向楓樺， 楊賓鋒， 李 博， 趙 震， 郭嬌嬌

(空軍工程大學(xué)信息與導(dǎo)航學(xué)院，西安，710077)

目前，關(guān)于定位的手段和方法有諸多種，但是許多定位方法都有一個局限性，就是容易被干擾。另外，在一些特殊的場合，例如室內(nèi)、地下、水下以及一些其他的復(fù)雜環(huán)境，諸多導(dǎo)航定位手段就無法應(yīng)用[1-3]。無線電導(dǎo)航系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)飛機(jī)的進(jìn)場和著陸保障，但信號非常容易被干擾[4]。衛(wèi)星導(dǎo)航可以實(shí)現(xiàn)高精度定位，但在室內(nèi)等特殊場合無法接收到信號[5]。而磁場信號擁有穿透性強(qiáng)和抗干擾能力強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)，可以應(yīng)用在室內(nèi)、地下等特殊場合[6]。因此，利用磁信號進(jìn)行導(dǎo)航定位具有非常大的發(fā)展?jié)摿Α?/p>

關(guān)于磁信號定位的方法，目前有多種不同方法，其中梯度張量方法由于計算相對簡單，因此應(yīng)用也最廣泛。對于梯度張量方法，國內(nèi)諸多專家學(xué)者提出了不同的計算模型。鄧國慶推導(dǎo)了一階梯度張量定位機(jī)理，并將其應(yīng)用在永磁體中，但傳統(tǒng)的一階梯度張量定位受地磁場和背景磁場影響大[7]。李青竹等推導(dǎo)了二階梯度張量定位機(jī)理，由于地磁場和背景磁場的二階梯度張量十分小，因此該方法可以提高定位精度，但是無法直接測量二階梯度張量矩陣[8]。以上這些算法都是基于單磁偶極子推導(dǎo)，在遠(yuǎn)距離能夠保持不錯的測量精度，但是在距離較近或者磁源體積比較大時，單磁偶極子定位就存在誤差大的不足，因此出現(xiàn)了許多誤差補(bǔ)償方法。袁鵬等運(yùn)用梯度張量不變原理消除了橢圓誤差，在正六面體測量陣列上有效提高磁信號的定位精度[9]。Wang等利用最小二乘法對磁信號進(jìn)行優(yōu)化處理并運(yùn)用一階梯度張量進(jìn)行定位計算，結(jié)果表明能夠有效提高定位精度[10]。為了解決梯度張量算法在進(jìn)場定位誤差大的不足，本文提出了基于免疫克隆算法的一階磁梯度張量定位方法。

本文將免疫克隆算法融入到一階磁梯度張量定位原理中，探究了新算法在進(jìn)場時的定位精度。在一階磁梯度張量定位原理的基礎(chǔ)上，根據(jù)磁場衰減規(guī)律，提出了誤差梯度矩陣的概念并推導(dǎo)了其計算方法。然后，利用免疫克隆算法對誤差矩陣進(jìn)行優(yōu)化處理。為了驗(yàn)證新方法的有效性，在Matlab中采用了三條不同的路線進(jìn)行計算并與一階梯度張量定位算法進(jìn)行對比分析。最后，通過無磁轉(zhuǎn)臺的旋轉(zhuǎn)永磁體實(shí)際定位實(shí)驗(yàn)對算法的定位效果進(jìn)行進(jìn)一步的驗(yàn)證。研究發(fā)現(xiàn)：基于免疫克隆算法的一階磁梯度張量定位方法在距離較近時，能夠有效提高磁定位精度 。

1 一階梯度張量定位原理

1.1 梯度張量矩陣

以磁偶極子為原點(diǎn)，建立空間坐標(biāo)系，在距離磁偶極子任意一點(diǎn)r(x,y,z)的磁感應(yīng)強(qiáng)度表達(dá)式為：

(1)

磁梯度張量是磁感應(yīng)強(qiáng)度在不同方向的偏導(dǎo)數(shù)，包括一階梯度張量和二階梯度張量，可以反應(yīng)磁場在不同方向的變化率，擁有大量的磁場信息。磁感應(yīng)強(qiáng)度的三分量在3個軸向方向上的分量變化率就是一階磁梯度張量矩陣[11]，因此，一階磁梯度張量矩陣一共有9個元素，記作G，如下式所示：

(2)

根據(jù)Maxwell方程組，磁感應(yīng)強(qiáng)度的旋度和散度均為0[11]，可以得到：

(3)

(4)

