郭雅琪， 史麗晨， 王海濤， 蒲林東

(西安建筑科技大學(xué)機(jī)械動(dòng)力理論及應(yīng)用研究所，西安,710055)

近年來，不確定非線性系統(tǒng)的控制問題在電力系統(tǒng)[1]、無人機(jī)系統(tǒng)[2-3]受到廣泛的關(guān)注。實(shí)際系統(tǒng)中常存在不確定性，控制不確定非線性系統(tǒng)的難點(diǎn)在于，不僅要考慮系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的強(qiáng)耦合、非線性特點(diǎn)，而且要妥善處理系統(tǒng)不確定性。如果在控制器設(shè)計(jì)過程中不能妥善處理系統(tǒng)的不確定性，不僅系統(tǒng)性能會(huì)受到影響，嚴(yán)重時(shí)甚至?xí)＜跋到y(tǒng)的運(yùn)行安全。

為解決系統(tǒng)的不確定性問題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了很多方法，包括魯棒控制[4]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[5]、模糊控制[6]等。然而，上述文獻(xiàn)采用的方法只能實(shí)現(xiàn)有界跟蹤，即跟蹤誤差收斂到零附近的緊集內(nèi)，緊集的大小依賴于控制器的設(shè)計(jì)參數(shù)。換句話說，這些控制器還不能實(shí)現(xiàn)對(duì)參考軌跡的零誤差跟蹤。在某些場(chǎng)景下，例如精密雕刻，需要轉(zhuǎn)頭的位置準(zhǔn)確跟蹤上期望信號(hào)，細(xì)微的偏差可能產(chǎn)出工藝次品。且系統(tǒng)運(yùn)行過程中的電壓并不能保證是恒定值，因此對(duì)不確定非線性系統(tǒng)的零誤差跟蹤控制具有十分重要的實(shí)際意義。自適應(yīng)控制器能夠根據(jù)控制對(duì)象本身參數(shù)或周圍環(huán)境的變化，自動(dòng)調(diào)整控制參數(shù)以獲得滿意的性能，且控制系統(tǒng)具有強(qiáng)魯棒性。近年來有學(xué)者針對(duì)不確定性非線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)了漸進(jìn)跟蹤控制器[7-10]，例如文獻(xiàn)[8]研究了非嚴(yán)格反饋形式的多輸入多輸出非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)模糊漸近跟蹤控制問題，在控制器設(shè)計(jì)過程中引入模糊邏輯系統(tǒng)，辨識(shí)出未知非線性函數(shù)，而后基于李雅普諾夫定理，推導(dǎo)出跟蹤誤差漸近收斂至零。文獻(xiàn)[10]針對(duì)含不確定性的一類純反饋系統(tǒng)，提出了一種反步自適應(yīng)控制器，可使跟蹤誤差漸進(jìn)收斂至零。然而，上述文獻(xiàn)沒有考慮或沒有很好地解決執(zhí)行器輸入飽和問題。

執(zhí)行器輸入飽和是一個(gè)在工程實(shí)際中經(jīng)常發(fā)生且亟待解決的問題。尤其在實(shí)現(xiàn)零誤差跟蹤時(shí)，需要很大的執(zhí)行器的輸入功率。當(dāng)執(zhí)行器物理限制生效時(shí)，控制指令無法被完全執(zhí)行，系統(tǒng)的性能會(huì)受到影響，嚴(yán)重時(shí)甚至?xí)?dǎo)致系統(tǒng)失穩(wěn)[11]。為此，文獻(xiàn)[12～13]設(shè)計(jì)魯棒控制器對(duì)期望控制律進(jìn)行補(bǔ)償，并通過李雅普諾夫分析保證了跟蹤誤差的有界性。然而，據(jù)作者們所知，考慮執(zhí)行器飽和的不確定性非線性系統(tǒng)漸進(jìn)跟蹤問題并沒有得到很好地解決。

