胡純嚴(yán) ，胡良平 ，2*

（1.軍事科學(xué)院研究生院，北京 100850；2.世界中醫(yī)藥學(xué)會聯(lián)合會臨床科研統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)委員會，北京 100029*通信作者：胡良平，E-mail：lphu927@163.com）

正交設(shè)計(jì)是安排多因素的一種高效方法，在滿足某些特定條件時(shí)，正確地運(yùn)用正交設(shè)計(jì)，不僅可以獲得比較精準(zhǔn)的試驗(yàn)結(jié)果，而且所需的樣本含量較少。本文將介紹正交設(shè)計(jì)的基本概念、設(shè)計(jì)方法、計(jì)算公式以及基于SAS軟件實(shí)現(xiàn)正交設(shè)計(jì)定量資料方差分析的方法。

1 基本概念

1.1 正交

在幾何學(xué)上，正交的意思是兩條直線互相垂直。在代數(shù)學(xué)上，若兩個(gè)向量的內(nèi)積（或稱數(shù)量積）等于0，就定義這兩個(gè)向量是互相正交的［1］。假設(shè)有兩個(gè)向量如下：a=（-1，-1，-1，-1，1，1，1，1），b=（-1，1，-1，1，-1，1，-1，1）。將它們對應(yīng)位置上的數(shù)字相乘后求和，可記為（a，b）=-1×（-1）+（-1）×1+……+1×1=0，它就是向量a與向量b的“內(nèi)積”。于是，在數(shù)學(xué)上，稱上面兩串?dāng)?shù)字排成的序列或向量是互相正交的。

在統(tǒng)計(jì)學(xué)上，統(tǒng)計(jì)學(xué)家構(gòu)造出一系列類似于上面給出的“向量”，將它們排列在一張表格中，表格中任何兩列數(shù)據(jù)的“內(nèi)積”都等于0，這種表格就叫做正交表［2］。以L8（27）正交表為例，其中“L”代表正交表，數(shù)字“8”代表此表有8行，數(shù)字“2”代表每列有2個(gè)不同的水平，數(shù)字“7”代表此表有7列。L8（27）正交表見表1。表1共有7列，每列可以代表一個(gè)試驗(yàn)因素的2個(gè)水平各重復(fù)出現(xiàn)4次的一種排列；實(shí)際使用時(shí)，每列可以安排一個(gè)二水平因素，每行代表全部因素的一種水平組合結(jié)果，例如，第1行所有因素都取“1水平”。若用“-1”取代表中的“2”，則表1中的任何兩列的“內(nèi)積”都等于0。

表1 L8（27）正交表Table 1L8（27）Orthogonal table

1.2 正交設(shè)計(jì)

正交設(shè)計(jì)是利用一系列規(guī)格化的正交表來安排各試驗(yàn)因素及其水平組合的方法。正交表是經(jīng)過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)編制而成，正交表中的每一行代表全部試驗(yàn)因素的一種水平組合，稱為一個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)；正交表中的每一列代表一個(gè)試驗(yàn)因素（或交互作用項(xiàng)）及其水平的排列和重復(fù)出現(xiàn)的情況，將全部因素及其擬考察的交互作用項(xiàng)恰當(dāng)?shù)匕才旁谡槐淼谋眍^上，就叫做正交設(shè)計(jì)。

1.3 正交設(shè)計(jì)的特點(diǎn)

正交設(shè)計(jì)有4個(gè)突出特點(diǎn)：①由正交表挑選出來的試驗(yàn)點(diǎn)在空間上具有“均勻分散性”；②由正交表挑選出來的試驗(yàn)點(diǎn)在統(tǒng)計(jì)分析時(shí)具有“整齊可比性”；③某些未包括在正交表中的試驗(yàn)點(diǎn)，可以通過統(tǒng)計(jì)分析將其發(fā)現(xiàn)；④在某些假設(shè)（例如某些因素之間的交互作用不存在或可以忽略不計(jì)，特定試驗(yàn)條件下試驗(yàn)結(jié)果的穩(wěn)定性很好）成立的條件下，正交設(shè)計(jì)比其他多因素設(shè)計(jì)（排除均勻設(shè)計(jì)）所需的樣本含量更少。

