胡純嚴(yán) ，胡良平 ，2*

（1.軍事科學(xué)院研究生院，北京 100850；2.世界中醫(yī)藥學(xué)會(huì)聯(lián)合會(huì)臨床科研統(tǒng)計(jì)學(xué)專(zhuān)業(yè)委員會(huì)，北京 100029*通信作者：胡良平，E-mail：lphu927@163.com）

析因設(shè)計(jì)是一種全因素試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，也就是要在全部試驗(yàn)因素的各種水平組合條件下進(jìn)行2次及以上獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)。通過(guò)此設(shè)計(jì)收集到的定量資料，可以全面反映所有試驗(yàn)因素及其各階交互作用項(xiàng)對(duì)定量觀測(cè)結(jié)果影響的詳細(xì)信息。本文將介紹析因設(shè)計(jì)的特點(diǎn)、具體實(shí)施方法、定量資料一元方差分析的計(jì)算公式和SAS實(shí)現(xiàn)方法。

1 基本概念

1.1 析因設(shè)計(jì)

析因設(shè)計(jì)是安排因素之間存在復(fù)雜交互作用的多因素試驗(yàn)的重要方法［1-2］。具體做法如下：羅列出試驗(yàn)因素的全部水平組合，在每種組合（稱(chēng)為試驗(yàn)點(diǎn)）條件下，進(jìn)行2次及以上獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)。

1.2 析因設(shè)計(jì)的特點(diǎn)

析因設(shè)計(jì)具有以下7個(gè)特點(diǎn)［2］：①試驗(yàn)因素的個(gè)數(shù)≥2；②每個(gè)試驗(yàn)因素的水平數(shù)≥2，且各因素的水平數(shù)可以不等；③不同的試驗(yàn)條件數(shù)（或組合數(shù)或試驗(yàn)點(diǎn)數(shù)）等于全部試驗(yàn)因素的水平數(shù)之乘積；④各試驗(yàn)條件下至少進(jìn)行2次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)；⑤全部受試對(duì)象被完全隨機(jī)地分配進(jìn)入任何一個(gè)試驗(yàn)條件組中，各小組中的受試對(duì)象個(gè)數(shù)相等為最佳，但也可以不等；⑥試驗(yàn)時(shí)，每次試驗(yàn)都涉及任一試驗(yàn)因素的某個(gè)水平，即全部試驗(yàn)因素同時(shí)施加；⑦進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析時(shí)，假定全部試驗(yàn)因素對(duì)觀測(cè)結(jié)果的影響是平等的，即沒(méi)有主次之分。由此可知，析因設(shè)計(jì)的明顯優(yōu)點(diǎn)是可以分析每個(gè)試驗(yàn)因素的主效應(yīng)以及試驗(yàn)因素之間各階交互作用的效應(yīng)大??；缺點(diǎn)在于總試驗(yàn)次數(shù)太多，費(fèi)時(shí)費(fèi)力且增加試驗(yàn)費(fèi)用。

1.3 交互作用

析因設(shè)計(jì)是考察因素之間各階交互作用效應(yīng)的主要方法。高階交互作用效應(yīng)的解釋是非常困難的，現(xiàn)以最常見(jiàn)的一階交互作用（即兩因素之間的交互作用）為例，解釋其含義［3］。

假設(shè)在某項(xiàng)藥物試驗(yàn)研究中，需要將A藥與B藥聯(lián)合使用，若在固定的劑量下，兩藥聯(lián)合使用比單用任何一種藥物的療效更好，則稱(chēng)這兩種藥物具有協(xié)同作用；反之，則稱(chēng)這兩種藥物具有拮抗作用。協(xié)同作用和拮抗作用都不是交互作用。A藥與B藥之間具有交互作用是指當(dāng)A藥分別取不同劑量時(shí)，其療效的差別并非一成不變，而是會(huì)隨著與之聯(lián)用的B藥劑量的改變而改變。例如，當(dāng)B藥取低劑量時(shí)，A藥取高劑量的療效優(yōu)于A藥低劑量的療效；而當(dāng)B藥取高劑量時(shí)，A藥取低劑量的療效優(yōu)于A藥高劑量的療效。在統(tǒng)計(jì)學(xué)上，A藥的劑量與B藥的劑量之間存在交互作用效應(yīng)。至于交互作用效應(yīng)是否有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，則需要通過(guò)假設(shè)檢驗(yàn)來(lái)做出統(tǒng)計(jì)推斷，還需要通過(guò)大樣本臨床試驗(yàn)進(jìn)一步驗(yàn)證。