將式(3)展開化簡，可以得到：

(5)

由式(5)可知一階磁場梯度張量矩陣G滿足4個關(guān)系式，有6個不同的量滿足兩兩相等的關(guān)系，剩下3個量滿足一個等式，也就是說要想知道梯度張量矩陣G，最少要知道5個量的值并且都是獨(dú)立的量。

將式(1)中的磁場三分量分別進(jìn)行求偏導(dǎo)數(shù)計算，可以得到9個梯度張量的理論值，只取5個獨(dú)立元素的表達(dá)式為：

(6)

1.2 測量陣列

用于測量磁梯度張量的傳感器模型有諸多種，其中十字形傳感器精度最高[13]。如圖1所示，該模型一共由5個參數(shù)一模一樣的傳感器組成，每個軸上都分布3個相同的傳感器，其中0號傳感器是公用的傳感器。另外，任意相鄰兩個傳感器之間的距離都相等，大小為d。

圖1 十字形傳感器

根據(jù)數(shù)值微分知識中的三點(diǎn)法求導(dǎo)方法，可以得到相應(yīng)的偏導(dǎo)數(shù)為：

(7)

1.3 一階梯度張量定位

磁場的歐拉反褶積方程為：

(8)

式中：H為磁感應(yīng)強(qiáng)度；P為環(huán)境噪聲；k為常數(shù)。對于磁偶極子來說，k的值為3[14]。因此可以得到磁場的定位表達(dá)式為：

(9)

1.4 誤差理論分析

如圖2所示，十字形傳感器是根據(jù)兩點(diǎn)法來求解導(dǎo)數(shù)，而磁場的衰減并非線性關(guān)系，因此十字形傳感器實(shí)際求解的是B點(diǎn)的梯度張量矩陣，而對于永磁體來說，應(yīng)該求解D點(diǎn)的梯度張量值。因此，采用十字形傳感器模型對梯度張量矩陣進(jìn)行測量必然在原理上就存在誤差。

圖2 誤差分析圖

如圖3所示，為了減小這種在原理上的測量誤差，下面打算將測量的基線進(jìn)行移動，保持測量基線AC的長度不變，將測量點(diǎn)A和測量點(diǎn)C進(jìn)行平移至測量點(diǎn)A1和測量點(diǎn)C1，此時十字形傳感器實(shí)際測量的點(diǎn)為B1，相對于之前的測量點(diǎn)B來說，進(jìn)行平移之后的測量點(diǎn)B1更加接近理論值D點(diǎn)。因此，該思路能夠在一定程度上減小十字形傳感器的測量誤差。

圖3 解決思路圖

2 免疫克隆算法優(yōu)化

2.1 目標(biāo)函數(shù)構(gòu)建

在實(shí)際測量中，由于磁場的衰減與距離并非線性關(guān)系，而求解偏導(dǎo)數(shù)是基于磁場衰減規(guī)律是線性的基礎(chǔ)上，因此梯度張量矩陣肯定存在誤差，可以將梯度張量的實(shí)測值GT記為：

為了便于計算求解，假設(shè)以下這幾個等式成立：

(11)

式中：rx+、ry+、rx-、ry-分別表示十字形磁力儀模型第1、2、3、4號磁力儀到永磁體的距離；x、y、z分別表示第0磁力儀在空間三維坐標(biāo)系x、y、z軸上的坐標(biāo)值；d表示十字形磁力儀模型中第1、2、3、4號磁力儀到第0磁力儀的距離；a、b分別表示實(shí)際測量時x軸上的第1、3磁力儀、y軸上的第2、4磁力儀的實(shí)際測量位置到以固定距離d建立的十字形磁力儀模型的第1、3磁力儀和第2、4磁力儀位置的距離偏差。

由于采用兩點(diǎn)法求導(dǎo)必然存在誤差，因此根據(jù)磁場的衰減規(guī)律，誤差矩陣系數(shù)為：

(12)

(13)

因此，目標(biāo)函數(shù)可以表示為：

f=g1k1+g2k2+g3k3+g5k5+g6k6

(14)

式中:k1、k2、k3、k5和k6分別表示各自系數(shù)的權(quán)重。

2.2 算法實(shí)現(xiàn)流程

由于免疫克隆算法不受目標(biāo)函數(shù)以及維數(shù)的限制，能夠較好地解決優(yōu)化問題，因此下面采用免疫克隆算法對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化求解。

具體求解步驟如下:

Step 1 目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)建。

F（產(chǎn)品質(zhì)量信用）=a1*f1（產(chǎn)品質(zhì)量信用意愿）+a2*f2（產(chǎn)品質(zhì)量提供能力）+a3*f3（產(chǎn)品質(zhì)量保障能力）

確定問題的維數(shù)并根據(jù)磁場的衰減規(guī)律，構(gòu)建梯度張量誤差矩陣，設(shè)置目標(biāo)函數(shù)為f。

Step 2 產(chǎn)生初始種群。

初始種群根據(jù)免疫維數(shù)、免疫個數(shù)以及免疫的上下門限來產(chǎn)生初始種群。

g=rand(D,n)*(r+-r-)+r-

(15)

Step 3 計算個體濃度和激勵度。

個體濃度采用歐式距離進(jìn)行計算，激勵度根據(jù)相似度閾值來確定。

(16)

Step 4 免疫循環(huán)。

免疫循環(huán)階段根據(jù)種群的親和度，不斷挑選親和度最高的個體，并將親和度最高的個體帶入目標(biāo)函數(shù)中進(jìn)行計算。

親和力計算公式為：

(17)

式中:tk是抗原和抗體k的結(jié)合強(qiáng)度。

Step 5 種群更新。

在不滿足最優(yōu)解的條件下，將新種群與舊種群進(jìn)行合并并重新進(jìn)入免疫循環(huán)階段。

3 仿真計算

3.1 計算路線

為了驗(yàn)證免疫克隆算法優(yōu)化的效果，設(shè)置了如圖4所示的3條不同的路線。路線1保持z軸的坐標(biāo)為0.4 m，x軸坐標(biāo)與y軸坐標(biāo)保持一定比值，路線2保持y軸的坐標(biāo)為0.4 m，x軸坐標(biāo)與z軸坐標(biāo)保持一定比值，路線3保持x軸的坐標(biāo)為0.4 m，y軸坐標(biāo)與z軸坐標(biāo)保持一定比值。因此，這3條路線能夠代表整個空間的大體情況。在這3條不同的路線上，分別采用原始的一階梯度張量和經(jīng)過免疫克隆算法優(yōu)化后的一階梯度張量算法進(jìn)行仿真定位實(shí)驗(yàn)。

圖4 測量路線分布圖

3.2 定位精度

為了進(jìn)一步比較定位效果，引入均方根誤差進(jìn)行對比分析：

(18)

對3條路線分別進(jìn)行一階梯度張量和經(jīng)過免疫克隆算法優(yōu)化的一階梯度張量定位，不同路線的誤差分布圖如圖5所示。

圖5 不同路線的誤差分布圖

在圖5的3個誤差分布圖中可得以下結(jié)論：在比較近的距離條件下，經(jīng)過免疫克隆算法優(yōu)化后的一階梯度張量定位精度明顯比原算法定位精度高。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

4.1 實(shí)驗(yàn)步驟

根據(jù)文獻(xiàn)[2]，當(dāng)磁力儀與永磁體之間的距離大于永磁體尺徑的10倍時，可以將永磁體視為磁偶極子分析。本實(shí)驗(yàn)使用長為9.6 cm、寬為4.7 cm、高為1.7 cm的長方體永磁體。將永磁體放置在距離測量陣列1 m以上的位置，由于磁力儀與永磁體之間的測量距離遠(yuǎn)大于永磁體的尺徑，因此，可以將永磁體當(dāng)做磁偶極子分析。具體實(shí)驗(yàn)步驟如下。

Step 1 安裝設(shè)備。

首先，調(diào)整三腳架，使支架的氣泡位于中間；然后，如圖6所示，將5個磁力儀分別安裝在固定位置并給設(shè)備加上24 V的電源。當(dāng)數(shù)據(jù)采集模塊的5個指示燈全亮?xí)r，說明磁力儀連接方式都對，設(shè)備可以正常工作。

圖6 傳感器模型

Step 2 放置永磁體。

如圖7所示，將長方體永磁體固定放置在無磁轉(zhuǎn)臺的正中心上，設(shè)置無磁轉(zhuǎn)臺的旋轉(zhuǎn)速率為4 rad/s，給設(shè)備通上24 V的電源，使其勻速旋轉(zhuǎn)。當(dāng)數(shù)據(jù)采集模塊出現(xiàn)調(diào)制波形時，說明成功接收了永磁體的磁場。