1.4 正交設(shè)計(jì)誤差處理

在采用正交設(shè)計(jì)安排試驗(yàn)時(shí)，應(yīng)預(yù)先考慮好如何估計(jì)試驗(yàn)誤差：在正交表中留有空白列（可用于估計(jì)不同試驗(yàn)條件之間所產(chǎn)生的試驗(yàn)誤差，被稱為第一類誤差），或者在挑選出來的試驗(yàn)點(diǎn)上進(jìn)行m次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)（m≥2，可用于估計(jì)相同試驗(yàn)條件下不同重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)之間所產(chǎn)生的試驗(yàn)誤差，被稱為第二類誤差）。一般來說，第一類誤差大于第二類誤差。在對資料進(jìn)行方差分析時(shí)，若只有第一類誤差，就以其均方為分母，構(gòu)造F檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量；若有兩類誤差，就需要將它們的離均差平方和、自由度分別進(jìn)行合并，用合并后的離均差平方和除以合并后的自由度，構(gòu)造出誤差的均方。誤差項(xiàng)的自由度越大（意味著所需要的樣本含量越大），所得結(jié)論的可信度就越高。

1.5 正交表的種類

正交表可分為兩大類：第一類是飽和正交表，第二類是非飽和正交表，也稱不完備正交表［3］。在不做重復(fù)試驗(yàn)的飽和正交表中，總自由度=各列自由度之和=表的行數(shù)－1，各列自由度=各列中不同水平數(shù)－1?？傋杂啥炔坏扔诟髁凶杂啥戎偷恼槐?，就是非飽和正交表。例如，在L8（27）正交表中，df總=8－1=7，每一列的自由度=2－1=1，7列自由度之和=7，滿足“總自由度=各列自由度之和”的要求，故L8（27）正交表是飽和正交表。

根據(jù)正交表中各列的水平數(shù)是否相等，還可將正交表分為同水平正交表與混合水平正交表［4-5］。常見的同水平正交表有：二水平的正交表［L4（23）、L8（27）、L16（215）、L32（231）、L64（263）］，三水平的正交表［L9（34）、L27（313）、L81（340）］，四水平的正交表［L16（45）、L64（421）］，五水平的正交表［L25（56）、L125（531）］。常見混合水平的正交表有：L8（4×24）、L12（3×24）、L16（42×29）、L16（43×26）、L18（2×37）、L18（6×36）、L27（9×39）、L32（45×216）、L36（6×312）、L32（16×216）、L24（3×4×24）、L36（62×35×2）、L32（8×46×26）。

有些混合水平正交表是非飽和正交表，例如，在L12（3×24）正交表中，總自由度=12－1=11，而各列自由度之和=（3－1）+4×（2－1）=6。

2 正交設(shè)計(jì)定量資料一元方差分析的計(jì)算公式

正交表的種類很多，且因素的個(gè)數(shù)、水平數(shù)以及需要考察的交互作用項(xiàng)數(shù)都會隨著具體問題發(fā)生變化，還涉及是否進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)。因此，無法給出一個(gè)統(tǒng)一的正交設(shè)計(jì)定量資料一元方差分析計(jì)算公式。現(xiàn)假定在L8（4×24）的前3列上分別安排因素A（4水平）、因素B（2水平）和因素C（2水平），扼要介紹正交設(shè)計(jì)定量資料一元方差分析的計(jì)算思路。計(jì)算正交表中每一列上的離均差平方和的方法，與單因素兩水平或多水平設(shè)計(jì)定量資料一元方差分析計(jì)算組間離均差平方和的方法相同，可參見文獻(xiàn)［6］。

第一步，計(jì)算最后一列試驗(yàn)結(jié)果Y的總離均差平方和。

第二步，計(jì)算A、B、C列試驗(yàn)結(jié)果Y的總離均差平方和。

第三步，計(jì)算誤差E的離均差平方和。

第四步，計(jì)算總自由度和因素A、B、C的自由度以及誤差E的自由度。

第五步，計(jì)算誤差的均方和因素A、B、C的均方。

第六步，計(jì)算與因素A、B、C對應(yīng)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F的值。

若基于手工計(jì)算，需根據(jù)計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F值的分子和分母的自由度去查方差分析用的F臨界值表，再比較檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F值與其對應(yīng)的F臨界值的大小，做出統(tǒng)計(jì)推斷。因篇幅所限，此處從略。本文將基于SAS軟件實(shí)現(xiàn)方差分析［7］。

3 正交設(shè)計(jì)定量資料一元方差分析的實(shí)例與SAS實(shí)現(xiàn)