1.4 析因設(shè)計(jì)的架構(gòu)

析因設(shè)計(jì)將二維平面劃分成多行與多列的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，其網(wǎng)格數(shù)就是全部試驗(yàn)因素的水平組合數(shù)。在此網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)中，行數(shù)可代表一個(gè)試驗(yàn)因素的全部水平數(shù)或若干個(gè)試驗(yàn)因素的水平組合數(shù)，列數(shù)可代表一個(gè)試驗(yàn)因素的全部水平數(shù)或若干個(gè)試驗(yàn)因素的水平組合數(shù)。因篇幅所限，析因設(shè)計(jì)的具體架構(gòu)見(jiàn)后文各表格，此處從略。

2 析因設(shè)計(jì)定量資料一元方差分析的計(jì)算公式

由于析因設(shè)計(jì)常用于安排有2～4個(gè)試驗(yàn)因素（因?yàn)橐蛩剡^(guò)多時(shí)，各水平組合條件下仍需要做重復(fù)試驗(yàn)，故總試驗(yàn)次數(shù)很多，實(shí)際科研工作者一般難以承受）的試驗(yàn)研究場(chǎng)合，因此，其方差分析計(jì)算公式至少有三種。然而，隨著因素個(gè)數(shù)的增加，因素之間的各階交互作用項(xiàng)數(shù)也相應(yīng)增加：當(dāng)有A和B兩個(gè)因素時(shí)，只有一個(gè)交互作用項(xiàng)（AB）；當(dāng)有A、B、C三個(gè)因素時(shí)，有4個(gè)交互作用項(xiàng)（AB、AC、BC、ABC）；當(dāng)有A、B、C、D四個(gè)因素時(shí)，就有11個(gè)交互作用項(xiàng)（AB、AC、AD、BC、BD、CD、ABC、ABD、ACD、BCD、ABCD）。因篇幅所限，本文僅呈現(xiàn)兩因素析因設(shè)計(jì)定量資料一元方差分析的計(jì)算公式，其他情況下的計(jì)算公式從略。

現(xiàn)以?xún)梢蛩匚鲆蛟O(shè)計(jì)定量資料為例，介紹其總離均差平方和（簡(jiǎn)稱(chēng)“總變異”）的分解方法［1，4］。設(shè)試驗(yàn)因素A有a個(gè)水平，試驗(yàn)因素B有b個(gè)水平，在因素A和因素B各水平組合條件下進(jìn)行r次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，則受試對(duì)象總數(shù)（即總樣本含量）N=abr，其方差分析表見(jiàn)表1。

表1 兩因素析因設(shè)計(jì)定量資料方差分析表Table 1 Analysis of variance for the quantitative data with two-factor factorial design

表1中各統(tǒng)計(jì)量計(jì)算公式如下：

在以上各式中，i=1，2，…，a；j=1，2，…，b；k=1，2，…，r。

3 析因設(shè)計(jì)一元定量資料的實(shí)例與SAS實(shí)現(xiàn)

3.1 實(shí)例與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

【例1】為了給一種裝置設(shè)計(jì)出一種壽命長(zhǎng)的電池，研究者根據(jù)經(jīng)驗(yàn)確定了兩個(gè)重要試驗(yàn)因素，一個(gè)是制造電池材料的種類(lèi)（因素M），另一個(gè)是研究者設(shè)定的試驗(yàn)溫度（因素T）。因素M取3個(gè)水平，1～3分別代表三種不同的材料；因素T取3個(gè)水平，1～3分別代表15℉、70℉和125℉。為了較好地估計(jì)試驗(yàn)誤差，研究者擬在每種水平組合下進(jìn)行4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)。試驗(yàn)安排與試驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)表2［1］。試分析各因素及其交互作用項(xiàng)對(duì)電池壽命的影響是否有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

表2 材料種類(lèi)（M）與試驗(yàn)溫度（T）對(duì)電池壽命影響的試驗(yàn)結(jié)果Table 2 Experimental results of the influence of material type（M）and the experimental temperature（T）on battery life

【例2】某試驗(yàn)同時(shí)涉及A、B、C三個(gè)地位平等的試驗(yàn)因素，A有2個(gè)水平，B有3個(gè)水平，C有4個(gè)水平，觀測(cè)指標(biāo)為OD值，受試對(duì)象為樣品，在不同試驗(yàn)條件下均獨(dú)立地重復(fù)做了2個(gè)樣品，資料見(jiàn)表3［2］。試分析兩因素及其交互作用項(xiàng)對(duì)OD值的影響是否有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