本文利用反步自適應(yīng)控制方法，為不確定非線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一種考慮執(zhí)行器飽和的零誤差自適應(yīng)跟蹤控制器。相較于文獻(xiàn)[8～10]，所提方法可以考慮執(zhí)行器飽和帶來的不利影響，即使出現(xiàn)執(zhí)行器飽和情形時(shí)，仍可以保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。相較于文獻(xiàn)[12～13]，所提方法可以使跟蹤誤差漸進(jìn)收斂至零，并且從理論上證明了閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號(hào)的有界性。

1 問題描述和預(yù)備知識(shí)

考慮以下具有未建模動(dòng)態(tài)和輸入飽和限制的不確定非線性嚴(yán)反饋系統(tǒng)[14]：

(1)

(2)

式中：umax和umin分別為u的上下界；uc為期望的控制指令。

引理1[17]：對(duì)于任意正數(shù)κ和ι，下列不等式成立：

(3)

(4)

本文的控制目標(biāo)是通過所提出的自適應(yīng)跟蹤控制器，即使在系統(tǒng)存在不確定動(dòng)態(tài)、外界擾動(dòng)以及執(zhí)行器飽和的情形下，系統(tǒng)的輸出y仍可以零誤差地跟蹤參考軌跡yref。

2 自適應(yīng)控制器設(shè)計(jì)

本節(jié)采用反步法設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制器，控制器設(shè)計(jì)框圖見圖1，定義跟蹤誤差ei=xi-αi-1,(α0=yref)，通過設(shè)計(jì)虛擬控制器αi,i=1,2,…,n-1、實(shí)際控制器u、自適應(yīng)律以及輔助誤差補(bǔ)償系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)控制目標(biāo)。

圖1 控制器設(shè)計(jì)框圖

第1步，由式(1)可得e1的導(dǎo)數(shù)為：

(5)

(6)

(7)

(8)

構(gòu)造虛擬控制器α1和自適應(yīng)律為：

(9)

(10)

構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù)候補(bǔ)：

(11)

(12)

將式(9)和式(10)代入式(12)可得：

(13)

由楊氏不等式可得：

(14)

(15)

將式(14)和式(15)代入式(13)中可得：

(16)

第i步(i=2,3,…,n-1)：對(duì)ei求導(dǎo)可得：

(17)

(18)

(19)

構(gòu)造虛擬控制器αi和自適應(yīng)律為：

(20)

(21)

式中：ki、bi和ρi為正的設(shè)計(jì)參數(shù)。

構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù)候補(bǔ)：

(22)

(23)

將式(20)和式(21)代入式(23)，根據(jù)引理1和楊氏不等式可得：

(24)

第n步，考慮到u受到飽和約束，我們?cè)O(shè)計(jì)一種新型輔助誤差補(bǔ)償系統(tǒng)：

(25)

式中：χ為速度補(bǔ)償信號(hào)；a為正的設(shè)計(jì)參數(shù)。

飽和函數(shù)sat(χ)可表示為：

定義新的誤差變量：

(26)

(27)

(28)

(29)

構(gòu)造實(shí)際控制器uc和自適應(yīng)律為：

(30)

(31)

式中：kn、bn和ρn為正的設(shè)計(jì)參數(shù)。

構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù)候補(bǔ)：

(32)

(33)

將式(25)、式(30)和式(31)代入式(33)，可得：

(34)

3 穩(wěn)定性分析

證明：考慮如下的Lyapunov函數(shù)候補(bǔ)：

(35)

對(duì)L求導(dǎo)，并代入式(16)、式(24)和式(34)可得：

(36)

由式(35)和式(36)可得：

(37)

對(duì)式(37)積分可得：

L(t)≤(L(0)-η0)e-ωt+η0

(38)

式中：η0=η/ω。

(39)

將式(39)左右兩端按時(shí)間積分可得：

(40)

由式(40)可得：

(41)