3.1 實(shí)例與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

【例1】某化工廠為了提高產(chǎn)品的收率，根據(jù)具體情況和經(jīng)驗(yàn)確定試驗(yàn)條件如下：因素A為反應(yīng)溫度（A1=30℃，A2=40℃）；因素B為反應(yīng)時(shí)間（B1=60 min，B2=90 min）；因素C為兩種原料比（C1=1∶1，C2=1.5∶1）；因素D為攪拌速度（D1=慢，D2=快）。選用L8（27）正交表安排上述4個(gè)因素，試驗(yàn)結(jié)果見表2［4］。試分析哪些因素對收率Y的影響有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

表2 4個(gè)試驗(yàn)因素對產(chǎn)品收率影響的試驗(yàn)結(jié)果Table 2 Experimental results of the influence of four experimental factors on the product yield

【例2】某電解腐蝕試驗(yàn)考察4個(gè)三水平因素（各因素的具體含義從略），交互作用均不考慮。試驗(yàn)指標(biāo)為產(chǎn)品質(zhì)量，按照規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行綜合評分。選用L9（34）正交表安排試驗(yàn)，在每個(gè)試驗(yàn)條件下進(jìn)行3次重復(fù)試驗(yàn)。試驗(yàn)安排和試驗(yàn)結(jié)果見表3［3］。試分析4個(gè)因素對試驗(yàn)結(jié)果的影響是否有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

表3 4個(gè)三水平因素對電解腐蝕作用的正交設(shè)計(jì)及試驗(yàn)結(jié)果Table 3 Orthogonal design and the experimental results of four three-level factors on the role of the electrolytic corrosion

【例3】某農(nóng)業(yè)科研所為了提高小麥產(chǎn)量，擬考察A、B、C三個(gè)因素對小麥畝產(chǎn)的影響。各因素各水平的含義如下：因素A為品種，有4個(gè)水平，1～4分別代表泰山4號、濟(jì)6矮、矮稈早、139號；因素B為施肥量，有2個(gè)水平，1和2分別代表高肥和低肥；因素C為播種期，有2個(gè)水平，1和2分別代表早播和晚播。試驗(yàn)安排和試驗(yàn)結(jié)果見表4［5］。試分析三個(gè)因素對小麥畝產(chǎn)Y的影響是否有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義？

表4 3個(gè)因素對小麥畝產(chǎn)影響的正交設(shè)計(jì)及試驗(yàn)結(jié)果Table 4 Orthogonal design and the experimental results of the influence of three factors on the wheat yield per mu

3.2 用SAS實(shí)現(xiàn)方差分析

3.2.1 對例1的分析與解答

【分析與解答】所需要的SAS程序如下：

【SAS程序說明】在SAS過程步中，有四個(gè)“model語句”，第一個(gè)是可執(zhí)行的，后三個(gè)放在注釋語句“/**/”中是不可執(zhí)行的。每次運(yùn)行SAS程序，只能讓一個(gè)“model語句”處于可執(zhí)行狀態(tài)。

【SAS輸出結(jié)果及解釋】

由第一個(gè)“model語句”的輸出結(jié)果可知，4個(gè)因素均無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，其中，因素D的作用最小。因篇幅所限，具體輸出結(jié)果從略，下同。

由第二個(gè)“model語句”的輸出結(jié)果可知，因素C（F=11.54，P=0.042 6）和交互作用項(xiàng)A*B（F=11.54，P=0.04 26）具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，而因素A（F=2.88，P=0.188 0）和因素B（F=2.88，P=0.188 0）均無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

由第三個(gè)“model語句”的輸出結(jié)果可知，因素C（F=11.54，P=0.042 6）具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，而交互作用項(xiàng)A*B（F=5.77，P=0.092 0）無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

由第四個(gè)“model語句”的輸出結(jié)果可知，當(dāng)模型中僅有因素C時(shí)，它對定量觀測結(jié)果的影響變得無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（F=3.41，P=0.114 4）。

由以上分析過程和結(jié)果可知：多因素方差分析結(jié)果是相對的，不是一成不變的。因?yàn)殡S著模型中待分析的項(xiàng)的改變（在本質(zhì)上，是模型誤差的均方在改變），各因素及交互作用項(xiàng)的統(tǒng)計(jì)顯著性也會發(fā)生變化。