表3 3個(gè)試驗(yàn)因素作用下OD值的測(cè)量結(jié)果Table 3 Measurement results of OD value under the action of three experimental factors

3.2 用SAS實(shí)現(xiàn)方差分析

3.2.1 對(duì)例1的分析與解答

【分析與解答】所需要的SAS程序如下：

【SAS輸出結(jié)果及解釋】

由兩因素析因設(shè)計(jì)定量資料一元方差分析總模型的檢驗(yàn)結(jié)果可知，總模型具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（F=11.00，P<0.000 1）。

由兩因素及其交互作用項(xiàng)的輸出結(jié)果可知，材料種類(lèi)（M）（F=7.91，P=0.002 0）、試驗(yàn)溫度（T）（F=28.97，P<0.000 1）及其交互作用項(xiàng)（M*T）（F=3.56，P=0.018 6）對(duì)電池壽命的影響均有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

材料種類(lèi)（M）與試驗(yàn)溫度（T）之間的交互作用效應(yīng)見(jiàn)圖1。橫軸為材料種類(lèi)（M），分別取1、2、3水平；縱軸為試驗(yàn)結(jié)果電池壽命（Y，單位：h）。圖中從上到下的三條折線對(duì)應(yīng)的試驗(yàn)溫度（T）分別為1、2、3水平。顯然，T=1（即溫度為15℉，低溫）時(shí)，用三種材料制造的電池壽命普遍長(zhǎng)；隨著溫度逐漸增加，用三種材料制造的電池壽命逐漸縮短。然而，圖中的3條折線的變化趨勢(shì)是不同的（顯然，它們不是互相平行的），當(dāng)M=1時(shí)，T=2與T=3兩條折線相交；當(dāng)M=3時(shí)，T=1與T=2兩條折線相交。

圖1 材料種類(lèi)（M）與試驗(yàn)溫度（T）交互作用效應(yīng)圖Figure 1 Graph reflecting the interaction effect between the material type（M）and the experimental temperature（T）

以上輸出的是因素M（材料種類(lèi)）與因素T（試驗(yàn)溫度）在各種水平組合條件下，試驗(yàn)結(jié)果Y的平均值，并將這9種水平組合編號(hào)為1～9。編號(hào)1～3的均值代表M=1（即在第一種材料的前提條件下）的三種溫度所對(duì)應(yīng)的試驗(yàn)結(jié)果Y的平均值；編號(hào)4～6的均值代表M=2（即在第二種材料的前提條件下）的三種溫度所對(duì)應(yīng)的試驗(yàn)結(jié)果Y的平均值；編號(hào)7～9的均值代表M=3（即在第三種材料的前提條件下）的三種溫度所對(duì)應(yīng)的試驗(yàn)結(jié)果Y的平均值。同理，可理解編號(hào)（1、4、7）、（2、5、8）和（3、6、9）的均值含義，即在同種試驗(yàn)溫度條件下，用三種材料制造的電池的平均壽命的均值。

采用TUKEY法對(duì)因素M與因素T的9種水平組合下的9個(gè)平均值進(jìn)行兩兩比較。因篇幅所限，此部分結(jié)果從略。現(xiàn)將它們之間的比較結(jié)果解釋如下。

在如此多的兩兩比較的結(jié)果中，研究者最關(guān)心的是將兩個(gè)因素中的一個(gè)控制在特定水平上，考察另一個(gè)因素各水平組平均值差異是否有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。例如：在溫度為第3個(gè)水平（即125℉）條件下，三種材料所對(duì)應(yīng)的電池壽命的平均值差異是否有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義？可查看編號(hào)為3、6、9的3個(gè)均值（57.500、49.500、85.500）之間對(duì)應(yīng)的P值：編號(hào)3與編號(hào)6之間的P值為1.000 0，編號(hào)3與編號(hào)9之間的P值為0.834 7，編號(hào)6與編號(hào)9之間的P值為0.581 9。三個(gè)P值均大于0.05，說(shuō)明當(dāng)溫度高（T=125℉）時(shí)，用三種材料制造的電池的平均壽命差異無(wú)統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

