅需要對學(xué)生進(jìn)行基礎(chǔ)鞏固,還要經(jīng)常做一些拓展練習(xí),結(jié)合另外的函數(shù)進(jìn)行教學(xué),一方面讓學(xué)生提早適應(yīng)復(fù)合函數(shù)以及多個函數(shù)一起的式子,為將來的練習(xí)打下基礎(chǔ),另一方面也有助于學(xué)生基礎(chǔ)知識的鞏固。

        比如說求函數(shù)f(x)=3|x|+1在x∈[-2,2]上的值域,這道題結(jié)合了絕對值得相關(guān)知識,可以讓學(xué)生先畫出f(x)=3|x|的圖像,然后再平移上去一個單位,就是f(x)=3|x|+1,然后根據(jù)畫出的圖像,對函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性等)做出判斷,進(jìn)而進(jìn)行求解,這種題目只是對數(shù)學(xué)知識進(jìn)行了簡單的融合,稍做判斷就可以做出,但是有的題目卻不是那么好解決的,甚至可能看上去連圖像都畫不出來,就需要借助別的方法進(jìn)行解答。

        如下題:若函數(shù)y=a2x+2ax-1(a>0&a≠1),當(dāng)x∈[-1,1]時,函數(shù)最大值為14,求a的值。

        分析:本題目在處理的時候,可以先使用換元法對原函數(shù)的形式進(jìn)行簡化二次函數(shù),即令t=ax,則原函數(shù)化為y=t2+2t-1,這是二次函數(shù),沒有別的函數(shù)在內(nèi),就可以很方便的求出t的值,但是一方面需要注意t始終是大于0的,另一方面還需要注意的是題目中并未表明a與1之間的數(shù)量關(guān)系,根據(jù)指數(shù)的函數(shù)的性質(zhì),所以需要先進(jìn)行分類討論,討論參數(shù)a在不同取值范圍下二次函數(shù)的最大值,分別求解對應(yīng)情況下參數(shù)的值,結(jié)合分析的前提進(jìn)行篩選,最終得到題目的解。

        小結(jié)

        直觀核心素養(yǎng)作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必要素養(yǎng)之一,一直受到教育界廣泛的關(guān)注,尤其是在高中階段,高中是關(guān)系學(xué)生未來發(fā)展的重要階段,所以教師更應(yīng)該不斷地改善教學(xué)內(nèi)容,改進(jìn)教學(xué)方法,培養(yǎng)學(xué)生的直觀核心素養(yǎng)。本文對于直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)研究只是起到了拋磚引玉的作用,希望可以在之后的工作研究中彌補(bǔ)自身不足,為之后的教育工作做出一些貢獻(xiàn)。

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