3.2.2 對例2的分析與解答

【分析與解答】所需要的SAS程序如下：

【SAS輸出結(jié)果及解釋】

由第一個(gè)過程步的輸出結(jié)果可知，因素C（F=0.54，P=0.591 0）對試驗(yàn)結(jié)果的影響無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，因素A（F=11.20，P=0.000 7）、因素B（F=5.17，P=0.016 9）、因素D（F=5.01，P=0.018 6）對試驗(yàn)結(jié)果的影響均有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。因篇幅所限，具體輸出結(jié)果從略，下同。

由第二個(gè)過程步的輸出結(jié)果可知，因素A（F=11.74，P=0.000 4）、因素B（F=5.41，P=0.013 2）、因素D（F=5.25，P=0.014 7）對試驗(yàn)結(jié)果的影響均有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

因?yàn)榻Y(jié)果的平均值越大越好（為節(jié)省篇幅，4個(gè)因素各水平下的均值計(jì)算結(jié)果從略），故因素A應(yīng)取第三個(gè)水平，因素B應(yīng)取第二個(gè)水平，因素C應(yīng)取第三個(gè)水平，因素D應(yīng)取第三個(gè)水平。

3.2.3 對例3的分析與解答

【分析與解答】所需要的SAS程序如下：

【SAS程序說明】在SAS過程步中，有三個(gè)“model語句”，第一個(gè)是可執(zhí)行的，后兩個(gè)放在注釋語句“/**/”中是不可執(zhí)行的。每次運(yùn)行SAS程序，只能讓一個(gè)“model語句”處在可執(zhí)行狀態(tài)。

【SAS輸出結(jié)果及解釋】

由第一個(gè)過程步的輸出結(jié)果可知，僅因素C（F=154.27，P=0.006 4）對產(chǎn)量的影響具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

由第二個(gè)過程步的輸出結(jié)果可知，在淘汰掉P值最大的因素B之后，仍然只有因素C（F=61.39，P=0.004 3）對產(chǎn)量的影響具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

由第三個(gè)過程步的輸出結(jié)果可知，在淘汰掉因素A和因素B之后，因素C（F=23.98，P=0.002 7）對產(chǎn)量的影響仍有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

4 討論與小結(jié)

4.1 討論

標(biāo)準(zhǔn)正交表對因素的水平數(shù)有嚴(yán)格要求，但在某些實(shí)際問題中，很難完全與之符合，此時(shí)，就需要對原先的正交表進(jìn)行改造。例如，多個(gè)因素有3個(gè)水平，少數(shù)因素有2個(gè)水平，又沒有相應(yīng)的混合水平正交表可以使用。此時(shí)，可采用“擬水平法”將二水平因素改造成三水平因素［5］。在有的試驗(yàn)中，根據(jù)研究者經(jīng)驗(yàn)，在安排方案時(shí)已知某些因素之間存在依賴關(guān)系，一個(gè)因素用量或水平的選取需要隨另一個(gè)因素用量或水平而定，這時(shí)就需要采用“活動水平法”［5］；在有的試驗(yàn)中，按正交表做了一些試驗(yàn)后，用趨勢圖分析發(fā)現(xiàn)某一因素對試驗(yàn)指標(biāo)的影響存在某種變化趨勢，研究者認(rèn)為有必要對該因素添加新的水平并追加幾次試驗(yàn)，以便對它的影響有更全面的了解，此時(shí)，就需要采用“部分追加法”［5］。

值得注意的是，對標(biāo)準(zhǔn)正交表進(jìn)行改動后，對定量資料進(jìn)行方差分析的方法也需相應(yīng)改變，否則，會影響計(jì)算結(jié)果的精確度；當(dāng)正交表中的評價(jià)指標(biāo)或結(jié)果變量有多個(gè)時(shí)，若它們之間存在一定的關(guān)聯(lián)，就需要同時(shí)對它們進(jìn)行分析。常規(guī)的統(tǒng)計(jì)分析方法是正交設(shè)計(jì)定量資料多元方差分析［8］，還有一種統(tǒng)計(jì)分析方法是“廣義方差分析”［5］。因篇幅所限，本文不予贅述。

4.2 小結(jié)

本文介紹了正交設(shè)計(jì)的基本概念、具體實(shí)施方法以及定量資料一元方差分析的計(jì)算公式，通過三個(gè)實(shí)例，展示了二水平、三水平和混合水平正交設(shè)計(jì)的具體實(shí)施方法；還給出了無重復(fù)試驗(yàn)和有重復(fù)試驗(yàn)定量資料方差分析的SAS實(shí)現(xiàn)方法。