圖7 無磁轉(zhuǎn)臺

Step 3 數(shù)據(jù)采集。

設(shè)置數(shù)據(jù)采集的模式為連續(xù)采集，采集時間為10 s ，將10 s內(nèi)采集的數(shù)據(jù)導(dǎo)入到文檔中并且永磁體產(chǎn)生的磁場分布情況將會在磁場測量系統(tǒng)中顯示出來。

Step 4 調(diào)整測量位置。

當(dāng)上一個測量點(diǎn)的數(shù)據(jù)記錄完畢時，調(diào)整十字形傳感器的位置，將其放置在不同位置，繼續(xù)重復(fù)數(shù)據(jù)采集模塊的數(shù)據(jù)采集過程。

4.2 數(shù)據(jù)處理

當(dāng)永磁體以固定速率勻速旋轉(zhuǎn)10 s時，將會得到永磁體在這一階段產(chǎn)生的永磁體的磁場分布如圖8所示。

圖8 旋轉(zhuǎn)永磁體磁場分布

在圖8中，所有波形圖的橫坐標(biāo)表示時間，單位為秒。圖8(a)的縱坐標(biāo)表示x軸的磁場強(qiáng)度大小，圖8(b)的縱坐標(biāo)表示y軸的磁場強(qiáng)度大小，圖8(c)的縱坐標(biāo)表示z軸的磁場強(qiáng)度大小，圖8(d)的縱坐標(biāo)表示總磁場強(qiáng)度大小，所有單位都為納特。當(dāng)永磁體勻速旋轉(zhuǎn)時，Bx、By、Bz、B都是調(diào)制信號，并且以一個固定信號波形周期性的重復(fù)出現(xiàn)。

盡管實(shí)驗(yàn)的環(huán)境處于一個較為空曠的地方，但是測量數(shù)據(jù)難免會受到地磁場和環(huán)境磁場的影響，因此，必須對數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波處理。

由于永磁體的旋轉(zhuǎn)速率為4 r/s，因此濾波器的中心頻率為4，通過濾波的方式，可以過濾掉地磁場和環(huán)境磁場，盡量減小外部環(huán)境對測量精度的影響。以傳感器1為例，混有地磁場和環(huán)境磁場的原始數(shù)據(jù)見圖9，通過濾波處理后的數(shù)據(jù)見圖10。

圖9 原始數(shù)據(jù)分布圖

圖10 永磁體數(shù)據(jù)分布圖

在圖9中，旋轉(zhuǎn)永磁體產(chǎn)生的Bx、By、Bz、B都是類似于正弦波的調(diào)制信號，并且這種信號具有周期性。傳感器2、3、4、5的永磁體磁場信號與傳感器1的永磁體磁場信號的趨勢與之類似。

在圖10中，磁場強(qiáng)度的大小明顯下降，說明通過濾波的方式，將靜止的干擾磁場成功地濾掉。由于無磁轉(zhuǎn)臺剛開始需要一個加速的過程，因此在圖10中，剛開始的磁場不是恒定的，當(dāng)轉(zhuǎn)臺勻速旋轉(zhuǎn)時，磁場慢慢趨于穩(wěn)定。當(dāng)采樣點(diǎn)到600左右時，磁場信號逐漸趨向于穩(wěn)定狀態(tài)。當(dāng)磁場信號穩(wěn)定后，提取磁場信號在每一周期的最大值，將其視為測量值，分別代入到原始算法和優(yōu)化算法中，得到測量點(diǎn)的相對誤差。然后，繼續(xù)在實(shí)驗(yàn)室隨機(jī)取點(diǎn)，重復(fù)以上步驟，得到其他測量點(diǎn)的相對分布如表1所示。

表1 定位誤差對比

從表1可以看出，在距離較近時，經(jīng)過免疫克隆算法優(yōu)化后的定位精度比原算法定位精度平均高5%左右，說明經(jīng)過免疫克隆算法優(yōu)化的定位效果略比原始算法的定位精度好。

5 結(jié)語

本文研究了免疫克隆算法在一階梯度張量中的應(yīng)用。在一階梯度張量算法的基礎(chǔ)上，提出了誤差梯度張量矩陣并運(yùn)用免疫克隆算法進(jìn)行優(yōu)化處理。在不同的路線上，將原算法和免疫克隆優(yōu)化的定位算法進(jìn)行對比分析并利用實(shí)際實(shí)驗(yàn)對優(yōu)化算法進(jìn)行實(shí)際驗(yàn)證。研究表明：在比較近的距離條件下，經(jīng)過免疫克隆算法優(yōu)化后的一階梯度張量定位精度得到明顯提高。