根據(jù)引理2可得：

(42)

定理2：考慮輔助誤差補(bǔ)償系統(tǒng)(25)，通過合理地選擇參數(shù)a，可使系統(tǒng)的信號(hào)χ能漸進(jìn)收斂至零。

證明：考慮如下的Lyapunov函數(shù)候補(bǔ)：

(43)

(44)

4 仿真驗(yàn)證

本節(jié)通過仿真驗(yàn)證本文所設(shè)計(jì)的控制器的有效性，以一個(gè)機(jī)電系統(tǒng)[19]為例，其動(dòng)力學(xué)模型如下:

(45)

(46)

受飽和限制的執(zhí)行器模型為：

(47)

為驗(yàn)證所提方法的有效性，將本文方法與文獻(xiàn)[20]中提出的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)反步自適應(yīng)方法進(jìn)行比較。參考軌跡設(shè)置為yref=sin (0.5t)，所提控制器的參數(shù)設(shè)置為：

系統(tǒng)初值為：χ(0)=0，[x1(0),x2(0),x3(0),z]T=[-0.5,0.1,0.1,0.2]T。

采用文獻(xiàn)[20]中提出的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)跟蹤控制方法所得的仿真如圖2所示。如圖所示，在設(shè)計(jì)控制器時(shí)沒有考慮執(zhí)行器飽和，控制輸入迅速達(dá)到飽和，導(dǎo)致系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)散。這是由于系統(tǒng)存在初始誤差，使得在開始運(yùn)行時(shí)，執(zhí)行器達(dá)到飽和，無法完全執(zhí)行期望的控制信號(hào)。為對(duì)比所提控制器與文獻(xiàn)[20]中的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)控制器的跟蹤誤差收斂效果，在文獻(xiàn)[20]控制器中加入式(25)、(26)，以及式(30)最后一項(xiàng)的抗輸入飽和設(shè)計(jì)，結(jié)果見圖3。

圖2 未考慮執(zhí)行器飽和的仿真結(jié)果

圖3 系統(tǒng)狀態(tài)x1及跟蹤誤差

圖4顯示兩種方法都可保證系統(tǒng)的其他狀態(tài)x2、x3正常變化。

圖4 系統(tǒng)狀態(tài)x2、x3及擾動(dòng)z

圖5為控制輸入和補(bǔ)償信號(hào)變化曲線，當(dāng)出現(xiàn)輸入飽和時(shí)，本文控制器產(chǎn)生的誤差補(bǔ)償信號(hào)變化幅值更小。

圖5 控制輸入u及補(bǔ)償信號(hào)χ

表1 跟蹤誤差和控制輸入量化指標(biāo)

圖6 自適應(yīng)參數(shù)

圖7為3種方案所得到的跟蹤誤差和控制量，可見本文提出的方法跟蹤精度高且能有效緩解抖振現(xiàn)象。

圖7 3種方案下的跟蹤誤差和控制輸入

5 結(jié)語

本文針對(duì)控制輸入受限、未建模動(dòng)態(tài)以及未知外界擾動(dòng)影響下非線性系統(tǒng)的零誤差跟蹤控制問題，設(shè)計(jì)了一種考慮輸入飽和的自適應(yīng)零誤差跟蹤控制器。利用所提控制方法，不僅保證了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而且可以使跟蹤誤差漸進(jìn)收斂至零。本文的自適應(yīng)控制器中引入了抗飽和輔助誤差補(bǔ)償系統(tǒng)，在出現(xiàn)輸入飽和時(shí)能夠使系統(tǒng)穩(wěn)定。未來的研究工作將考慮執(zhí)行器速率飽和的情形下，非線性系統(tǒng)的零誤差跟蹤控制問題。

附錄：

(48)

根據(jù)式(17)，我們可以將式(48)重寫為：

(49)

相似地，我們可以推導(dǎo)出αi,(i=2,3,…，n-1)有界。