編號(hào)為1、4、7對(duì)應(yīng)的3個(gè)P值分別為0.961 6、0.999 9、0.999 1，說(shuō)明當(dāng)溫度低（T=15℉）時(shí)，用三種材料制造的電池的平均壽命差異無(wú)統(tǒng)計(jì)學(xué)意義；而編號(hào)為2、5、8對(duì)應(yīng)的3個(gè)P值分別為0.046 0、0.001 4、0.882 3，說(shuō)明當(dāng)溫度居中（T=70℉）時(shí)，第一種材料與第二種材料、第一種材料與第三種材料制造的電池平均壽命（57.250 vs.119.750，57.250 vs.145.750）差異有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，而第二種材料與第三種材料制造的電池平均壽命（119.750 vs.145.750）差異無(wú)統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

相對(duì)來(lái)說(shuō)，溫度較低時(shí)，用第二種材料制造的電池平均壽命較長(zhǎng)（均值為155.750）；溫度居中時(shí)，用第三種材料制造的電池平均壽命較長(zhǎng)（均值為145.750）；溫度較高時(shí)，用第三種材料制造的電池平均壽命較長(zhǎng)（均值為85.500）。

3.2.2 對(duì)例2的分析與解答

【分析與解答】所需要的SAS程序如下：

【SAS程序說(shuō)明】“a|b|c”代表一種簡(jiǎn)化表達(dá)方式，其詳細(xì)寫(xiě)法為［5］：a b c a*b a*c b*c a*b*c。

【SAS輸出結(jié)果及解釋】

由總模型的方差分析結(jié)果可知，總模型無(wú)統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（F=1.50，P=0.163 4），說(shuō)明此總模型需要精簡(jiǎn)。

由3個(gè)主效應(yīng)、3個(gè)一級(jí)交互作用項(xiàng)效應(yīng)和1個(gè)二級(jí)交互作用項(xiàng)效應(yīng)的輸出結(jié)果可知，僅交互作用項(xiàng)“b*c”（F=2.67，P=0.039 7）具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

若從模型語(yǔ)句中刪除P值大于0.4的前4項(xiàng)后，再運(yùn)行SAS程序，由輸出結(jié)果可知，三項(xiàng)均無(wú)統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

由此可知，在對(duì)多因素析因設(shè)計(jì)定量資料進(jìn)行方差分析過(guò)程中，隨著模型中所包含的因素和交互作用項(xiàng)的改變，對(duì)某個(gè)特定因素或交互作用項(xiàng)而言，其分析的結(jié)果是會(huì)發(fā)生變化的。也就是說(shuō)，方差分析的結(jié)果是相對(duì)的。

4 討論與小結(jié)

4.1 討論

嚴(yán)格地說(shuō)，在對(duì)析因設(shè)計(jì)定量資料進(jìn)行一元方差分析前，也應(yīng)檢查定量資料是否滿(mǎn)足“獨(dú)立性、正態(tài)性和方差齊性”這三個(gè)前提條件［6］。為節(jié)省篇幅，本文假定定量資料已滿(mǎn)足此前提條件。當(dāng)試驗(yàn)因素很多時(shí)，采用析因設(shè)計(jì)安排試驗(yàn)是非常耗時(shí)耗力的。一種補(bǔ)救措施是采用分式析因設(shè)計(jì)［1，3］或正交設(shè)計(jì)或均勻設(shè)計(jì)［2］。在析因設(shè)計(jì)的具體實(shí)施過(guò)程中，全部受試對(duì)象被完全隨機(jī)分配到因素的全部水平組合中去。然而，當(dāng)來(lái)自受試對(duì)象的某個(gè)或某些重要非試驗(yàn)因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響不可忽視時(shí)，改進(jìn)的做法是將受試對(duì)象按重要非試驗(yàn)因素形成若干個(gè)“區(qū)組”，每個(gè)區(qū)組內(nèi)的受試對(duì)象在重要的非試驗(yàn)因素方面條件最接近、且數(shù)量等于全部試驗(yàn)因素的水平組合數(shù)。于是，就可參照隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的思路來(lái)隨機(jī)分配受試對(duì)象［7］。這樣的安排被稱(chēng)為“含區(qū)組因素的析因設(shè)計(jì)”［2］，此設(shè)計(jì)有利于控制區(qū)組因素對(duì)結(jié)果的影響，增加結(jié)論的可信度。

4.2 小結(jié)

本文介紹了析因設(shè)計(jì)的基本概念、析因設(shè)計(jì)的架構(gòu)以及兩因素析因設(shè)計(jì)定量資料一元方差分析的計(jì)算公式；通過(guò)兩個(gè)實(shí)例并借助SAS軟件實(shí)現(xiàn)了析因設(shè)計(jì)定量資料一元方差分析和關(guān)于交互作用效應(yīng)的多重比較。